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1 11 Nom : _____________________________________________Groupe : _________ Enseignant(e) : ________________________________________________ Comment compare-t-on.

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1 1 11 Nom : _____________________________________________Groupe : _________ Enseignant(e) : ________________________________________________ Comment compare-t-on les prix dun même produit vendu dans des formats différents? Comment détermine-t-on la distance réelle entre deux villes sur une carte routière? Comment dessine-t-on le plan dun salon en respectant les dimensions réelles des objets? Dans toutes ces situations, on utilise des rapports, des taux et des proportions. Mais quest-ce quune proportion? Comment reconnait-on une situation de proportionnalité? Dans ce panorama, tu apprendras à utiliser des rapports, des taux et des proportions, tant en arithmétique quen géométrie, afin de comparer, de mesurer et de représenter divers éléments. Les taux, les rapports et les proportions

2 2 Cours #1 À faire à la maison Feuille photocopiée « Devoir 1-DeVinci » Panoramath Page 52 #1 à 13 sauf # 5 RapportTaux Comparaison entre deux quantités de nature différente. Ex : 525$ / 6 jours 13L / 100 km Taux unitaire Lorsque le dénominateur dun taux est 1, on parle alors de taux unitaire et on omet le 1 dans la notation. Ex : On a roulé à 90km en 1 heure : 90km/h Les pommes coûtent 1,59$ pour une livre : 1,59$/lb Les taux les plus utilisés Vitesse = distance / temps Taux horaire = Salaire pour 1 heure Prix unitaire = Coût pour un article (ou 1kg, ou 1lb) Débit = quantité / temps (l/min ou mg/sec) On doit toujours réduire un rapport

3 3 a) Corine a travaillé 2 heures pour 120 secondes de repos. Lorsque le rapport représente des mesures, il faut avoir les mêmes unités. b) Sur une carte routière, 2 cm représente 4 km. Ex : Écris sous la forme dun rapport les énoncés suivants. RAPPORTS ÉQUIVALENTS ET COMPARAISON DE RAPPORTS Deux rapports sont équivalents sils correspondent au même quotient. Méthode 1 : On les porte au même dénominateur. Ex : Indique si les rapports ou les taux suivants sont équivalents. a) b) Rapport pommes : oranges 70 : 4 et 95 : 6 c) d) Rapport filles : garçons 11 : 20 et 77 : Minutes/heure 60 secondes/minute

4 4 Méthode 2 : Retour à lunité. (Calculer le quotient) Ex : Indique si les rapports ou les taux suivants sont équivalents. b) Rapport élèves : surveillants 600 : 5 et 500 : 4 Non

5 5 Exercices : #1. Dans un plat de fruits, le rapport du nombre de pommes au nombre de bananes est de 5 : 4. a) Y a-t-il plus de pommes ou plus de bananes? pommes b) Quel est le nombre minimal de fruits dans le panier? 9 Est-il possible quil y ait 27 fruits dans ce panier? oui c) Sil y a 12 bananes dans ce panier, combien y a-t-il de pommes? 15 pommes 25 fruits dans ce panier? non #2. On aime son café avec 25g de sucre dans 200ml de café. À laide de calculs, détermine si les cafés suivants sont aussi sucrés, plus sucrés ou moins sucrés. a) 20g de sucre dans 195ml de café. b) 30g de sucre dans 250ml de café. Moins sucré FIN DU COURS

6 6 LES PROPORTIONS Cest une égalité entre deux rapports ou deux taux. Ex : On peut travailler les proportions comme des fractions équivalentes : Dans toutes proportions, le produit des moyens est égal au produit des extrêmes. Extrêmes 1 : 3 = 2 : 6 Moyens Extrêmes Produit des extrêmes = Produit des moyens On définit souvent cette opération par le PRODUIT CROISÉ. Cours #2 À faire à la maison Feuille « Devoir 2-Proportions »

7 7 Exercices : En utilisant le produit des moyens et le produit des extrêmes, vérifie si les rapports suivants forment une proportion. Coche la case appropriée. Proportionnel Non proportionnel Proportionnel Non proportionnel Proportionnel Non proportionnel

8 8 RECHERCHE DUN TERME MANQUANT DANS UNE PROPORTION On fait le produit croisé, on multiplie la diagonale et on divise par le terme restant. Exercice : #1. Trouve la valeur de la variable dans les proportions suivantes.

