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EN ÉCONOMIE POUR DÉBUSQUER DES FRAUDES OU DES ERREURS DES MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES OU AILLEURS …

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1 EN ÉCONOMIE POUR DÉBUSQUER DES FRAUDES OU DES ERREURS DES MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES OU AILLEURS …

2 Un peu de math…

3 Le logarithme dun nombre positif a, noté log a, est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir a. Logarithme log 1000 = 3car10 3 = 1000 log 0,01 = -2car10 -2 = 0,01 log 2 0,301car10 0,301 2

4 Premier chiffre significatif 4853,746 0,

5 Notation scientifique 4853,746 0, , , = = mantisse

6 Loi de Benford…

7 Loi de Benford Expériences: Nombres extraits de coupures de journaux Prix relevés au hasard dans un magasin: prix sur un assez long ticket de caisse (ou assemblage de plusieurs), prix figurant sur une publicité, … Résultats des élections présidentielles françaises 2012 Résultats sportifs Nombre dhabitants de communes Altitudes de montagnes, longueurs de fleuves, … PIB dun ensemble de pays Cours de la bourse Nombres extraits de comptabilité dentreprises …

8 Premier chiffre significatif effectiffréquence Total

9 Nombre dhabitants de communes

10

11

12 Premier chiffre significatif effectiffréquence Total Nombre dhabitants des communes françaises au 1/1/ ,1 % 17,6 % 12,5 % 9,7 % 7,9 % 6,7 % 5,1 % 5,8 % 4,6 % 100 %

13 Premier chiffre significatif du nombre dhabitants des communes françaises au 1 er janvier données (+ 6 communes vides!)

14 Premier chiffre significatif du nombre dhabitants des communes belges au 1 er janvier données(aucune commune vide)

15 Loi de Benford

16 Simon Newcomb ( ) 1881

17 1938 Frank Benford( )

18 Un ensemble de valeurs numériques suit la loi des nombres anormaux lorsque, pour chaque chiffre c (donc de 1 à 9), la proportion de valeurs commençant par c vaut Benford

19 Premier chiffre significatif c Fréquence théorique log( (1+1)/1) = log 2 = 0,301 log ((2+1)/2) = log 3/2 = 0,176 log ((3+1)/3) = log 4/3 = 0,125 log ((4+1)/4) = log 5/4 = 0,097 log ((5+1)/5) = log 6/5 = 0,079 log ((6+1)/6) = log 7/6 = 0,067 log ((7+1)/7) = log 8/7 = 0,058 log ((8+1)/8) = log 9/8 = 0,051 log ((9+1)/9) = log 10/9 = 0,046 1 Total

20

21 Nombre dhabitants de communes

22 Premier chiffre significatif du nombre dhabitants des communes françaises au 1 er janvier données (+ 6 communes vides!)

23 Premier chiffre significatif du nombre dhabitants des communes belges au 1 er janvier données(aucune commune vide)

24 PIB en 2011

25

26

27 183 données Premier chiffre significatif du PIB de (presque) tous les pays en 2011

28 Superficie des principaux pays

29

30

31 88 données Premier chiffre significatif de la superficie des principaux pays du monde

32 Nombre de voies à des élections

33 Nombre de votes obtenus par les listes sur tout le royaume de Belgique, à la chambre le 13 juin 2010 No Circonscription - Kieskring Circonscription d'Anvers - Kieskring Antwerpen Circonscription de Bruxelles-Hal- Vilvorde - Kieskring Brussel- Halle-Vilvoorde Circonscription de Louvain - Kieskring Leuven Circonscription du Brabant wallon - Kieskring Waals- Brabant Circonscription de Flandre occidentale - Kieskring West- Vlaanderen Circonscription de Flandre orientale - Kieskring Oost- Vlaanderen Circonscription de Hainaut - Kieskring Henegouwen Circonscription de Liège - Kieskring Luik Circonscription de Limbourg - Kieskring Limburg Circonscription de Luxembourg - Kieskring Luxemburg Circonscription de Namur - Kieskring Namen TOTAL - TOTAAL 1Vlaams Belang177'01241'91730'338 71'200117'817 68' '697 2VIVANT 6'211 3Lijst Dedecker25'0819'4429'907 60'21030'463 15' '577 4Open Vld120'93559'84045' '265166'278 64' '873 5PS 139'660 51' '184216'827 45'86992'857894'543 6MR 159'912 81' '608135'118 31'45971'099605'617 7FN 5'476 20'129 7'98633'591 8CDH 67'324 29'331 82'92484'393 50'56445'905360'441 9CD&V170'26057'90251' '702147' ' '986 10sp.a156'97638'68956' '803135'212 97' '867 11N-VA336'631101'99185' '317269' '230 1'135'617 12ecolo 66'681 37'152 67'99383'791 18'85338'577313'047 13GROEN!84'31425'18630'905 49'53370'297 25' '989 BELG.UNIE 5'734 3'389 5'429 2'6183'49520'665 EGALITE 5'670 FN+ 11'553 Front des gauches 4'162 1'686 5'4426'833 1'2061'40520'734 LSP2' '4431'907 6'791 MP Education 2'572 MSplus 1'0311' '827 N 610 PIRATE PARTY 2'200 PROBRUXSEL 7'201 PTB+ 2'365 12'13618'706 1'1944'45638'857 PTB+PVDA+ 9'313 PVDA+22'132 3'703 6'48911'950 8'644 52'918 Parti Pensionné PP 6'688 Parti Populaire 21'143 11'461 19'85218'642 3'9228'98584'005 R.W.F. 1'550 4'768 11'4148'474 2'2497'28835'743 RESPECT 5'630 V.I.T.A.L. 2'259 VRIJHEID 1'576 W+ 1'136 1'6791'675 1'3675'857 WALLONIE D'ABORD 3'113 3'009 13'7959'170 2'9294'62636'642 1'096'182834'106315'746227'474785'221955'754722'740605'822534'910160'998288'4146'527'367

