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Introduction à la commande Application à la Commande Optimale Cherfaoui Nourrdine.

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1 Introduction à la commande Application à la Commande Optimale Cherfaoui Nourrdine

2 Introduction à la commande Optimale Partie I Lautomatique Représentation des systèmes Notions sur la régulation PID Notion de robustesse Partie II Espace détat Commande par placement de pôles Observateur Commande par placement de pôles et observateur Partie III Commande LQ Observateur optimale Commande LQG LQG/LTR

3 Introduction à la commande Optimale Partie I Lautomatique Représentation des systèmes Notions sur la régulation PID Notion de robustesse

4 Lautomatique But Historique Compromis et contraintes Quelques applications Les outils

5 But L'automatique est une discipline qui traite de la modélisation, de l'analyse et de la commande des systèmes dynamiques. Elle a pour fondement théorique les mathématiques. L'état désiré du système est nommé la consigne. Lautomatique consiste donc à commander un système en fonction dune (ou plusieurs) consigne donnée par lutilisateur (ou un autre système). Un exemple simple est celui du régulateur de vitesse dans une automobile, il permet de la maintenir à une vitesse constante, prédéterminée par le conducteur. Dans ce cas, la consigne et une vitesse. Oulalalala, le régulateur ! Politiquement par correct

6 -III av J.C KTESIBIOS : Régulateur de niveau 1630 : DREBELL Régulateur de Température 1788 : WATT Régulateur de vitesse 1800 : LAPLACE Transformée 1877 : ROUTH 1894 : HURWITZ 1899 HEAVISIDE 1932 : NYQUIST 1934 : BLACK 1940 : BODE 1942 ZIEGLER NICHOLS Réglage optimale du PID Approche Fréquentielle Approche Temporelle Historique On est même à la limite De lapproche spacio- Temporelle ! 3 siècle av JC ! Jen étais resté à Wienner !

7 Performance Coût en Energie Compromis Performance/Energie + on va vite + cela coût cher Ex : Pour allez de 0 à 100Km : - Pied a fond -> Rapide mais consommation élevée - Faible accélération -> Plus lent mais la consommation est réduite

8 Contrainte Performance/Robustesse + on va vite + le système doit être robuste Performance Robustesse

9 UAV Dassault Aviation petit duc MP 89 CA METEOR Automobile : ABS/ESP/ASR…. installation dépuration de gaz de haut-fourneau Quelques applications

10 Les outils Et lhuile de coude

11 Représentation des systèmes Notion de Système Systèmes Linéaires invariants La transformée de Laplace Fonction de transfert Domaine de stabilité

12 Notion de Système Un système (G) est défini par un ensemble de relation entre ses entrées et ses sorties Exemple Système : Résistance Entrée : i (t) Courant dans la résistance Sortie : u (t) Tension au borne de la résistance Relation : u (t) = R*i(t) Système : Masse ressort Entrée : F(t) Effort sur la masse Sortie : x(t) Position de la masse Relation : m.a(t) = m.g +F(t)+F ressort (t) Système y(t) u(t)

13 Systèmes Linéaires invariants Rq : On parle aussi de système : LTI (Linear Time Invariant) Linéaire Soit un système G qui a pour entrée u i (t) une réponse y i (t). Si ce système est linéaire alors il vérifie la propriété suivante: Invariant Un système est invariant si un décalage dans le temps du signal d'entrée, entraîne le même décalage sur le signal de sortie Je nai pas encore vu si tu en parlais, Mais tu peux parler du théorème de Superposition (juste en parler)

14 Rappel : La transformée de LAPLACE

15 Tables de Transformées de Laplace

16 Fonction de transfert On peut écrire la relation entrée sortie du système sous la forme dune relation entre les dérivés successive des entrées/sorties : En appliquant la transformation de Laplace la relation entrée sortie se réécrit: (avec p la variable de Laplace et des conditions initiales nulles) Après avoir réalisé un bref sondage, Ils ont vu ces choses … en spé. Donc, ça ne fera pas de mal

17 La fonction de transfert dun système LTI est de la forme : Vocabulaire G(p) est la fonction de transfert du Système Lordre du système est n Les racines de B(p) sont les Zéros du Système Les racines de A(p) sont les Pôles du Système Si m< n le système est Strictement Propre Si m=n le système est Propre Si m>n le système est Impropre

