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0 6 3 9 La Set-Theory dAllen Forte Un cadre théorique pour l'analyse du Sacre du Printemps Les principes élémentaires de la Set-Theory Lanalyse du Sacre.

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1 La Set-Theory dAllen Forte Un cadre théorique pour l'analyse du Sacre du Printemps Les principes élémentaires de la Set-Theory Lanalyse du Sacre du Printemps par Allen Forte Set-Theory: Commentaires Equivalence et théorie de la musique La nomenclature dAllen Forte Le contenu intervallique Relations entre ensembles Cadre général Quatre stratégies danalyse Le rôle des mathématiques La théorie et lœuvre Critères de validation

2 Do Majeur Do Majeur 6 Do Majeur 6 4 Accord parfait Majeur Les principes élémentaires de la Set Theory :

3 La notion mathématique de relation déquivalence: Soit une relation formelle (notée ~) entre éléments dun ensemble. Exemple: Ensemble (R) : Noms correspondants aux touches du clavier dun piano Relation: correspond à la même touche du piano une fois ramené à une octave particulière On a par exemple Do# 4 ~ Réb 4 ou encore Do# 4 ~ Do# 1 Do# 4 Réb 4 Mib 4 Do 3 Si# 4 Fa x 4 Do# 1 La relation ~ est appelée relation déquivalence si elle satisfait au trois axiomes suivants pour tout élément a, b et c de lensemble : a ~ a a ~ b => b ~ a a ~ b et b ~ c => a ~ c Les principes élémentaires de la Set Theory :

4 La notion de classe déquivalence Do# 4 Réb 2 Mib 4 Do 3 Si# 4 Fa x 4 Do# 1 Lorsquun ensemble est muni dune relation déquivalence il est possible de découper celui-ci en sous-ensembles réunissant les éléments liés par la relation considérée. Exemple: Dans lexemple ci-dessus Do# 4, Réb 4 et Do# 1 feront partie du même sous- ensemble, puisquils sont liés par la relation déquivalence. Les sous-ensembles ainsi formés seront disjoints deux à deux et forment une partition de lensemble R. Ces sous ensembles sont appelés les classes déquivalence définis par ~. Il est dès lors possible de se référer à une classe déquivalence soit en lui donnant un nom, soit en mentionnant un de ses éléments, sachant que celui-ci représente la classe entière (le délégué de classe pour ainsi dire). Les principes élémentaires de la Set Theory :

5 Pitch Classes (Classes de hauteurs) Pitch Class Sets (Ensembles de classes de hauteurs) Lexemple considéré ci-dessus constitue précisément ce quAllen Forte nomme lensemble des classes de hauteurs. Chaque classe de hauteur est représentée par un entier, selon la correspondance établie ci-dessous. Un ensemble de classes de hauteurs (ECH) est tout simplement un ensemble (non ordonné) de classes de hauteurs. Les principes élémentaires de la Set Theory :

6 La transposition Opérations sur les ECH Transposer un ECH dun nombre n de demi-tons consiste à transposer chacun des éléments de lensemble de n demi-tons (ascendants). Algèbre Modulo La représentation adoptée, permet de définir la transposition dans le cadre de larithmétique Modulo 12. La transposition dun ECH peut alors être définie de façon formelle: T n (a 1, a 2, …, a k ) = (a 1 + n Mod 12, a 2 + n Mod 12, …, a k + n Mod 12) Exemples: Mod 12 = 4; Mod 12 = 7; Mod 12 = 11 etc. Exemple: ( ) ( ) Transposition de trois demi-tons (tierce mineure) Les principes élémentaires de la Set Theory :

7 Linversion Opérations sur les ECH Linversion (autour de la classe de hauteur 0) dun ECH consiste à inverser (ascendants devient descendant et vice versa), pour chaque élément de lensemble, lintervalle entre celui-ci et 0. En arithmétique modulo 12 linversion dun ECH peut se définir de façon formelle: I(a 1, a 2, …, a k ) = (- a 1 Mod 12, - a 2 Mod 12, …, - a k Mod 12) Exemple: ( ) ( ) Inversion (autour de 0) Les principes élémentaires de la Set Theory :

8 Transformations et représentations sur lhorloge des classes de hauteurs Opérations sur les ECH (11 3 6) T3T3 (2 6 9) (3 6 10) I Les principes élémentaires de la Set Theory :

9 Classes dECH Lensemble des transformations (12 transpositions, linversion et toutes les combinaisons entre celles-ci) permettent de définir une relation déquivalence sur lensemble des ECH. Deux ensembles sont considérés comme liés par la relation déquivalence (ils sont dit équivalents), si lun est limage de lautre par une des transformations. Comme pour les classes de hauteurs il est donc possible de définir des classes de classes de hauteurs. Ainsi, il ne reste plus que 220 classes distinctes (220 types dharmonies dans le sens où aucun élément dune classe donnée ne peut aboutir à un élément dune autre classe via les transformations définies). Comment les identifier? Les principes élémentaires de la Set Theory :

10 Classes dintervalles Nous avons déjà indirectement abordé (avec la transposition) la notion dintervalle Comme pour les hauteurs, les intervalles sont également regroupés en classes déquivalences. Les principes élémentaires de la Set Theory :

11 Contenu intervallique Le contenu intervallique répertorie toutes les classes dintervalles contenues dans un ECH ainsi que leurs fréquences dapparition. Il est possible de répertorier ces données dans le vecteur intervallique. Un point important : Tous les ECH réunis dans une même classe possèdent le même vecteur intervallique. [ ] ic 1 ic 2 ic 3 ic 4 ic 5 ic 6 Les principes élémentaires de la Set Theory :

