Géométrie et topologie en cosmologie relativiste

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1 Géométrie et topologie en cosmologie relativiste
J.-P.Luminet Observatoire de Paris (LUTH)

2 Les 4 niveaux de la géométrie
?

3 problèmes indépendants de la métrique
géométrie différentielle métrique : locale topologie non métrique : globale Problème des ponts de Königsberg (Euler, 1736) : Géométrie de position • Topologie • Théorie des graphes problèmes indépendants de la métrique

4 différentes topologies même topologie différentes métriques
même métrique différentes topologies même topologie différentes métriques Genre 0 Genre 1 Genre 2

5 Homotopie & degré de connexité
Classes d’équivalence des lacets = groupe d’homotopie G Genre 0 G(S2) = Id G(T2) = G(S1) + G(S1) = Z + Z

6 Sphère Tore Bretzel domaine fondamental holonomies a,b G
g G Revêtement universel S2 (k>0) E2 (k=0) H2 (k<0)

7 pavage du plan hyperbolique
Double tore 2 trous -> 8 côtés (octogone) Pavage de H2 par des octogones (Poincaré) Cliquer 3 fois UC = H2

8 Espaces multiplement connexes
M = X/G X : espace de revêtement universel => H 3, E 3, S 3 pour la cosmologie G : groupe d’holonomies sous-groupe discret sans point fixe du groupe d’isométries G de X

9 Classification des surfaces
5 surfaces euclidiennes E2 + 4 MC

10 2 pavages du plan euclidien
Tore bouteille de Klein Dom. fondamental Groupe d’holonomie Cliquer3 fois. Isotropie globale brisée. Homegénéité globale conservée pour le tore, brisée pour Klein homogène non Revêtement universel

11 ∞ surfaces hyperboliques (nombre de trous)
2 surfaces sphériques ∞ surfaces hyperboliques (nombre de trous)

12 Classification des espaces homogènes 3D
• Espace de revêtement universel X • Polyèdre Fondamental FP • Groupe d’holonomie G E3, S3, H3 M=X/G

13 Espèces d’Espaces Espaces Euclidiens (« plats ») : 18 formes
finis et infinis Espaces Sphériques : infinité dénombrable tous finis Espaces Hyperboliques : infinité

14 Espaces euclidiens (« plats »)
G : translations, réflexions U.C : 0 direction compacte forme E3 Table : 1 direction compact formes Cheminée: 2 directions compactes - 5 formes Compacts: 3 directions compactes - 10 formes

15 2 Espaces « tabulaires »

16 5 Espaces « cheminée »

17 6 Espaces Compacts Orientables
4 Espaces Compacts Non-Orientables

18 Espaces hyperboliques
X  H G = PSL(2,C) (Weeks) Plus petit espace connu : Espace de Weeks (vol(M) = 0.92 R3) • Infinité de tels espaces • Pour les espaces hyperboliques compacts : Classification par volumes croissants

19 Espaces sphériques X  S G = SO(4) G = (Zp, Dm*, T*, O*, I*)

20 Espaces sphériques U.C. S3 Espaces lenticulaires S3/Zp
Espaces prismatiques S3/Dm Espaces polyédriques S3/T*, S3/O*, S3/I*

21 Espaces lenticulaires
p tranches L(p,q), q <p/2 q pavages de l’hypersphère avec p lentilles L(p,3) L(p,1) L(p,2)

22 Espace dodécaédrique de Poincaré
120 copies pavent S3

23 ©Jeff Weeks

24 geometry = matter-energy
Gij = k Tij geometry = matter-energy ds2 = gij dxixj Spacetime metric ==> does not specify global properties of spacetime

25 2. Friedmann-Lemaître solutions
2 Examples 1. Kerr black holes Cliquer pour faire apparaitre E3, S3, H3 M4 = R  M 2. Friedmann-Lemaître solutions simply-connected E3, S3, H3 ?