18 Système u(t) y(t) Remarque Système u(t) H(t) Impulsion

19 Exemple 1 : Système du premier ordre Un système du premier ordre a une fonction de transfert de la forme :

20 Etude dun système du premier ordre stable Etudions la réponse à un échelon dun système du premier ordre de la forme:

21 On observer que : -Tous les pôles du système sont négatifs. -Le système est stable (dans le sens entrée bornée / sortie bornée). -Le système est dautant plus rapide que le pole est grand en valeur absolue. 0 Stable Rapide Lent Reel

22 Etude dun système du premier ordre instable Etudions la réponse à un échelon dun système du premier ordre de la forme:

23 On observer que : -Tous les pôles du système sont positifs. -Le système nest pas stable (dans le sens entrée bornée / sortie bornée). -Le système est dautant plus rapide que le pôle est grand en valeur absolue 0 Stable Rapide Lent Reel Instable

24 Exemple 2 : Système du second ordre Un système du second ordre a une fonction de transfert de la forme :

25 Etudions la réponse à un échelon dun système du second ordre de la forme: Les pôles de ce système sont : c=1 Pôles -0.5 ± 0.866i c= Pôles -0.5 ± 0.433i

26 On observer que : -Tous les pôles du système sont à parties réelles négatives. -Le système est oscillant. -Le système est stable (dans le sens entrée bornée / sortie bornée). 0 Stable Rapide Lent Reel Instable Imaginaire Oscillant

27 Domaine de stabilité Un système est stable si et seulement les pôles de la fonction de transfert sont à partie réelle strictement négative : + Dynamique +Oscillant Instable

28 Remarque sur les zeros Un système qui a un zéro à partie réelle positive est un système à non minimum de phase Influence dun zéros dans le demi plan droit

29 MATLAB 6.5 SCILAB 4.0 Affichage des pôles et zéros : MATLAB : pzmap SCILAB : plzr Un ami : la fonction help Création de fonction de transfert : MATLAB : tf SCILAB : rapport de polynôme

30 Notions sur la régulation PID Les régulateur tout ou rien Régulation PID P PI PID Méthode de Ziegler Nichols Tu peux aussi ajouter une couche sur La stabilité en soulignant que dans certains Cas, le dénominateur de la fonction de transfert En Boucle fermée peut sannuler.

31 Les régulateur tout ou rien Régulateur simple du type chauffage : Si T > Seuil 1 on coupe le chauffage Si T < Seuil 2 on chauffe La structure est simple mais on ne peut pas définir de consigne précise Si lécart entre les deux seuils est faible lactionneur sera très sollicité Contenu riche en harmonique Commutations rapides Sur des systèmes délectroniques De puissance, cela peut entrainer Des pertes importantes.

32 Régulateur de type proportionnel Régulateursystème - +u ε y y* La commande est proportionnel à lerreur entre la consigne et la sortie du système Le régulateur le plus simple

33 Pour une consigne en échelon et un système qui na pas de pôle en 0 (pas de comportement intégrateur) on à toujours une erreur statique si lon utilise un régulateur de type P

34 K p : -lerreur statique -vitesse

35 Régulateur de type proportionnel intégrale Régulateursystème - +u ε y y* Pour ne pas avoir derreur statique on ajoute une action intégrale

36 Lutilisation de laction intégrale annule lerreur statique

37 Erreur statique = 0

38 Régulateur de type proportionnel intégrale dérivée Régulateursystème - +u ε y y* Pour augmenter la dynamique est compenser les inerties dues au temps mort on à ajouter une action dérivée au régulateur

39 Régulateur1/(p+1) - + u ε y y* Retard de 1s

40 Méthode de Ziegler Nichols Ksystème - +u ε y y* 1- On boucle le système avec un gain K variable et une entrée en échelon 2- On augmente K jusque à ce que le système soit oscillant TuTu K=K u

41

42 résumé Avantage des régulateur PID : -Structure simple -Pas besoin de modélisation pour la synthèse du régulateur Désavantage des régulateur PID -Réglage empirique -Pas de garantie sur les performances et la stabilité

43 Notion de robustesse Marge Module Gain Phase

44 Régulateursystème - +u ε y BO - + ε y* Y* y BO est le transfert en boucle ouverte

45 Létude de la BO ( Régulateur*Système) nous donne des informations sur la stabilité du système. Pour cela on dispose dun certain nombre doutils : Diagramme de Bode Deux courbes : 1/ Gain (Db) en fonction de la pulsation (en échelle log) 2/ Phase (° ou rad) en fonction de la pulsation (en échelle log)