34 178 données Premier chiffre significatif des nombres de votes à la chambre

35 2 ème tour Elections présidentielles 2012

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39 Premier chiffre significatif effectiffréquence Total Résultats des élections présidentielles françaises pour les 96 départements métropolitains 2 ème tour, 6 mai ,4 % 15,6 % 14,1 % 9,9 % 5,2 % 4,7 % 5,2 % 6,3 % 4,7 % 100 %

40 Premier chiffre significatif des nombres de votes aux élections présidentielles, 2 ème tour, 6 mai données

41 1 er tour Elections présidentielles 2012

42

43 57 - Moselle

44 Premier chiffre significatif effectiffréquence Total Résultats des élections présidentielles françaises pour les 96 départements métropolitains 1 er tour, 22 avril ,1 % 18 % 12,7 % 10,2 % 8 % 7,4 % 5,6 % 5,7 % 5,2 % 100 %

45 Premier chiffre significatif des nombres de votes aux élections présidentielles, 1 er tour, 22 avril données

46 Prix dans des magasins

47 1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne données (prix du 26 septembre au 7 octobre 2012)

48 1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne données (prix du 26 septembre au 2 octobre 2012)

49 1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne données (prix du 25 septembre au 2 octobre 2012)

50 1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne , 239 et 882 données (fin septembre - début octobre 2012)

51 1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne données (fin septembre - début octobre 2012)

52 1 er chiffre significatif des prix de pubs suisses, semaine 3 en 2010

53 1 er chiffre significatif des prix de pubs suisses, semaine 3 en 2010

54 1 er chiffre significatif des prix de pubs belges 236 données (7 au 13 juillet 2010)

55 Loi de Benford généralisée

56 Benford Benford généralisé avec c entier entre 1 et 9 avec a et b réels entre 1 et 10

57 avec x réel entre 1 et 10

58 log((1+1)/1) = 0,301 log((2+1)/2) = 0,176 log((7+1)/7) = 0,058 log((6+1)/6) = 0,067 log((5+1)/5) = 0,079 log((4+1)/4) = 0,097 log((3+1)/3) = 0,125 log((9+1)/9) = 0,046 log((8+1)/8) = 0,051

59 1 er chiffre significatif i P ( 2 ème chiffre significatif = 3 / 1 er chiffre significatif = i ) = P ( i,3 mantisse i,4 ) = log (i,4 / i,3) P (2 ème chiffre significatif = 3) log (1,4 / 1,3) = 0,032 log (2,4 / 2,3) = 0,018 log (3,4 / 3,3) = 0,013 log (4,4 / 4,3) = 0,010 log (5,4 / 5,3) = 0,008 log (6,4 / 6,3) = 0,007 log (7,4 / 7,3) = 0,006 log (8,4 / 8,3) = 0,005 log (9,4 / 9,3) = 0,005 0,104

60 2 ème chiffre significatif i P ( 2 ème chiffre significatif = i ) Total 0,120 0,114 0,109 0,104 0,100 0,097 0,093 0,088 0, ,090

61

62 3 ème chiffre significatif i P ( 3 ème chiffre significatif = i ) Total 0,1018 0,1014 0,1010 0,1006 0,1002 0,0998 0,0994 0,0986 0, ,0990

63

64 Avec la loi de Benford généralisée, plus il se distribue donc conformément à notre intuition… plus il est distribué uniformément, plus un chiffre est loin à droite du 1 er chiffre significatif,

65 Invariance…

66 1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne données (fin septembre - début octobre 2012)

67 1 er chiffre significatif des prix de pubs suisses, semaine 3 en 2010

68 Invariance par changement dunités Si une série de données suit la loi de Benford généralisée, alors cette loi est également suivie après un changement dunités! Prix : FS $ Longueur:km miles 1961Roger Pinkham

69 Roger Pinkham a même montré que: La loi de Benford est lunique formulation pour obtenir une loi invariante par changement déchelle.

