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EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 1 Commande optimale des systèmes dynamiques hybrides C.Iung P.Riedinger.

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1 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 1 Commande optimale des systèmes dynamiques hybrides C.Iung P.Riedinger

2 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 2 La commande optimale Pour définir un problème de commande optimale, nous devons avoir Un système dynamique i.e –Un espace de temps T –Un espace détat X –Un espace de commandes U –Une fonction de transition détat t,t 0,x 0, u) –Quelques axiomes de bon sens Un critère additif –J(t 0,t f,x 0,u)= J(t 0,t i,x 0,u)+ J(t i,t f,x i,u)

3 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 3 Commande optimale 2 classes de méthodes : Méthodes variationelles la commande optimale û est caractérisée par le fait quune commande u=û+ u doit donner un critère supérieur en exprimant en fonction de u on peut espérer trouver des caractérisations de û Programmation dynamique lapplication du théorème de Bellman peut donner une équation sur les critères dont la solution conduira au critère optimal

4 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 4 Méthodes variationnelles Elles sappliquent lorsquil est possible dévaluer la variation du critère en fonction de la variation de la commande.Ceci suppose des hypothèses de continuité voire de dérivabilité du critère optimal en fonction de u. Le théorème de référence est le théorème de Pontriaguine.

5 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 5 Théorème de Pontriaguine Soit –le système dynamique : où f est continue sur –Le critère est C 1 Si sont optimales alors il existe une fonction et une constante 0 <0, telles que –x et vérifient les équations canoniques de Hamilton –et û(t) maximise la fonction hamiltonienne sur [t 0 t f ]

6 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 6 Théorème de Pontriaguine, remarques Sous des conditions assez faibles, sil existe des commandes satisfaisant aux conditions aux extémités, alors il existe une commande optimale. La recherche des trajectoires optimales et un problème de tir de dimension 2n. En effet sajoutent les conditions de tranversalité :

7 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 7 (,,) (,,) (,,) xfxut ygxut zhxut k k k d k z y u Interface continu/discret Interface discret/continu s k z SYSTEME DYNAMIQUE HYBRIDE = SYSTEME FORME PAR LE COUPLAGE DE SYSTEMES DYNAMIQUES CONTINUS ET DISCRETS

8 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 8 Quelques phénomènes hybrides Le champ de vecteurs f et/ou létat x(.) changent de façon discontinues en réponse à une commande de contrôle. Le saut autonome Le saut commandé Conséquence Ü Changement de dimension de létat Exemples : chocs, hystérésis, seuils, saturations,... Exemple : Circuit électrique avec interrupteurs

9 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 9 Sauts de létat

10 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 10 Hypothèse : À tout instant on peut choisir le mode parmi tous les modes existants La commande d(t) a un nombre fini de valeurs Extension aux systèmes commutés 1

11 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 11 Extension aux systèmes commutés 2 Le théorème de Pontriaguine sapplique Aux instants de commutation

12 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 12 Extension aux systèmes commutés 3 On convexifie le problème et on cherche les commandes bang-bang Avec Un problème : comme la commande est plus « pauvre » que dans le cas continu, il peut exister des commandes, mais pas de commande optimale. Cest le cas lorsque les fonctions hamiltoniennes sont égales pour une valeurs de la commande discrète convexifiée, sur un intervalle non nul.

13 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 13 Hamiltonien Critère Données : Loi de commande Dynamique

14 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 14 Trajectoire quelconque obtenue pour un temps T1=1.4 Ensemble des trajectoires candidates à l optimalité joignant le point final en un temps T < T1 Conclusion : il n existe pas de chemin optimal

15 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 15 Ü Ü Question : Existe-t-il un intervalle de temps non nul tel que Ü Ü Loi de commande La solution sous optimale Ü Ü Le système étendu Ü Ü Réponse : oui

16 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 16 T1= sT3= s T5= sT17= s T5= sT17= s T = s T = s x1x1x1x1 x2x2x2x2 x1x1x1x1 x2x2x2x2 La solution sous optimale

17 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 17 Systèmes avec sauts autonomes 1 Extension du théorème ÜPar intégration d un critère terminal au PM Üpar application du principe doptimalité de Bellman sous la contrainte

18 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 18 Systèmes avec sauts autonomes 3 Le recherche des solutions se complique car –On ne peut savoir à lavance si une frontière sera franchie –Ni laquelle –Tous les cas doivent être envisagés

19 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 19 Système avec sauts autonomes 2 Une extension est nécessaire : –f nest plus continue en x (au passage des frontières) – ne peut donc plus être solution de –Cette condition est remplacée par la condition de transversalité sur la frontière, en tenant compte du critère terminal : il existe un vecteur

20 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 20 Un exemple hystérésis 1 Automate associé Critère On peut réécrire le système

21 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 21 Un exemple hystérésis 2 Aux instants de commutation

22 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 22 Un exemple hystérésis 3 Il est impossible de savoir au départ quel est le nombre optimal de commutations; Seul le calcul du coût permet de conclure –Vers un point limite –Ou vers un cycle q cost q=200, q=400, q=800

23 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 23 La programmation dynamique et les équations HJB Théorème 1: Si une trajectoire admissible ( x; q )( : ) déterminée par la donnée de la condition initiale ( x 0 ; q 0 )( : ) et de la commande ( u; d )( : ), est optimale alors les conditions suivantes sont vérifiées : pour presque tout t 2 [ a; b ] –

24 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 24 En pratique 1 Pour résoudre ces équations, il est obligatoire de discrétiser (cf Hedlung & Rantzer). Une approche intéressante consiste à discrétiser le problème dès le départ. Deux voies apparaissent intéressantes –Approche MLD (Bemporad, Morari) –Approche RPD (Lincoln and Rantzer CDC2002, ADSH2003) Des commandes sous optimales sont recherchées par encadrement –Systèmes affines par morceaux, partition de lespace détat

25 EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy 25 En pratique 2 Avec le PM : –Problème aux frontières multiples (Conditions partagées aux instants initial et final et aux instants de commutations) –Bifurcation dans la trajectoire dès qu'une transition discrète est autorisée ) Résolution par la programmation dynamique –Notons que le PM revient également à résoudre HJB mais dans des directions privilégiées correspondant aux trajectoires optimales et pour lesquelles la continuité de V est assurée Conclusion : –Des C.N. bien établies –Des efforts à mener pour parvenir à des algorithmes de résolution efficaces


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