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Géométrie et topologie en cosmologie relativiste J.-P.Luminet Observatoire de Paris (LUTH)

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1 Géométrie et topologie en cosmologie relativiste J.-P.Luminet Observatoire de Paris (LUTH)

2 Les 4 niveaux de la géométrie ?

3 géométrie différentielle métrique : locale topologie non métrique : globale Problème des ponts de Königsberg (Euler, 1736) : Géométrie de position Topologie Théorie des graphes problèmes indépendants de la métrique

4 même métrique différentes topologies même topologie différentes métriques Genre 0Genre 1Genre 2

5 Homotopie & degré de connexité Genre 0 Classes déquivalence des lacets = groupe dhomotopie G G(S 2 ) = IdG(T 2 ) = G(S 1 ) + G(S 1 ) = Z + Z

6 SphèreToreBretzel domaine fondamental a a a ab b a a b b holonomies a,b G g G Revêtement universel S 2 (k>0) E 2 (k=0) H 2 (k<0)

7 pavage du plan hyperbolique Double tore 2 trous -> 8 côtés (octogone) UC = H 2 Pavage de H 2 par des octogones (Poincaré)

8 Espaces multiplement connexes X : espace de revêtement universel => H 3, E 3, S 3 pour la cosmologie G : groupe dholonomies sous-groupe discret sans point fixe du groupe disométries de X M = X/G

9 Classification des surfaces 5 surfaces euclidiennes E MC

10 2 pavages du plan euclidien Tore bouteille de Klein Revêtement universel Dom. fondamental homogène non homogène Groupe dholonomie

11 2 surfaces sphériques surfaces hyperboliques (nombre de trous)

12 Classification des espaces homogènes 3D E 3, S 3, H 3 Espace de revêtement universel X Polyèdre Fondamental FP Groupe dholonomie G M=X/G

13 Espèces dEspaces Espaces Euclidiens (« plats ») Espaces Euclidiens (« plats ») : 18 formes finis et infinis Espaces Sphériques Espaces Sphériques : infinité dénombrable tous finis Espaces Hyperboliques Espaces Hyperboliques : infinité finis et infinis

14 Espaces euclidiens (« plats ») U.C : 0 direction compacte - 1 forme E 3 Table : 1 direction compact - 2 formes Cheminée: 2 directions compactes - 5 formes Compacts: 3 directions compactes - 10 formes G : translations, réflexions

15 2 Espaces « tabulaires »

16 5 Espaces « cheminée »

17 4 Espaces Compacts Non- Orientables 6 Espaces Compacts Orientables

18 Espaces hyperboliques X H 3 = PSL(2,C) Infinité de tels espaces Pour les espaces hyperboliques compacts : Classification par volumes croissants ( Weeks ) Plus petit espace connu : Espace de Weeks (vol(M) = 0.92 R 3 )

19 X S 3 = SO(4) G = (Z p, D m *, T*, O*, I*) Espaces sphériques

20 U.C. S 3 Espaces lenticulaires S 3 /Z p Espaces prismatiques S 3 /D m Espaces polyédriques S 3 /T*, S 3 /O*, S 3 /I*

21 Espaces lenticulaires p tranches L(p,1) L(p,q), q


22 120 copies pavent S 3 Espace dodécaédrique de Poincaré

23 ©Jeff Weeks

24 geometry = matter-energy G ij = k T ij Spacetime metric ==> does not specify global properties of spacetime ds 2 = g ij dx i x j

25 2 Examples 1. Kerr black holes 2. Friedmann-Lemaître solutions M 4 = R M simply-connected E 3, S 3, H 3 ?

26 Lespace est-il fini ou infini?

27 CosmologyTopology 1687 Newton : E Schwarzschild: E 3 /G = T Einstein: S De Sitter: S 3 /Z 2 = P Friedmann : S Friedmann : H 3, H 3 /G 1927 Lemaître : P 3, H Robertson : S 3, E 3, H Einstein-de Sitter: E Fedorov : subgroups of E Clifford-Klein : subgroups of S Poincaré: S 3 /I* Threlfall-Seifert : S 3 /G 1934 Nowacki : E 3 /G 1960 Wolf : E 3 /G, S 3 /G 1978 Thurston, Fomenko, Weeks: H 3 /G 1971 Ellis: « small universe » M/G Einstein to Weyl, 1918 : « I have an obscure feeling that spherical space must be preferred to elliptical space; the latter has a class of loops which cannot be continuously stretched to zero, it is why I like it less »

28 CMB Concordance model Inflation => scale invariant density fluctuations NOW Espace « plat » infini (monoconnexe) (k = 0) Espace « plat » infini (monoconnexe) (k = 0) Densité dénergie : tot = 1.00 ( m = 0.28, = 0.72) Expansion accélérée Expansion accélérée

29 T G Horizon Infini Hypothèse 1 Lunivers est infini Hypothèse 2 Lunivers est fini (sans bord) mais plus grand que lunivers visible T G Horizon Hypothèse 3 Lunivers est fini (sans bord) et plus petit que lunivers visible T G Horizon GGG GG GGG Peut-être testablePas testable Testable Quelle est la taille et la forme de lespace ?