70 Un peu de poésie…

71 Existe-t-il dans la nature, une sorte de loi universelle régissant la proportion de chacun des chiffres 1 à 9 comme 1 er chiffre significatif ? Si une telle loi existe, elle doit forcément être valable indépendamment des unités de mesure humaines et par conséquent, en tenant compte du résultat de Pinkham, cest forcément la loi de Benford…

72 Analyse des chiffres…

73 Revenus imposables de 14'414 compagnies américaines (daprès S. W. Smith, 2007)

74 Etats-Unis LAméricain Mark Nigrini (www.nigrini.com) a amassé dès le début des années 1990 un grand nombre de preuves empiriques qui justifient lusage de la loi de Benford comme indicateur de fraude. Détection de fraudes (erreurs ou falsifications de données) dans les comptabilités !

75 Analyse des chiffres Discipline récente Sassure de la cohérence interne et de la vraisemblance de grandes quantités de données numériques Exploration systématique des chiffres des données Repérage danomalies de fréquences dans les chiffres et détection de données manipulées, falsifiées ou inventées Depuis une vingtaine dannées: Canada, USA Récemment: Introduction en Europe Depuis quand? Fait quoi? Comment? Pourquoi? Où?

76 Détection de fraudes (erreurs ou falsifications de données) dans les comptabilités ! 2 ) Si la fraude est délibérée, elles suivent rarement la loi de Benford. Constatations expérimentales 1 ) Des données « honnêtes » suivent assez souvent la loi de Benford.

77 Rien ne permet daffirmer non plus que des données comptables qui suivent la loi de Benford sont nécessairement honnêtes! Attention! Léloignement à la loi de Benford peut amener une suspicion de fraude mais ce nest en aucun cas une preuve, dautant plus que des comptabilités tout à fait honnêtes peuvent sen éloigner très fortement !

78 Exemple de fraude détectée notamment grâce au non-respect de la loi de Benford En 1993, Wayne J. Nelson, employé du Trésor de létat dArizona, est reconnu coupable davoir détourné près de 2 millions de dollars en versant à des personnes fictives 23 chèques dont voici les montants:

79 Date démission Montants en dollars Date démission Montants en dollars 9 octobre octobre octobre octobre Total

80 Indices de fraude ?

81 Date démission Montants en dollars Date démission Montants en dollars 9 octobre octobre octobre octobre Total

82 Indices de fraude 1)Les chiffres significatifs sont à lopposé de la loi de Benford (plus de 90 % commencent par 7, 8 ou 9).

83 Date démission Montants en dollars Date démission Montants en dollars 9 octobre octobre octobre octobre Total

84 Indices de fraude 1)Les chiffres significatifs sont à lopposé de la loi de Benford (plus de 90 % commencent par 7, 8 ou 9). 2)Valeurs dabord petites, puis les montants et leurs fréquences ont augmenté.

85 Date démission Montants en dollars Date démission Montants en dollars 9 octobre octobre octobre octobre Total

86 Indices de fraude 1)Les chiffres significatifs sont à lopposé de la loi de Benford (plus de 90 % commencent par 7, 8 ou 9). 2)Valeurs dabord petites, puis les montants et leurs fréquences ont augmenté. 3)Tous les montants restent inférieurs à dollars. (Des montants supérieurs auraient sans doute dû être visés par un supérieur hiérarchique.)

87 Date démission Montants en dollars Date démission Montants en dollars 9 octobre octobre octobre octobre Total

88 Indices de fraude 1)Les chiffres significatifs sont à lopposé de la loi de Benford (plus de 90 % commencent par 7, 8 ou 9). 2)Valeurs dabord petites, puis les montants et leurs fréquences ont augmenté. 3)Tous les montants restent inférieurs à dollars. (Des montants supérieurs auraient sans doute dû être visés par un supérieur hiérarchique.) 4)Les paires de premiers chiffres 87, 88, 93 et 96 ont été utilisées deux fois dans les 23 montants.