46 Diagramme de Nyquist En abscisse : La partie réel de BO En ordonnée : La partie imaginaire de BO Labscisse curviligne est la pulsation (en rad/s)

47 On remarque que si la BO passe dans le diagramme de Nyquist par le point (-1,0) on a : Le point (-1,0) est dit point critique, on va donc chercher à sen éloigner Définition de marge de stabilité Critère du revers Le système est stable si le lieu de Nyquist en BO parcouru dans le sens des fréquences croissantes, laisse le point critique (-1,0) constamment à sa gauche Rée l Imaginair e Stable R I Limite de stabilité R I Instable

48 -180° dB ° A B Marge de phase Marge de gain R I A B Marge de phase 1/(Marge de gain) Marge de Gain : Cest la garantie que la stabilité sera maintenue malgré les variations imprévues du gain en boucle ouverte (BO) dues aux perturbations. (M G = 8 à 15 dB) Marge de Phase : Cest une garantie que la stabilité persistera malgré lexistence de retards parasites dont on na pas tenu compte dans le réglage. (M ph = 30 à 50 °) Point Critique

49 Marge de module : la marge de module représente la plus petite distance de la BO au point critique et correspond donc au rayon du cercle centré sur le point critique qui tangente la courbe R I Marge de module

50 Une dernière motivation pour la marge de module : La synthèse dun régulateur R se fait sur un modèle de système G qui nest pas exactement égale au système physique réel ( dynamique négligée par exemple)

51 La fonction S est dite fonction de sensibilité. La fonction de transfert en boucle fermer T=1-S est dite fonction de Sensibilité complémentaire La sensibilité à lerreur de modélisation sera dautant plus faible que la marge de module sera grande

52 exemple Régulateursystème - +u ε y Y* On peut penser que : -Si lon augmente k le système sera plus rapide car une petite variation de lerreur ε produit une forte correction sur la commande. -Et que comme le système G est stable la BF sera stable

53 Nyquist de la BO k=2 k=2.5 K=3 K=3.5 Instable Pour cette exemple si la gain k3 le système en BF nest pas stable

54 Conclusion : Toujours vérifier : -La stabilité dun système quelque que soit le type de synthèse utilisé -La valeur des marges de gain, phase, module pour tenir compte des erreurs de modélisation Quelques règles concernant la marge De phase / marge de gain ? (juste une suggestion)

55 Introduction à la commande Optimale Partie II Espace d'état Commande par placement de pôles Observateur Commande par placement de pôles et observateur

56 Espace d'état Exemple : Le moteur électrique U(t) E RLRL J I(t) Si on applique la transformation de Laplace aux équations précédentes on obtient

57 La fonction G(p) nous donne la relation entre la tension dalimentation du moteur et sa position mais cette représentation ne nous informe pas sur létat du moteur: Courant dans le circuit Electrique Vitesse de rotation de l arbre Hors cet état était visible via les équations du système Info importante car tout excès de courant Est destructeur !!

58 Si les variables qui nous intéresse pour le moteur sont : La position Angulaire, le courant et la vitesse de rotation on peut des équations précédentes tirer les relations suivantes : Si lon pose le vecteur x suivant : On peut réécrire sous forme matricielle le système déquation précèdente sous la forme : Avec ce type de représentation, Il peut être possible, dans certains Cas de commander indépendamment Plusieurs variables détat du système

59 Représentation d'état On appelle représentation détat (réalisation détat) dun système toute relation de la forme :

60 G F E H x(t) u(t) y(t) Mise sous forme de schéma bloc de la représentation détat La mémoire du système

61 Trajectoires détat La solution de léquation détat est dite Trajectoire détat. Par intégration des équations détat et de sortie, on obtient :

62 Relation entre forme détat et fonction de transfert Objectif : Obtenir une relation entre forme détat et fonction de transfert. Première fois que je vois cette Notation. Il faut peut être La préciser ?