26 L’espace est-il fini ou infini?

27 Cosmology Topology 1687 Newton : E3 1885 Fedorov : subgroups of E3
1890 Clifford-Klein : subgroups of S3 Schwarzschild: E3/G = T3 1906 Poincaré: S3/I* Einstein to Weyl, 1918 : « I have an obscure feeling that spherical space must be preferred to elliptical space; the latter has a class of loops which cannot be continuously stretched to zero, it is why I like it less » Einstein: S3 De Sitter: S3/Z2 = P3 Friedmann : S3 Friedmann : H3, H3/G Lemaître : P3, H3 Robertson : S3, E3, H3 Einstein-de Sitter: E3 Threlfall-Seifert : S3/G 1934 Nowacki : E3/G 1960 Wolf : E3/G, S3/G 1971 Ellis: « small universe » M/G 1978 Thurston, Fomenko, Weeks: H3/G

28 Concordance model CMB • Espace « plat » infini (monoconnexe) (k = 0)
•Densité d’énergie : Wtot = 1.00 (Wm = 0.28, WL = 0.72) • Expansion accélérée Concordance model Inflation => scale invariant density fluctuations CMB NOW

29 Quelle est la taille et la forme de l’espace ?
Hypothèse 3 L’univers est fini (sans bord) et plus petit que l’univers visible T G Horizon T G Horizon Infini Hypothèse 1 L’univers est infini Hypothèse 2 L’univers est fini (sans bord) mais plus grand que l’univers visible T G Horizon Pas testable Peut-être testable Testable

30 Hypersphère : espace fini sans bord
Sphère = Surface (2D) d’un volume (3D) sphérique Hypersphère = Surface (3D) d’un hypervolume (4D) Lignes droites

31 A finite flat space without boundary
Torus Cliquer3 fois. Isotropie globale brisée. Homegénéité globale conservée pour le tore, brisée pour Klein

32 Effet de mirage topologique
Si le rayon d’injectivité de l’espace est plus petit que l’échelle d’observation, on doit observer des images multiples d’une même source. Ex.: Espace de Weeks zmax ~ 3 for galaxies zmax ~1100 for lss Cliquer : zmax. Cliquer : Weeks

33 Hypertore Espace réel Espace observé

34 Les images fantômes sont vues à différents époques (différents z)

35 Spatial Scales Topological scales Curvature radius Euclidean spaces :
no curvature scale size of E3/G arbitrary Hyperbolic spaces : 0.166 Rc3 < vol(H3/G) ≤ ∞ Spherical spaces : 0 < vol(S3/G) ≤ vol(S3) = 2p2Rc3 (Rigidity theorem) r+ r+ = outradius = smallest sphere circumscribable around the FP r- r- = inradius = largest sphere inscribable in the FP rinj rinj =injectivity radius = half the smallest geodesic from one topological image to another

36 How to see topology? 3D data (q,f,z) (galaxies, clusters)
Cosmic Crystallography 2D data (CMB) dT/T(q,f) at z ~ 1100 Statistical analysis of anisotropies

37 Comment détecter les images topologiques ?
reconnaissance directe problèmes : évolution, morphologie, angle-de-vue corrélations statistiques idée : les séparations (distances dans l’espace observable) entre les images multiples d’une même source sont des combinaisons simples des longueurs caractéristiques du polyèdre fondamental  Pics dans un Histogramme de Séparations de Paires (PSH)

38 Cosmic Crystallography

39 Cosmic Crystallography: Simulations
Sky map simulation in hypertorus. The F.P. is a cube with length = 60% the horizon size and contains 100 « original » sources (red dots). One observes 1939 topological images (blue dots). Pair Separation Histogram. Spikes emerge at values and with amplitudes depending on topological lengths and holonomies.

40 Premières images fantômes à z ~ 2
PSH in Poincaré space Premières images fantômes à z ~ 2

41 Rayonnement fossile : Carte WMAP, 2003
T = 2,726 K - fluctuations à 0,00001 K

42 Chladni Patterns Hypergeometric series, Euler, 1769

43 Cosmic Microwave Background
Observed on a 2-sphere Multipole moments Cliquer sur cosmic drumhead. Revenir en arrière.

44 The l = 0 term is often called the monopole term, and corresponds to the surface of a completely smooth and featureless sphere. In terms of the CMB, the monopole term is the Kelvin microwave background, which is uniform out to a few milliKelvin.

45 The l = 1 term is called the dipole, and corresponds to a sphere with one part more positive than average and the other more negative. In terms of the CMB “positive” means warmer than background, and “negative” means cooler. The dipole variation of the CMB is approximately +/ Kelvin, relative to the monopole term, and is a relic of our movement relative to the CMB, and not cosmological in origin.