9 9 #2. Dans chaque cas, détermine la valeur qui permet de former une proportion. #3. Dans une recette, je dois mettre 500ml de lait, 210ml de sucre et 140ml de farine. Sil me reste seulement 275ml de lait et que je veux tout lutiliser : a) combien de farine ai-je besoin de mettre afin de garder les proportions dans la recette ? b) combien de sucre ai-je besoin de mettre afin de garder les proportions dans la recette ? Il faut 77 ml de farine Il faut ml de sucre

10 10 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES À LAIDE DUNE PROPORTION Utiliser des titres et ne pas oublier que la difficulté cest de bien établir la proportion! #1 Au hockey, pour 7 tirs effectués vers le but, 5 touchent au gardien. Combien de fois touchera-t-il au gardien sil y a eu 28 tirs et quil garde le même ratio? Tirs au but au hockey #2 Si le débit deau de la rivière lAssomption est de L en 9 minutes, combien deau sécoule en 15 minutes? Le débit deau de la rivière lAssomption En 28 tirs, il touchera au gardien 20 fois. Il sécoulera L en 15 minutes.

11 11 #4 Un peintre a créé une nouvelle couleur de peinture en mélangeant 50 mL de bleu avec 375 ml de jaune. Si un client aime le résultat obtenu et décide den acheter 4.25 L, quel mélange le peintre devra-t-il faire? b) Son voisin, M. Tremblay, a cultivé 2.7 hm² de ses hm². Respecte-t-il le rapport 4 : 5? #3 Pour exploiter un terrain agricole à son meilleur, le rapport entre la surface cultivée et la surface totale doit être de 4 : 5. a) Si M. Gendron, un cultivateur, a une terre de 3.5 hm², quelle superficie doit-il exploiter? Exploitation du terrain agricole de M. Gendron Exploitation du terrain agricole de M. Tremblay Oui Non Mélange de couleur de peinture Il doit exploiter une surface de 2.8 hm 2 FIN DU COURS

12 12 TROIS TYPES DE RELATIONS Cette année, on classera les relations en 3 types : proportionnelles, inversement proportionnelles et les autres types de relations. Voici la description de chacun de ces types de relations ainsi que leur allure graphique. Tables de valeurs Les valeurs de y sont obtenues en multipliant les valeurs de x par un même nombre appelé le coefficient de proportionnalité ; X0235 Y Coefficient de proportionnalité Graphique Cest une droite oblique qui passe par lorigine. X Cours #3 À faire à la maison Feuille « Devoir 3-Type de situation »

13 13 Tables de valeurs le produit de x et de y est constant. si lune des variables est zéro, alors lautre variable est aussi zéro. X12520 Y Graphique Cest une courbe qui tend à sapprocher des axes x et y. Toutes les relations qui ne sont ni proportionnelles ni inversement proportionnelles. Graphique

14 14 RECONNAÎTRE LE TYPE DE RELATION DONT IL SAGIT DANS UN CONTEXTE Relation de proportionnalité : Comporte généralement des mots qui veulent dire une augmentation constante (au même rythme, à la même vitesse, toujours…). Doit passer par (0,0) et être croissante. Relation inversement proportionnelle : Elle représente souvent une situation de partage. Il y a une donnée qui reste fixe et une valeur diminue lorsque lautre augmente. Autres types : Toutes relations où il y a une baisse, une diminution ou qui ne passent pas par (0,0). Toutes relations qui ne cadrent pas dans les deux autres descriptions.

15 15 Exemples : Dans chacune des situations suivantes, détermine de quel type de relation il sagit. a) En voiture, Sara parcourt en moyenne 21km en 15 min. Si elle conserve la même vitesse, en combien de temps parcourra-t-elle 28km? b) Trois personnes peuvent construire un garage en quatre jours. En combien de temps deux personnes travaillant au même rythme peuvent-elles construire un garage identique? c) On vide la piscine à un débit régulier de 3L/sec afin de la fermer pour lhiver. d) Lors dune fête, on a loué une Wii au coût de 45$. Si 7 amis viennent à la fête, quel est le coût par personne pour jouer à la Wii? e) Julien a un devoir de mathématiques comportant 25 numéros. Après 5 minutes il a fait 3 numéros. Si tous les numéros sont semblables, combien de temps peut-il prévoir pour terminer son devoir? f) Le coût dun stationnement comporte un coût dentrée de 5$ puis on doit payer 3$ de lheure pour y laisser notre voiture. Combien en coûtera-t-il pour laisser sa voiture 5h? Relation de proportionnalité Autres types Relation inversement proportionnelle Relation de proportionnalité Autres types

16 16 EXEMPLE 1 : La table de valeurs suivante montre la relation qui existe entre le nombre dheures de travail dun employé et son salaire. Le salaire dun employé Nb dheures de travail Salaire ($) a) Logiquement, le contexte permet-il de croire que cest une situation de proportionnalité? b) Vérifions si cest une relation proportionnelle. Trouve le coefficient de proportionnalité. c) Quel est le salaire horaire? d) Représente la situation dans le graphique ci-dessous. e) Puisque cette situation est une situation de proportionnalité, ON PEUT UTILISER LES PROPORTIONS POUR RÉPONDRE À DES QUESTIONS. Quel salaire obtiendra-t-il pour 37 h de travail? Oui, car le salaire normalement augmente de façon constante.