63 Les zéros du système sont les racines de Les pôles du système sont les racines de : Le système est stable si et seulement si :

64 Pluralité de la représentation détat Remarque sur la pluralité de la représentation détat

65 La fonction de transfert dun système est invariante par changement de base

66 Relation entre fonction de transfert et forme détat Objectif : Obtenir une relation entre fonction de transfert et forme détat Forme Modale Les modes du systèmes sont dans la matrice F Rq : Il existe dautres relations entre Fonction de transfert et représentation détat

67 MATLAB 6.5 SCILAB 4.0 tf2ss fonction de transfert vers représentation détat ss2tf représentation détat vers fonction de transfert Et toujours la fonction help

68 Un exemple Multivariable Etat augmenté

69 Conclusion La représentation des systèmes sous forme détat fournit une écriture condensée et simple aussi bien dans le cas mono que multi-variable. Lalgèbre des matrices fournit des outils pour une manipulation simple des systèmes: -Changement de base -Construction de système augmenté Le formalisme détat permet davoir accès à une information plus riche que la simple relation entrée sortie dune fonction de transfert. MATLAB et SCILAB donne la possibilité de manipuler facilement des systèmes sous forme détat. On verra dans la suite lutilisation de ce formalisme dans la synthèse de loi de commande.

70 Commande par placement de pôles La problématique de la synthèse dun correcteur Commandabilité / Stabilisabilité Synthèse dun retour détat par placement de pôles Conclusion

71 Un problème dautomatique : Deux questions : Problème de la poursuite de la consigne (cible) Problème la stabilité du système Une synthèse en deux temps 1/ Synthèse dun régulateur stabilisant 2/ Synthèse finale qui tient compte de la poursuite

72 Commandabilité Peut-on amener en un temps fini le système à commander dun état arbitraire x(t 0 ) à un état désiré x(t f ) avec une loi de commande admissible? Concept de Commandabilité des systèmes x(t 0 ) x(t f ) Dire que la commandabilité Permet didentifier les variables Détat que lon pourra commander Indépendamment. Jai bon ? (Javoue, la commande dans lespace Détat, ça remonte à loin) Je dis ça juste pour leur donner une Accroche, un but qui permettra de mieux Suivre la suite

73 En partant de léquation de la trajectoire détat du système on peut obtenir une relation entre le vecteur des commandes, les conditions initiales et finales du système et une matrice C dite matrice de commandabilité du système

74 On obtient donc une relation qui donne pour tout t une relation pour déterminer la commande à appliquer. On remarque quil existe une infinité de lois de commandes qui vérifient : On choisira celle qui sera compatible avec lobjectif de commande que lon cherche à réaliser (minimisation de lénergie de commande ou dynamique).

75 Propriété Sous MATLAB : Matrice de commandabilité : C = ctrb(F,G) Rang dune matrice : r = rank(C) Sous SCILAB Matrice de commandabilité : C = cont_mat(F,G) Rang dune matrice : r = rank(C) Doù vient la matrice de commandabilité ? Comment on sen sert ? Comment on identifie les variables détat Non commandable ? Voir si tu pourrais pas, vite fait, ajouter Quelques infos là-dessus ?

76 Remarque : Toutes les représentations détat dun même système ont le même rang de commandabilité. En effet, si lon effectue un changement de base T la matrice de commandabilité associée est donnée par : La commandabilité est un invariant par changement de base

77 Décomposition selon la commandabilité Si le système nest pas complètement commandable, on peut le décomposer comme indiqué sur la figure suivante: Partie Commandable Partie Non Commandable y(t)

78 Pour toute réalisation (F,G,H,E) dordre n tel que Rang(C(F,G))=r < n, on peut toujours effectuer un changement de base :

79 Stabilisabilité Le principe de stabilisabilité a été introduit pour tenir compte du cas des modes non commandables. La paire (F,G) est dite stabilisable si et seulement si tous les modes non commandable sont asymptotiquement stables Il ny a pas dexplosion de la dynamique des états

80 Synthèse dun retour détat par placement de pôles G F E H x(t) u(t)= y*(t) - K.x(t) y(t) -K But: contrôler la valeur de la partie réelle Pour contrôler la dynamique des variables détat

81 Cas de la régulation : y*(t)=0 Le système de commande est asymptotiquement stable si et seulement si le gain K vérifie la propriété suivante :

82 La dynamique du système est fixée par les modes de (F-GK). On peut assigner arbitrairement les modes du systèmes de commande si et seulement si le système est commandable : Avec openoffice, on na plus ce genre de délicatesse ! Vive openoffice !

