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~624 à ~546 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Thalès de Milet.

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1 ~624 à ~546 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Thalès de Milet

2 Thalès est né vers ~624 à Milet. Notes biographiques Il est mort au même endroit vers ~546. Milet, colonie grecque dAsie Mineure qui fait maintenant partie de la Turquie.

3 Thalès est le premier philosophe et mathématicien grec connu. Aucun de ses ouvrages ne nous est parvenu et il est difficile de préciser avec certitude sa contribution aux mathématiques. Notes biographiques Il est fréquent que les découvertes attribuées à un auteur grec le soient grâce aux commentaires dauteurs ou aux écrits dhistoriens de la même époque ou dépoques subséquentes. Thalès qui fut marchand durant la première partie de sa vie sadonna aux voyages et à létude après avoir fait fortune. Au cours de ses voyages, il se familiarisa avec les mathématiques et lastronomie égyptiennes et babyloniennes.

4 Dans les civilisations égyptienne et babylonienne, les scribes rattachés aux temples devaient noter et conserver toutes les observations faites tant sur Terre que dans les cieux. Ils ont ainsi accumulé un grand nombre dobservations qui leur permettaient, par exemple, de prédire le retour des saisons. Astronomie On attribue à Thalès la prédiction de léclipse de Soleil du 28 mai en ~585. Une telle prédiction, fondée sur les connais- sances acquises des Égyptiens et des Babyloniens, ne signifie pas nécessairement quil comprenait le phénomène de léclipse. En réalité, les observations accumulées par les prêtres pendant des siècles avaient permis aux Babyloniens de découvrir quil y a 223 lunaisons entre deux éclipses de Soleil, une lunaison étant lintervalle de temps entre deux pleines lunes.

5 Thalès en vint à considérer les figures géométriques comme des formes abstraites qui ont une existence et des carac- téristiques propres, ce qui lui permit de rechercher des propriétés générales de ces objets. Géométrie Les figures géométriques considérées par Thalès et les propriétés quil leur attribue sont des abstractions obtenues à partir dobjets dusage courant comme la roue et le triangle pour les formes, le fil à plomb des constructeurs pour les angles droits, le quadrant des astronomes pour la mesure des angles. Il est le premier savant auquel on attribue des découvertes mathématiques précises, ce sont les cinq propositions qui suivent.

6 Diamètre dun cercle Proposition 1 Tout diamètre dun cercle divise celui-ci en deux parties égales (congrues). La proposition, comme la définition, sont le résultat dune abstraction. Il nest pas simple dimaginer une démons- tration pour cette proposition. Cest peut-être pour cette raison quEuclide a choisi de définir le diamètre comme une droite qui coupe le cercle en deux parties égales. La roue a été dune grande inspiration pour les premiers géomètres. Un cercle est une figure plane formée de tous les points à égale distance dun point fixe. Définition 1

7 Triangle isocèle Définition 2 Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés égaux. Proposition 2 Les angles à la base dun triangle isocèle sont égaux. Pour démontrer cette proposition, il faut dabord abaisser la hauteur. Puis, montrer que les triangles rectangles obtenus sont égaux, ce qui permet de conclure que les angles le sont également.

8 Angles opposés par le sommet Proposition 3 Les angles opposés par le sommet sont égaux. On démontre cette proposition en considérant que langle dont les côtés sont dans le prolongement lun de lautre est égal à deux droits. Lorsquune ligne droite tombant sur une ligne droite fait deux angles adjacents égaux, chacun des angles égaux est un angle droit; et la droite placée au-dessus est dite perpendi- culaire à celle sur laquelle elle est placée. Euclide, Les Éléments, Livre I, définition 10.

9 Triangles congrus Proposition 4 Deux triangles sont congrus lorsquils ont un côté égal et deux angles congrus chacun à chacun. Cest le premier cas dégalité (ou de congruence des triangles). Il est assez simple de constater quen donnant la longueur dun côté et les deux angles adjacents, on ne peut construire quun seul triangle (qui peut être déplacé). Ce qui suggère la proposition suivante :

10 Angle inscrit Proposition 5 Tout angle inscrit dans un demi- cercle est un angle droit. Pour démontrer cette propriété, il faut dabord montrer que la mesure dun angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de langle au centre qui intercepte le même arc. Il faut avoir préalablement établi que : Les angles à la base dun triangle isocèle sont égaux. Langle dont les côtés sont dans le prolongement lun de lautre est égal à deux droits. La somme des angles intérieurs dun triangle est égale à deux angles droits.