17 17 EXEMPLE 2 : La table de valeurs suivante montre la relation qui existe entre lâge dune personne et sa masse. Le poids dune personne selon son âge Âge (Année) Masse (kg) a) Logiquement, le contexte permet-il de croire que cest une situation de proportionnalité? b) Vérifions si cest une relation proportionnelle. Trouve le coefficient de proportionnalité. c) Représente la situation dans le graphique ci-contre. d) Une personne a 55 ans. Quel est son poids? Non, la masse ne varie pas proportionnellement avec lâge, sinon on deviendrait immense !

18 18 EXEMPLE 3 : Une anomalie possible de lœil sappelle la vision en tunnel. La table de valeurs suivante montre les résultats dune expérience qui simule ce genre danomalie. Elle consiste à regarder dans des tuyaux de différentes longueurs et de noter la grandeur du champ de vision. Complète cette table et ce graphique. Expérience pour comprendre la vision en tunnel Longueur du tuyau (cm) Hauteur du champ visuel (cm)12864 Vérifions si cest une relation proportionnelle : Non Vérifions si cest une relation inversement proportionnelle : Oui Maintenant, complétons la table de valeurs FIN DU COURS

19 19 RÉSOLUTION DUNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ Il existe plusieurs stratégies pour résoudre les problèmes qui comportent une situation de proportionnalité. En voici quatre : Cette stratégie consiste à déterminer, à partir dun rapport ou dun taux déjà connu, le rapport ou le taux équivalent dont le numérateur ou le dénominateur est 1 quon utilise ensuite pour déduire les valeurs manquantes. Ex : On veut connaître le prix de 11 kg de bœuf haché, sachant que 4 kg coûtent $. On effectue le retour à lunité en déterminant le prix de 1 kg de bœuf haché. On détermine la valeur manquante comme suit : Le prix de 11 kg de bœuf haché est de $. Lorsque le contexte sy prête, on a tendance à utiliser cette méthode. Cours #4 À faire à la maison Feuille « Devoir 4-Pourcentage »

20 20 Cette stratégie consiste à déterminer, à partir dun rapport ou dun taux déjà connu, le coefficient de proportionnalité quon utilise ensuite pour déduire les valeurs manquantes. Ex : On veut connaître le prix dune dinde surgelée de 3.8 kg sachant quune dinde surgelée de 5 kg coûte $. On détermine le coefficient de proportionnalité en cherchant le nombre par lequel il faut multiplier 5 pour obtenir $. On détermine la valeur manquante comme suit : Le prix dune dinde surgelée de 3.8 kg est donc de $. Méthode efficace dans une table de valeurs pour trouver les données manquantes.

21 21 Cette stratégie consiste à déterminer, à partir dun rapport ou dun taux déjà connu, un rapport ou un taux équivalent en multipliant son numérateur et son dénominateur par un même nombre différent de zéro. Ex : On veut connaître le prix dun jambon fumé de 7.5 kg, sachant quun jambon fumé de 2.5 kg coûte 6.45 $. On détermine le facteur de changement permettant de passer de 2.5 à 7.5. On détermine la valeur manquante comme suit : Le prix dun jambon fumé de 7.5 kg est donc de 19.35$. Surtout efficace pour résoudre mentalement.

22 22 Dans une proportion, le produit des extrêmes égale le produit des moyens. On peut donc déterminer, à partir de trois des quatre termes dune proportion, la valeur du terme manquant. Méthode très efficace ! Ex : On veut connaître le prix dun poulet de 3.7 kg, sachant quun poulet de 1.4 kg coûte $. On détermine la valeur manquante dans la proportion On détermine la valeur manquante dans la proportion suivante : Le prix dun poulet de 3.7 kg est donc de $.

23 23 POURCENTAGE Exprimer un rapport en pourcentage cest trouver le rapport équivalent sur 100. Rappel : un % cest une fraction sur cent Rappel : Le trait dans une fraction signifie DIVISER! Calculer le pourcentage dun nombre Ex1. 15% de 120$. Ex2. Quel est le prix final de cet article si on lui applique une taxe de 15,2%? 650$ Secondaire 1 : Secondaire 2 : Secondaire 1 : Secondaire 2 : Le prix final est de $.