83 Exemple : Système commandable La matrice de commandabilité de G et dordre 3, le système est donc commandable

84 Le système G stable mais oscillant Car les pôles ont une partie imaginaire symétrique. Quand on construit une transformée de laplace contenant Deux pôles symétriques, on trouve une sinusoide dans le Domaine temporelle

85 Objective : rendre le système non oscillant mais sans ralentir son mode le plus rapide via un retour détat. On veut par exemple que tous les pôles du système commandable soient en -2

86 La synthèse du gain K vérifie bien la contrainte sur les pôles que lon a spécifié.

87 y*=0 Régulation X 0 =[15; 10; -5] Gain de retour détat Sys seul Sys + Retour détat

88 Critère classique: Dépassement max de 20 %

89 Consigne en poursuite X0=[0 0 0]

90

91 Influence de la recherche de dynamique sur la commande K1 : pôles : K2 : pôles : Le choix de la dynamique doit tenir compte de la limitation sur la commande Commande non admissible Le réglage K1 est + dynamique

92 Exemple : Système non commandable Les systèmes Sys1 et Sys2 ont le même comportement entrée/sortie mais Sys2 possède un état supplémentaire.

93 Le système Sys2 nest pas commandable Peut on quand même trouver un gain de retour détat tel que tous les pôles du système de commande soit en -2 ?

94 Le système Sys2 nétant pas commandable la recherche du gain de retour détat K nest pas possible On peut toujours essayer de trouver, Mais comme un état est non commandable, Il est non controlable et va rapidement diverger ! Entrainant une rapide destruction du système ! Il faut un peu les secouer bordel !!!!

95 Sous MATLAB : K= place(F,G,pôles) Limitation : Can't place poles with multiplicity greater than rank(G). Sous SCILAB K= ppol(F,G,pôles)

96 Conclusion La commande à retour détat par placement de pôles (commande modale) est relativement simple dans sa mise en œuvres, mais sur des systèmes complexes dordre élevé avec des vecteurs détat qui ne sont pas toujours physique on arrive à des limites dans sa mise en œuvres Probléme 1: Les etats dun systeme ne sont pas toujours mesurable, le coût des capteurs peut aussi être un frein à la commande par placement de pôles Une solution Les observateurs Problème 2: Comment choisir de façon optimale la valeur du gain de retour détat toute en réalisant un compromis entre la dynamique du système et sa stabilité Une solution La commande optimale LQ Mesure de couple par capteur de contraintes Très cher. On passe effectivement par des Estimateurs sur les voitures

97 Observateur But Observabilité / Détectabilité Synthèse dun observateur Conclusion

98 Observateur Peut-on déterminer létat dun système à partir de la connaissance de son comportement dentrée sortie sur un intervalle de temps fini ? Concept dObservabilité des systèmes Système Observateur u(t)y(t) x(t)

99 Quelle manipulation algébrique! Prétentieux

100 On peut donc reconstruire létat du système à partir de ses signaux dentrée-sortie et de leurs dérivées successives.

101 Observabilité Sous MATLAB : O = obsv(F,H) Sous SCILAB : O = obsv_mat (F,H) Comment fait-on pour obtenir cette matrice ?

102 Remarque Toutes les représentations d état dun même système ont le même rang dobservabilité. En effet, si lon effectue un changement de base T la matrice dobervabilité associée est donnée par: LObservabilité est un invariant par changement de base

103 Synthèse dun observateur Doù vient cette notation ?

104 G F E H x(t) y(t) G F E H u(t) M + -

105 La dynamique du système est fixée par les modes de (F-MH). On peut assigner arbitrairement la dynamique de lobservateur si et seulement si le système est Observable :

106 Décomposition selon lobservabilité SI le système nest pas complètement observable, on peut le décomposer comme indiqué sur la figure suivante: Partie Observable Partie Non Observable u(t) y(t)

107 Pour toute réalisation (F,G,H,E) dordre n telle que Rang(O(H,F))=r < n, on peut toujours effectuer un changement de base :

108 Détectabilité Le principe de Détectabilité a été introduit pour tenir compte du cas des modes non observable. La paire (H,F) est Détectable si et seulement si tous les modes non observable sont asymptotiquement stables

109 exemple La matrice dobervabilité de G et dordre 3, le système est donc Observable

110 Objective : Faire la synthese dun observateur pour le systeme G dont la dynamique soit plus rapide que le pôle le plus rapide du systeme. Le pôle le plus rapide de G etant en -2 on souhaite par exemple que tous les pôles de lobservateur soit en -5