11 Théorème de Thalès Théorème de Thalès Toute droite tracée parallèlement à lun des côtés dun triangle déter- mine un nouveau triangle semblable au premier. Pour nous, les triangles semblables sont particulièrement utiles pour calculer des longueurs. Les grecs étaient surtout intéressés à la proportionnalité et ne semblent pas avoir utilisé cette caractéristique pour calculer des longueurs, ce qui les distingue des égyptiens et des babyloniens. Un théorème de la géométrie porte le nom de Thalès, il sénonce comme suit :

12 On rapporte que Thalès apprit des Égyptiens comment mesurer la distance dun navire en mer et comment mesurer la hauteur dune pyramide. Distance dun navire en mer Il y a deux méthodes que Thalès aurait pu utiliser. La première consiste à avoir recours à une équerre pour construire des triangles semblables pour déter- miner la distance en utilisant les rapports des côtés.

13 La deuxième méthode consiste à construire un triangle isocèle en utilisant un quadrant dastronome, un fil à plomb et le théorème suivant : Distance dun navire en mer Dans tout triangle isocèle, la hauteur, la médiane, la médiatrice et la bissectrice issus du sommet opposé au troisième côté coïncident. En reportant langle de visée, on construit un triangle isocèle formé de deux triangles rectangles dont les côtés homologues ont même longueur.

14 En utilisant linstrument de visée, on peut reporter sur la terre ferme la distance du navire en mer pour la mesurer. Distance dun navire en mer Pour éviter de mesurer chaque fois la distance terrestre, on peut poser des jalons à intervalles réguliers sur la terre ferme, ce qui constitue une règle graduée. Le report de langle de visée sur cette règle graduée permet alors destimer la distance du bateau en mer.

15 Pour mesurer la hauteur de la grande pyramide Thalès aurait utilisé lombre dune tige et lombre de la pyra- mide. Il faut cependant que certaines conditions soient satisfaites : Hauteur de la grande pyramide La pyramide doit avoir une ombre qui déborde de sa base. Les rayons du Soleil doivent être perpendiculaires au côté de la base. À la latitude de la grande pyramide, il ny a que deux jours dans lannée où ces conditions sont satisfaites, ce sont le 21 novembre et le 20 janvier.

16 La méthode utilisée par Thalès fait appel à une représentation géomé-trique abstraite du problème. Hauteur de la grande pyramide Cette méthode peut donc être considérée comme une application du théorème de Thalès. La tige en position verticale est une droite tracée parallèlement à lun des côtés du triangle formé par la hauteur, le sol et la droite joignant le sommet de la pyramide à lextrémité de son ombre.

17 Thalès a été le premier à tenter dexpliquer les phénomènes par des causes naturelles. Lorsquon veut expliquer la nature on est confronté à la question : « De quoi est constitué lunivers ? » Pour Thalès, lunivers est constitué deau, leau est le principe (constituant) de toutes choses. Il est difficile dexpliquer avec certitude comment lui est venue une telle conviction. Cosmologie Il est cependant facile dobserver les effets bénéfiques de la pluie sur les végétaux. On croit que, lors dun séjour en Égypte, il a été témoin du débordement du Nil qui laissait dans les champs un limon fertile et qui marquait léclosion de la vie dans la vallée.

18 Thalès croyait que la Terre était plate et flottait sur une vaste étendue deau. Cela lui permettait, par exemple, de donner une explication des tremblements de terre ne faisant pas appel aux dieux. Tout comme un morceau de bois flottant à la surface de leau est secoué par les remous, la Terre peut subir les soubresauts de leau lorsque celle-ci est fortement secouée. On reconnaît dans cette tentative dexplication une recherche de causes naturelles. Cosmologie Les enseignements de Thalès ont été critiqués par ses contemporains. Ainsi, compte tenu de lantagonisme de leau et du feu, il est difficile de concilier lexistence du feu avec la théorie selon laquelle tout est constitué deau.

19 La recherche de causes naturelles aux phénomènes nexistait pas avant Thalès. Dans les poèmes dHomère: lIlliade et lOdyssée, les phénomènes naturels ne sont pas expliqués par des causes naturelles mais par des mythes et des légendes. Les éclairs, le tonnerre, les changements de saison sont expliqués par les interactions entre dieux et déesses et entre les hommes et les dieux. Conclusion Thalès a cherché des explications basées sur des principes physiques intelligibles. Sa théorie de lunivers constitué deau peut sembler farfelue mais elle est la première tentative dexplication des phénomènes physiques par des causes naturelles. Cette théorie a suscité une réflexion, un débat, ce qui est le propre dune théorie qui peut être analysée, critiquée et remodelée.

20 Bibliographie Ball, W. W. R. A Short Account of History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc., 1960, 522 p. Bernal, J.D. A History of Classical Physics, From Antiquity to the Quantum, New York, Barnes & Nobles Books, 1997, 317 p. Boyer, Carl B. A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1968, 717 p. Collette, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., vol., 587 p. Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p. Gribbin, John, A Brief History of Science, New York, Barnes & Nobles Books, 1998, 224 p. Silver, Brian L. The Ascent of Science, New York, Oxford University Press, 1998, 534 p. Smith, David Eugene. History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1958, 2 vol p. Struik, David. A Concise History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1967, 195 p. Fin Texte


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