30 Hypersphère : espace fini sans bord Sphère = Surface (2D) dun volume (3D) sphérique Lignes droites Hypersphère = Surface (3D) dun hypervolume (4D)

31 A finite flat space without boundary Torus

32 Si le rayon dinjectivité de lespace est plus petit que léchelle dobservation, on doit observer des images multiples dune même source. Effet de mirage topologique z max ~ 3 for galaxies z max ~1100 for lss Ex.: Espace de Weeks

33 Hypertore Espace observéEspace réel

34 Les images fantômes sont vues à diff é rents é poques (diff é rents z)

35 Curvature radius Euclidean spaces : no curvature scale size of E 3 /G arbitrary Hyperbolic spaces : R c 3 < vol(H 3 /G) Spherical spaces : 0 < vol(S 3 /G) vol(S 3 ) = 2 2 R c 3 (Rigidity theorem) Spatial Scales Topological scales r+ r + = outradius = smallest sphere circumscribable around the FP r- r - = inradius = largest sphere inscribable in the FP r inj r inj =injectivity radius = half the smallest geodesic from one topological image to another

36 How to see topology? 3D data (,,z) (galaxies, clusters) Cosmic Crystallography 2D data (CMB) T/T(, ) at z ~ 1100 Statistical analysis of anisotropies

37 Comment détecter les images topologiques ? reconnaissance directe problèmes : évolution, morphologie, angle-de-vue corrélations statistiques idée : les séparations (distances dans lespace observable) entre les images multiples dune même source sont des combinaisons simples des longueurs caractéristiques du polyèdre fondamental Pics dans un Histogramme de Séparations de Paires (PSH)

38 Cosmic Crystallography

39 Cosmic Crystallography: Simulations Sky map simulation in hypertorus. The F.P. is a cube with length = 60% the horizon size and contains 100 « original » sources (red dots). One observes 1939 topological images (blue dots). Pair Separation Histogram. Spikes emerge at values and with amplitudes depending on topological lengths and holonomies.

40 PSH in Poincaré space Premières images fantômes à z ~ 2

41 Rayonnement fossile : Carte WMAP, 2003 T = 2,726 K - fluctuations à 0,00001 K

42 Chladni Patterns Hypergeometric series, Euler, 1769

43 Cosmic Microwave Background Observed on a 2-sphere Multipole moments

44 The l = 0 term is often called the monopole term, and corresponds to the surface of a completely smooth and featureless sphere. In terms of the CMB, the monopole term is the Kelvin microwave background, which is uniform out to a few milliKelvin.

45 The l = 1 term is called the dipole, and corresponds to a sphere with one part more positive than average and the other more negative. In terms of the CMB positive means warmer than background, and negative means cooler. The dipole variation of the CMB is approximately +/-.003 Kelvin, relative to the monopole term, and is a relic of our movement relative to the CMB, and not cosmological in origin.

46 The CMB multipoles Quadrupole

47 Power spectrum l=180°/ Doppler peaks (Boomerang, Archeops, etc.) Large scales (COBE, WMAP) d T l 2 = l(l+1)C l /2

48 WMAP power spectrum (Bennett et al., Spergel et al. 2003) flat infinite universe Universe seems to be positively curved = 1.02 ± 0.02 at 1

49 tot = 1.02 ( m =0.28) Curvature radius (UC space S 3 ) radius 98 Gly Lespace est-il « presque » plat?? Curvature Radius: Horizon Radius: Horizon 2-sphere radius 46 Gly us

50 WMAP power spectrum (Bennett et al., Spergel et al. 2003) flat infinite universe Lack of power at large scales (> 60°) Lespace est fini et a une forme précise !

51 l = 2 quadrupole : 14% l = 3 octopole : 72% « Low l anomalies » flat infinite universe CDM l=2l=3 error bars: 762 K K 2 quadrupole plane and octopole planes aligned with local planes

52 Possible explanations Not reliable : Cosmic variance, bad data analysis ( I never believe anything less than a 5 result ) ==> wait for 2nd WMAP release … 2005? Low l alignements : Solar system effect (Schwarz et al. 2004; Hansen et al. 2004) ==> cosmic quadrupole could be still lower! Reliable : A special feature in the inflation potential ( Inflation can do everything ) ==> no physical model Reliable : Other new physics/geometry, e.g. space is finite and cannot vibrate at scales larger than its size ==> non trivial topology!