111 X0=[-20 ; -20;-20] Lobservateur na pas les bonnes C.I. X0=[10;10;10] Gain de lobservateur

112 La sortie et letat de lobservateur converge bien vers celle du Systeme Pas mal du tout cet exemple

113 Simulation avec un Observateur lent dont les pôles sont en -1 M=[ ] Gain de place si tu écris M t

114 Sous MATLAB : M= (place(F T,H T,pôles)) T Limitation : Can't place poles with multiplicity greater than rank(H). Sous SCILAB M= (ppol(F T,H T,pôles)) T

115 Conclusion La synthese dobservateur par placement de pôles (observateur modale) est relativement simple dans sa mise en oeuvre, mais sur des systémes complexes dordre élevés avec des vecteurs détats qui ne sont pas toujours physique on arrive à des limites dans sa mise en œuvres Probléme: Comment choisir la dynamique de lobservateur en fonction du mode que lon veut observer Une solution Les observateurs du type Kalman

116 Commande par placement de pôles et observateur Hypothèses pour la synthèse Exemple

117 Hypothese Plein Plein Plein

118 y(t) Système Observateur u(t) -K

119 G F E H x(t) y(t) G F E H u(t) M + - -K

120

121 Le système est Commandable et Observable Exemple

122 - Faire la synthese dun observateur pour le systeme G dont la dynamique soit plus rapide que le pôle le plus rapide du systeme. Le pôle le plus rapide de G etant en -2 on souhaite par exemple que tous les pôles de lobservateur soit en -5 -Rendre le système non oscillant mais sans ralentir son mode le plus rapide via un retour détat.On veut par exemple que tous les pôles du système de commandable soient en -2

123 Gain de la commande Gain de lobservateur Lobservateur na pas les bonnes C.I. X0=[0;0;0] X0=[-2;-2;-2]

124 C.I. Le système de commande avec retour détat et observateur répond bien à la contrainte de régulation

125 Conclusion La Commande à retour détat par placement de pôles (commande modale) est relativement simple dans sa mise en œuvres, mais sur des systèmes complexes dordre élevés avec des vecteurs détats qui ne sont pas toujours physique on arrive à des limites dans sa mise en œuvre. La synthese dobservateur par placement de pôles (observateur modale) est relativement simple dans sa mise en oeuvre, mais sur des systémes complexes dordre élevés avec des vecteurs détat qui ne sont pas toujours physique on arrive à des limites dans sa mise en œuvre. Probléme: Comment choisir la dynamique de lobservateur et celle de la commande en fonction du systeme et du CdC Une solution : Les observateurs du type Kalman + La commande LQ Commande LQG

126 Introduction à la commande Optimale Partie III Commande LQ Observateur optimale Commande LQG

127 Commande optimale LQ Choix du critère Le problème LQ Propriétés Grammien de commandabilité Conclusion

128 Choix du critère ** Qui dit commande optimale dit critère pour choisir cet optimum ** Le but dun système de commande est de réaliser : -Le rejet rapide des perturbations (létat du système converge rapidement vers sont équilibre après une perturbation) -Minimiser lénergie pour assurer le suivi de consigne et le rejet des perturbations On se trouve donc face à une obligation de compromis entre une convergence rapide et une minimisation de lénergie de commande

129 Rejet des perturbations Soit deux systèmes avec la même condition initiale(0) on souhaite savoir en combien de temps les systèmes vont retourner a léquilibre. On constate que On peut donc dire quun rejet rapide de perturbation est respecté par la minimisation de

130 Dans le cas multivariable on défini une matrice de pondération Q c (symétrique définie non négative). On peut ainsi affecter un poid différent à chaques composantes du vecteur détat Energie de commande De la même façons on peut évaluer lénergie de commande par : Dans le cas multivariable on défini une matrice de pondération R c (symétrique définie positive). On peut ainsi affecter un poids différent à chaques composantes du vecteur de commande

131 Critère de compromis Des observations précédentes on peut définir un critère de compromis entre lénergie de commande et la dynamique du système.

132 Problème LQ Le problème est de calculer la matrice K qui permet de déterminer le retour détat u(t)=-K.x(t) qui minimise le critère LQ

133 Une démonstration simple est disponible dans la référence [3]

134 Exemple

135 R c =1 K= [ ] ; Pôles : i i Simulation en régulation y*=0

136 R c =1/10 K= [ ] Pôles : i i En diminuant la pondération sur la commande on accélère le système (les pôles du système on été déplacé plus à gauche) mais la valeur de la commande a augmenté.

137 R c =1/100 [ ] Pôles : i i En diminuant la pondération sur la commande on accélère le système mais la valeur de la commande a fortement augmenté.