12 Ensembles Classes Contenu intervallique ( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ][ ] [ ] z19 6-z44 [ ] [ ][ ] Résumons Les principes élémentaires de la Set Theory :

13 Un exemple AD BC T2T2 I °T 11 Les principes élémentaires de la Set Theory :

14 Ensembles Classes Contenu intervallique Complément littéral Inclusion littérale Complément Inclusion Relation K et Kh Similarité Rp Relation z Relation R0, R1 et R2 Les relations Les principes élémentaires de la Set Theory :

15 Relations entre ensembles : complément et inclusion littérale Le complément dun ensemble de classes de hauteurs H est formé par toutes les notes qui ne sont pas dans H. En général, le complément dun ech contenant n éléments contient 12 - n éléments. Un ensemble H est inclus dans un ensemble J si tous les éléments de H sont également dans J. (Le nombre déléments de H est donc inférieur ou égal au nombre déléments de J). Linclusion est dite stricte quand H nest pas égal à J. (Le nombre déléments de H est donc strictement inférieur au nombre déléments de J). Les principes élémentaires de la Set Theory :

16 Relations entre classes densembles : complément et inclusion Forme Primaire de H Forme Primaire de J Classe de lECH H Classe de lECH J Une classe dECH J est le complémentaire de la classe dECH H si la relation dinclusion est vrais au moins entre deux ech de la classe de J et de la classe H respectivement. Une classe dECH J est en relation dinclusion avec une classe dECH H si au moins un ech de la classe de J est inclus dans un ech de la classe H. Les principes élémentaires de la Set Theory :

17 Relations entre classes densembles : les complexes K et Kh Si un ECH H est élément du complexe K dun ECH A alors: H est en relation dinclusion avec A ou avec son complémentaire ( A ), Si un ECH H est élément du complexe Kh dun ECH A alors: H est en relation dinclusion avec A et avec son complémentaire ( A ), H K(A) H A ou H A H Kh(A) H A et H A

18 Relations entre classes densembles : similarité Rp Les principes élémentaires de la Set Theory : Deux ECH contenant le même nombre déléments k sont similaires Rp sil existe un ECH contenant k - 1 éléments en relation dinclusion avec ces deux ensembles.

19 Relations entre classes densembles : similarité entre contenus intervalliques Relations Z Relations R 0, R 1 et R 2 Les principes élémentaires de la Set Theory : Deux ECH distincts sont en relation z si leur contenu intervallique est identique. (les deux ensembles sont distincts dans le sens où ils nappartiennent pas à la même classe dECH. Il auront cependant le même nombre déléments). Deux ECH distincts contenant le même nombre déléments sont en relation R 0 si leurs vecteurs intervalliques respectifs diffèrent à chacune de leur entrée. Exemples: 5-32[ ] R [ ] R [ ] R 2 5-z18[ ] Ils sont en relation R 1 si leurs vecteurs intervalliques respectifs diffèrent seulement à deux entrées et que les valeurs y figurant sont inversées. Enfin, ils sont en relation R 2 si leurs vecteurs intervalliques respectifs diffèrent seulement à deux entrées mais que les valeurs y figurant ne sont pas inversées.

20 Lanalyse du Sacre du Printemps par Allen Forte Lanalyse dAllen Forte ne prétend pas expliciter tous les aspects du Sacre du Printemps: Cadre Général Quatre stratégies danalyse Statistique des accords présents dans lœuvre Spécificité des éléments harmoniques aux points de transitions Réduction dun passage à une harmonie première (Nexus) Recherche déléments communs à lensemble de lœuvre et commentaires généraux. La présente étude considère en détails les aspects harmoniques généraux du Sacre du Printemps, cest à dire non seulement les accords ou configurations verticales, mais également les ensembles de classes de hauteurs formant des configurations mélodiques, combinaisons de lignes horizontales et segments de formes variées (Forte p. 23).

21 Lanalyse du Sacre du Printemps par Allen Forte Statistique des harmonies présentes dans lœuvre

22 Lanalyse du Sacre du Printemps par Allen Forte Spécificité des élements harmoniques aux points de transitions

23 Lanalyse du Sacre du Printemps par Allen Forte Spécificité des élements harmoniques aux points de transitions Lunité du Sacre du Printemps nest pas tant due à des configurations répétées de façon littérales, quoi que de telles configurations sont présentes, ou par des relations thématiques de type traditionnel, quà une unité harmonique sous jacente, formée par des ECH considérés indépendamment des attributs de leurs apparitions particulières (Forte p. 23).

24 Lanalyse du Sacre du Printemps par Allen Forte Réduction dun passage à une harmonie première (Nexus) 6-z z42 K (5-31) Kh (6-27)

25 Lanalyse du Sacre du Printemps par Allen Forte Recherche déléments communs à lensemble de lœuvre

26 Lanalyse du Sacre du Printemps par Allen Forte Recherche déléments communs à lensemble de lœuvre Du fait du nombre important d harmonies présentes dans le Sacre du Printemps il est important de sélectionner les harmonies principales avec beaucoup de soin et avec un certain degré de flexibilité. Un shéma de complexes densemble contenant quasiment tous les ensembles est utile mais requiert une interprétation intelligente (Forte p. 132).

27 Set Theory : commentaires Le rôle des mathématiques Basculement de la musique vers une représentation formelle Ou arrêter le processus de condensation dinformation ? La théorie et lœuvre Les figures remarquables sont-elles dues à la théorie ou à lœuvre étudiée ? A supposer quelles sont dues à lœuvre étudiée, que nous disent-elles ? Quels critères de validation? Perception inconsciente de structures ? Largument statistique Reconstitution de la genèse de lœuvre ?

28 Il est possible de conclure que lharmonie finale, 4-18, était le but initial et préétabli de la progression (Forte p. 26).

29 z z28


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