89 Etude minutieuse récente : A. Saville, Université de Prétoria, Afrique du Sud, )Test statistique de la loi de Benford appliqué à 17 compagnies connues pour avoir manipulé leurs comptes : la loi de Benford nétait respectée dans aucun des 17 cas ! 2)Test également appliqué à 17 compagnies « honnêtes » afin de détecter des faux positifs : 4 comptabilités ne satisfaisaient pas la loi de Benford.

90 Comptes dune école neuchâteloise…

91 Premier chiffre significatif des comptes dune école neuchâteloise en 2011 …

92 1er chiffre significatif des comptes dune école neuchâteloise en données

93 Détection de fraudes plus générales Une étude de psychologie expérimentale (menée par A. Dickmann - Zurich) a montré que des sujets auxquels on demande de créer des données les produisent sans respecter la loi de Benford, même sils connaissent celle-ci. Au mieux, on retrouve une certaine conformité pour le 1 er chiffre significatif. Mais dès quon sintéresse au 2 ème chiffre significatif, la distribution devient … à peu près nimporte quoi!

94

95 1er chiffre significatif des comptes dune école neuchâteloise en données

96 2 ème chiffre significatif des comptes dune école neuchâteloise en données

97 3 ème chiffre significatif des comptes dune école neuchâteloise en données

98 Formation continue…

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101 Pour les statisticiens…

102 Test dhypothèse Les écarts entre les données comptables et la loi de Benford sont-ils significatifs? Hypothèse nulle H 0 : « Les données suivent la loi de Benford. » Degré de fiabilité: (= 0,01 ou 0,02 ou 0,05 ou 0,10) est le risque d erreur de première espèce q ui quantifie le risque de rejeter l hypothèse H 0 alors qu elle est vraie.

103 donnéesloi théorique Effectifs réels – effectifs théoriques xixi effectif n i probabilité théorique (Benford) P i Effectif théorique Np i 1320, , , , , , , , ,046 Somme N1 N ,4310,6570,028 -4,265 18,188 1,118 1,547 31,6080,154 2,281 3,540 0,270 0,123 0,005 1,510 0,392 1,881 13,119 18,490 = ,176 8,314 7,029 6,089 5,371 4,805 15,343 16,265 -0,1760,031 0,003

104 Aire = Aire = 1 – Tabulation de la distribution du khi-carré 2

105 Conclusion: Attention, cette conclusion est moins forte que de dire: les données suivent la loi de Benford… Nous navons pas de raison de rejeter lhypothèse nulle H 0 qui dit que les données suivent la loi de Benford. A méditer…

106 Contre-exemples

107 Série de nombres construite avec un générateur de nombres aléatoires Numéros gagnants à une loterie Vos tailles Numéros de téléphone dans votre répertoire Numéros des maisons dune rue …

108 Exemples « mathématiques »

109 n2n2n 1 er chiffre sign. de 2 n 1 ère apparition de ce chiffre comme 1 er C.S

110 n2n2n 1 er chiffre sign. de 2 n 1 ère apparition de ce chiffre comme 1 er C.S

111 n2n2n 1 er chiffre sign. de 2 n 1 ère apparition de ce chiffre comme 1 er C.S

112 n2n2n 1 er chiffre sign. de 2 n 1 ère apparition de ce chiffre comme 1 er C.S E E E E+121

113 n2n2n 1 er chiffre sign. de 2 n 1 ère apparition de ce chiffre comme 1 er C.S E E E E E E E E E E+151

114 n2n2n 1 er chiffre sign. de 2 n 1 ère apparition de ce chiffre comme 1 er C.S E E E E E E E E E E+181

115 On constate quau plus lexposant n grandit, au plus les fréquences dapparitions des chiffres 1 à 9 comme 1 ers chiffres significatifs se rapprochent des fréquences de la loi de Benford. Vladimir Arnold et André Avez ont démontré quasymptotiquement la suite 2 n satisfait la loi de Benford.

116 1er chiffre significatif des n 1 ers nombres de la suite 2 n

117

118 Le mathématicien suisse Paul Jolissaint a démontré que la célèbre suite de Fibonacci … déjà connue pour plein de propriétés sympathiques ou amusantes, suit elle aussi asymptotiquement la loi de Benford !

119 Pourquoi des suites numériques issues du monde réel se conforment-elles raisonnablement à la loi de Benford ? Ainsi des suites de nombres sétalant sur plusieurs ordres de grandeur et de manière assez régulière sapprocheraient relativement bien de la loi de Benford. Quelques tentatives dexplications…

120 Peut-être quun jour, quelque principe général qui nous échappe encore aujourdhui, amènera une explication. Jean-Paul Delahaye


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