138 On diminue R on accélère le Système Mais le système de commande est-il robuste ?

139 Analyse de la BO G F E H x(t) u(t) y(t) K w(t) On coupe la boucle - y*(t)

140 Un peu de manipulation algébrique Un peu ! Tes modeste ! (je rigole) Tu as des précisions historique sur léquation de Ricatti: Doù elle vient ?

141

142 Cela signifie que le lieu de Nyquist de la BO reste toujours à lextérieur du cercle de rayon 1 centré sur le point critique (-1,0) R I Marge de gain [0.5 +] Marge de phase [-60° 60°]

143 Nyquist de la commande Exemple (R=1/10) Le Nyquist de la commande est toujours à lexterieur du cercle de rayon 1 centré sur le point critique : MM 1

144 La synthèse LQ si elle nous garantie des propriétés fortes de robustesse, elle nous impose tout de même le choix des pondérations Q c et R c qui nest pas forcement simple. Dans un premier temps : -On peut imposer davoir des matrices diagonales pour limiter le nombre de paramètres. -Fixer une matrice à lidentité et faire varier lautre. Mais dans le cas de système complexe dordre important on se retrouve devant le même problème que celui de la commande par placement de pôles. Une solution pour le choix des matrices Q c et R c a été proposé par Philippe de Larminat : la methode des grammien

145 Grammien de commandabilité Dans cette approche on réduit le choix des matrices Q c et R c à un horizon : T c Tc est lhorizon de commande. A partir de ce choix les matrices Qc et Rc sont définies de la façon suivante : Ce choix permet davoir les pôles du système de commande LQ à gauche de la verticale dabscisse -1/Tc

146 Avec les logiciels : Sous SCILAB Resolution de lequation de Riccati continue : Fonction : RICC Sous MATLAB Resolution de lequation de Riccati continue : Fonction ARE Resolution du probleme LQ : K=lqr(F,G,Q,R)

147 Conclusion La synthèse LQ nous offre une solution simple à la réalisation de régulateur à retour détat avec comme avantage : -De réaliser un compromis entre dynamique et coût énergétique -De garantir des propriétés de stabilité de la boucle de régulation Le choix des matrices de pondération par la méthode des grammien offrent de plus une solution simple pour fixer la dynamique. Mais comme dans le cas du placement de pôles modale les états du système nétant pas toujours mesurable on doit avoir recours la plupart du temps à lutilisation dobservateur

148 Observateur optimale Observateur de Kalman Propriétés Grammien de commandabilité Conclusion

149 Observateur de Kalman

150 On constate que lobservateur ne réalise pas destimation des bruits v(t) et w(t) But On cherche le gain M qui réalise la meilleure estimation de létat du système C.a.D. minimiser :

151 Une démonstration est disponible dans la référence [2]

152 Remarque : Dans le cas de la commande et de lobservation on résout le même problème mathématique

153 Analyse de la BO G F E H u(t)=0 M + - w(t)

154 Un peu de manipulation algébrique

155 Cela signifie que le lieu de Nyquist de la BO de lobservateur reste toujours à lextérieur du cercle de rayon 1 centre sur le point critique (-1,0) R I Marge de gain [0.5 +] Marge de phase [-60° 60°]

156 Exemple

157 Etats Sortie M =[ ] CI

158 Nyquist de la BO de lobservateur Cercle de Rayon 1

159 La synthèse dun observateur de Kalman si elle nous garantie des propriétés fortes de robustesse nous impose tout de même le choix des pondérations Q o et R o qui nest pas forcement simple. Si lon connaît la nature des bruits qui affecte le système le choix des pondérations est automatique dans le cas contraire on peut : Dans un premier temps : -Imposer davoir des matrices diagonales pour limiter le nombre de paramètres. -Fixer une matrice à lidentité et faire varier lautre. Mais dans le cas de système complexe dordre important on se retrouve devant le même problème que celui de la commande par placement de pôles. Une solution pour le choix des matrices Q o et R o a était proposer par Philippe de Larminat : la methode des grammien dobservabilité

160 Grammien dobservabilité Dans cette approche on réduit le choix des matrices Q o et R o à un horizon : T o T o est lhorizon dobservation. A partir de ce choix les matrices Q o et R o sont définies de la façon suivante : Ce choix permet davoir les pôles de lobservateur à gauche de la verticale dabscisse -1/T o