24 24 Ex3. Quel pourcentage de 88 donne ?Ex4. Un chandail se vend 35$ à prix régulier. On a droit à un rabais de 5,25$. Quel pourcentage de rabais a été appliqué? RETROUVER LE 100% DUN NOMBRE Lorsquon a besoin de retrouver la quantité totale, il faut rechercher le cent pourcent dun nombre. On peut établir une proportion pour trouver linconnu. Ex1. Ma famille possède 34% des terres à lAssomption, soit 57 hm 2. Quelle est la superficie totale des terres à lAssomption? La superficie totale des terres à lAssomption est de hm 2. Le rabais du chandail est de 15%.

25 25 Ex3. Après des taxes de 12,5%, un chandail coûte 54,84$. Quel était le prix du chandail sans les taxes? Ex2. Dans notre école, le comité étudiant est composé de 8 élèves, ce qui représente environ 0,5% des élèves totaux. Combien délèves y a-t-il à lécole? Il y a un total de élèves dans lécole. Le prix du chandail sans les taxes est de $. Le prix de départ cest toujours 100% Le total cest $ à 112.5%

26 26 Ex4. Après un rabais de 25%, un chandail coûte 16,87$. Quel était le prix initial? Le prix de départ cest toujours 100% Le prix total cest $ à 75% Le prix initial du chandail est de $. FIN DU COURS ET MINIT-TEST DANS 2 COURS

27 27 FIGURES SEMBLABLES Deux figures sont semblables si lune est un agrandissement, une réduction ou une reproduction exacte de la figure initiale. Propriétés : Conserve la mesure des angles Les côtés sont proportionnels Si k > 1 : il y a un agrandissement Si 1 > k > 0 : il y a une réduction k : rapport de similitude ou rapports des longueurs Pour trouver des mesures manquantes sur des figures semblables, il suffit détablir une proportion. Cours #7 À faire à la maison Panoramath p : 68 #1 à 7 sauf # 3

28 28 Ex1. Les deux rectangles sont semblables, trouve la mesure manquante et le rapport de similitude. 3m 7m A BC Si on fait le produit croisé, on a que : La mesure du côté manquant est de 9 m et le rapport de similitude est de 1:3.

29 29 Ex2. Les deux figures sont semblables, trouve les mesures manquantes. Ex3. Les deux figures suivantes sont semblables. Trouve les mesures manquantes.

30 30 Ex4. Les figures suivantes sont semblables, trouve les mesures manquantes. a) b) c) d)

31 31 REPRODUCTION À LÉCHELLE Pour trouver des mesures manquantes mettant en relation une échelle, il suffit détablir une proportion. Léchelle sexprime de différentes façons. Ex1. Une maison de poupée est une reproduction dune maison selon léchelle 3 : 200. Si la largeur de la maison réelle mesure 15 m, quelle est la largeur de la maison de poupée en cm? 15 m = cm Ex2. On a construit un avion miniature selon le rapport 8 : 450. Si lenvergure des ailes de lavion miniature est de 25 cm, quelle est lenvergure des ailes de lavion en mètres ? 25 cm = 0.25 m FIN DU COURS

32 32 RAPPORT DE SIMILITUDE ET RAPPORT DES AIRES Rapport de similitude = k (rapport de longueur) Rapport daire = k 2 (rapport des longueurs au carré) Élever au carré Cours #8 À faire à la maison Feuille « Devoir 6-K et k2 »

33 33 Ex1. Quel est le rapport de similitude : Calcule laire de ces deux rectangles Quel est le rapport des aires : Ex2. Quel est le rapport de similitude (k) : Calcule laire de ces deux rectangles Quel est le rapport des aires (k 2 ):

34 34 Ex3. Quel est le rapport de similitude (k): Calcule laire de ces deux rectangles Quel est le rapport des aires (k 2 ) : Ex4. Trouve les rapports de similitude ou daire.

35 35 Étape1 : Trouver les deux rapports k et k 2 Étape2 :Si linconnu est une longueur Utiliser le rapport k pour établir une proportion. Si linconnu est une aire Utiliser le rapport k 2 pour établir une proportion. #1.Voici deux triangles semblables. Trouve le rapport des aires de ces figures. Le rapport des aires est donc de 0.64

36 36 #2. Voici deux hexagones semblables. Si laire de limage est de 39 cm 2, quelle est laire de lhexagone initial ? #3 Le rapport des aires de 2 figures semblables est de. Si le côté AB mesure 14 cm, quelle est la mesure du côté AB ? Laire de lhexagone initial est de cm 2. La mesure du côté AB est donc de 18 cm.

37 37 #4. Ces deux figures sont semblables. Quelle est laire de la plus grande? Laire de la plus grande figure est de cm 2. FIN DU COURS ET EXAMEN DANS 2 COURS


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