53 Cosmic Microwave Background Origin of primordial fluctuations Motion of plasma: Doppler effect Line of-sight: Integrated Sachs-Wolfe effect Density fluctuation + Gravitational potential = Sachs-Wolfe term

54 Simply-connected flat space SW+D+ISW Cut-off at large scale in cubic torus RWULL: Phys.Rev.D69 (2004),

55 Simply-connected spherical space Multiconnected spherical space (PDS) Aurich et al. MNRAS (2005)

56 Fundamental Polyhedron from inside S 3 /I* vol(PDS) = vol(S 3 ) /120 Twist : 36° Poincaré Dodecahedral Space LWRLU, Nature 425, 593 (2003)

57 The « football Universe » Luminet et al., Nature, °

58 Power spectrum for l = 2,3,4 0 =1.016, m =0.28) Comparison to C l data variation of quadrupole (l=2) and octopole (l=3) with Best fit: = ( m =0.28)

59 Spectre de puissance simulé l (Dodécaèdre de Poincaré – – k max =1500) Total Sachs-Wolfe Doppler ISW l(l+1)C l

60 Spectre de puissance simulé l l(l+1)C l -CDM PDS WMAP

61 Lespace dodécaédrique en « 2D » Univers observable Rayon = 53 milliards a.l. Espace physique Rayon = 43 milliards a.l. Volume(Espace) = 80 % Vol(U obs ) !Mirage cosmique !

62 Nearly Flat Spherical WP Spaces Recall : tot = => k =+1

63 Espace octaédrique ( tot > 1.015) Espace tétraédrique ( tot > 1.025)

64 Volume(PDS) = 80 % Vol(R h ) ==> topological lensing Six pairs of back-to-back matched circles twisted by /5 Angular diameter 35° Planck Surveyor WMAP? PDS predictions fit low quadrupole fit low octopole < tot < 1.02

65 Pairs of Matched Circles If Size of Space smaller than R lss : The lss surface overlaps Cornish, Spergel & Starkman, 1998 Circles in the sky

66 Paire de cercl es Chercher des cercles dans le ciel !

67 Matching is perfect (Sachs-Wolfe term alone) Size of torus « left » duplicate« right » duplicate

68 Pairs of circles in computed PDS map For = 1.02 (Caillerie et al. 2005)

69 Search for matched circles General 6 parameters search Location of first circle center (2) Location of second circle center (2) Radius of the circle (1) Relative phase of the two circles (1) Search cost WMAP : pixels : full search takes operations Reduced 4 parameters search (back-to-back circles) Location of first circle center (2) Radius of the circle (1) Relative phase of the two circles (1) => 10 million years on the computer!

70 No circles Number of Circles depends on the size of space and topology A few circlesmany circles

71 Size of circles decreases as vol(PDS) increases PDS excluded if tot < Best fit LWRLU

72 Prediction of PDS : Six pairs of back-to-back matched circles twisted by /5 Angular diameter ~ 35° Testing PDS with WMAP observations Cornish et al (Phys Rev 2004): No Roukema et al (Astron. Astrophys. 2004): Yes Aurich et al (MNRAS 2005): Yes? Search for circles:

73 Search for circles > 25° Back-to-back circles are NOT a generic situation Simply-connected space WMAP data No signal spikes Simulation in a flat torus Cornish et al., 2003

74 If space is not homogeneous, circles are not back-to-back Example : Klein bottle Back-to-back Circles?

75 Position of matched circles depends on observers position Half-turn flat space, the observer moves from (0,0,0) along x-direction

76 Found 6 pairs of matched circles in a dodecahedral pattern Radius of circles 11 ± 1° => tot = ± (for m = 0.28 ± 0.02) Roukema et al., 2004 Matched temperatures Location and size of circles

77 Hint for 6 pairs of matched circles at tot = Aurich, Lustig, Steiner, MNRAS 2005

78 Problem for inflation ? Standard models of inflation predict 1- > R lss Can we have inflation with >1 and L >~ R lss ? (Uzan, Ellis & Kirchner 2003, Linde 2003) During inflation, a(t) = a 0 exp(Ht) ~ 1.1 ==> N e-foldings ~ 60 ( low scale inflation ) Problem : fine-tuning

79 Quantum origin of topology? Quantum cosmology Brane cosmology Classical GR Theorem: No topological change after Planck era ==> present-day topology is a remain of the quantum era

80 Sum over topologies Wavefunction of the universe : Wheeler-De Witt equation H ( 3 g, ) + R = 0 Sum over topologies dominated by small volumes and complex topologies (Carlip, 1993) Closed spaces are favoured S 3 is the only closed simply- connected manifold multiconnected closed spaces favoured Zeldovich, Starobinsky, Goncharov, Bytsenko, Fagundes, Linde (2004) superspace 3-geometry universe worldline ( 3 g) =

81 Dimensions supplémentaires Supercordes, théorie branaire (10 ou 11 dim) corde fermée corde ouverte

82 Estampe XVIIe s., BnF


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