161 Conclusion Lapproche de Kalman nous offre une solution simple et robuste à la synthèse dobservateur avec comme avantage : -De réaliser la meilleure estimation au sens de la minimisation de la variance de lerreur. -De garantir des propriétés de stabilité de lobservateur. Le choix des matrices de pondération par la méthode des grammien offrent de plus une solution simple pour fixer la dynamique dobservation. Se pose donc maintenant le problème de la robustesse dun système de commande LQ avec observateur détat du type Kalman

162 Commande optimale LQG Le problème LQG Limite du LQG LQG/LTR

163 La synthèse dun système de commande LQG est effectuée conformément au théorème de séparation ou principe déquivalence certitude qui stipule que le problème de commande LQG peut être résolu en traitant séparément le problème dobservation optimale et le problème de commande optimale sous-jacents :

164

165 Exemple

166 Poursuite Régulation CI

167 Limite du LQG On pourrait penser que : les systèmes de commande LQG possèdent des propriétés de robustesse aussi importantes que celles des systèmes optimaux de commande et dobservation sous-jacents. LQ Robuste Kalman Robuste LQG Robuste ?

168 G F H M + - -K Analyse du régulateur

169 -GK F MH M + - -K F-GK-MH M -K

170 RégulateurSystème + - BO Remarque : Dans le cas multivariable on a : Régulateur * Système Système*Régulateur

171 On a perdu de la robustesse au niveau de la marge de Gain 1/MG

172 Cette limitation de la commande LQG a été mis en évidence à la fin des années soixante par Kwakernaak qui a montré que les propriétés de la commande LQ et au FK ne sont pas préservées dans le cas général. Une bonne décennie après, ce problème a été repris par Doyle and Stein qui ont proposé une technique de synthèse des systèmes de commande LQG réalisant un recouvrement du transfert de la boucle ouverte du système de commande LQ ( respectivement du FK) sous-jacent et lont baptisé LTR comme Loop Transfer Recovery On a deux possibilites soit on récupère les propriétés de robustesse : -De la commande LQ -De lobservateur de Kalman

173 LQG/LTR : Recouvrement en Entrée Synthétiser, dans une premier étape, le correcteur LQ par un choix approprié des pondérations Q c et R c obéissant aux exigences du cahier des charges. Dans une seconde étape, à partir dun réglage nominal Q o et R o du filtre de KALMAN, on augmentera le paramètre q du nouveau réglage : Q o = Q o +qGG T, R o = R o jusqu à ce que le transfert de boucle K(s)G(s) du correcteur LQG recouvre, sur une bande de fréquence suffisamment large, le transfert de boucle de retour d état LQ : Lim K(s)G(s) = K(pIF) 1 G

174 q : Nyquist BO Nyquist de la commande On peut donc retrouver les propriétés de robustesse de la commande LQ

175 LQG/LTR : Recouvrement en Sortie Synthétiser, dans une premier étape, le correcteur LQ par un choix approprie des pondérations Q c et R c obéissant aux exigences du cahier des charges. Dans une seconde étape, a partir dun réglage nominal Q c et R c, du retour détat LQ on augmentera le paramètre q du nouveau réglage : Q c = Q c +qH T H, R c = R c jusqu a ce que le transfert de boucle G(s) K(s) du correcteur LQG recouvre, sur une bande de frequence suffisamment large, le transfert de boucle de lobservateur: Lim G(s) K(s) = H(pIF) 1 M

176 q : Nyquist BO Nyquist de lobservateur On peut donc retrouver les propriétés de robustesse de lobservateur

177 Modélisation dun système Commande Modale (Placement de pôles) Observateur Modale (Placement de pôles) Commande et Observateur Modale Commande LQ Observateur de Kalman LQG LQG/LTR Perte de Robustesse Calcul du gain K de retour détat de façon Optimale Calcul du gain M de lobservateur de façon Optimale Si lon ne peut mesurer létat Résumé Pas mal comme Graphe de décision.

178 Bibliographie (par ordre alphabetique) Daniel Alazard : [1] Regulation LQ/LQG (note de cours de SUPAERO) [2] Introduction au filtre de Kalman: (note de cours de SUPAERO) Benoît Bergeon : [3] Commande linéaire des systèmes multivariables Philippe de Larminat : [4] Automatique, Commande des systèmes Linéaires, HERMES-LAVOISIER Mohammed MSaad : [5] Commande Optimale : une introduction (note de cours de lENSICAEN)


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