46 The CMB multipoles Quadrupole

47 Power spectrum dTl2 = l(l+1)Cl/2p l=180°/q Doppler peaks
(Boomerang, Archeops, etc.) l=180°/q Large scales (COBE, WMAP)

48 WMAP power spectrum (Bennett et al., Spergel et al. 2003)
•Universe seems to be positively curved W = 1.02 ± 0.02 at 1 s flat infinite universe Coupure spatiale ==> Espace fini ==> Problème pour l’inflation (nombre de e-foldings limité)

49 Horizon 2-sphere radius 46 Gly
L’espace est-il « presque » plat?? Curvature Radius: Horizon Radius: Wtot = 1.02 (Wm =0.28) Horizon 2-sphere radius 46 Gly us Curvature radius (UC space S3) radius 98 Gly

50 WMAP power spectrum (Bennett et al., Spergel et al. 2003)
flat infinite universe Coupure spatiale ==> Espace fini ==> Problème pour l’inflation (nombre de e-foldings limité) • Lack of power at large scales (> 60°) L’espace est fini et a une forme précise !

51 quadrupole plane and octopole planes aligned with local planes
« Low l anomalies » flat infinite universe LCDM l = 2 quadrupole : 14% l = 3 octopole : 72% Coupure spatiale ==> Espace fini ==> Problème pour l’inflation (nombre de e-foldings limité) quadrupole plane and octopole planes aligned with local planes l=2 l=3 error bars: mK mK2

52 Possible explanations
Not reliable : Cosmic variance, bad data analysis (“I never believe anything less than a 5 s result”) ==> wait for 2nd WMAP release… 2005? Low l alignements : Solar system effect (Schwarz et al. 2004; Hansen et al. 2004) ==> cosmic quadrupole could be still lower! Reliable : A special feature in the inflation potential (“Inflation can do everything”) ==> no physical model Reliable : Other new physics/geometry, e.g. space is finite and cannot vibrate at scales larger than its size ==> non trivial topology!

53 Cosmic Microwave Background
Origin of primordial fluctuations Density fluctuation + Gravitational potential = Sachs-Wolfe term Line of-sight: Integrated Sachs-Wolfe effect SW : fluctuations intrinsèque + grav. Redshift Doppler : mouvement du plasma émetteur - ISW : perturbations du photon le long de la trajectoire Motion of plasma: Doppler effect

54 Simply-connected flat space
SW+D+ISW Simply-connected flat space Cut-off at large scale in cubic torus RWULL: Phys.Rev.D69 (2004),

55 Simply-connected spherical space
Multiconnected spherical space (PDS) Aurich et al. MNRAS (2005)

56 Poincaré Dodecahedral Space
S3/I*  vol(PDS) = vol(S3) /120 Fundamental Polyhedron Twist : 36° from inside LWRLU, Nature 425, 593 (2003)

57 The « football Universe »
36° Luminet et al., Nature, 2003

58 variation of quadrupole (l=2) and octopole (l=3) with W
Comparison to Cl data Power spectrum for l = 2,3,4 W0=1.016, Wm=0.28) variation of quadrupole (l=2) and octopole (l=3) with W Best fit: W = 1.016 (Wm=0.28)

59 Spectre de puissance simulé
(Dodécaèdre de Poincaré – W0=1,02 – kmax=1500) Sachs-Wolfe l(l+1)Cl Doppler Total ISW l

60 Spectre de puissance simulé
WMAP L-CDM l(l+1)Cl PDS l

61 L’espace dodécaédrique en « 2D »
Espace physique Rayon = 43 milliards a.l. Univers observable Rayon = 53 milliards a.l. Volume(Espace) = 80 % Vol(Uobs) ! Mirage cosmique !

62 Nearly Flat Spherical WP Spaces
Recall : Wtot = => k =+1

63 Espace tétraédrique (Wtot > 1.025) Espace octaédrique (Wtot > 1.015)

64 PDS predictions Planck Surveyor WMAP? fit low quadrupole
fit low octopole  < Wtot < 1.02 Planck Surveyor Volume(PDS) = 80 % Vol(Rh) ==> topological lensing Six pairs of back-to-back matched circles twisted by p/5 Angular diameter ≤ 35° WMAP?

65 Circles in the sky Pairs of Matched Circles
If Size of Space smaller than Rlss: The lss surface overlaps Pairs of Matched Circles Cornish, Spergel & Starkman, 1998

66 Chercher des cercles dans le ciel !
Paire de cercles Chercher des cercles dans le ciel !

67 Matching is perfect (Sachs-Wolfe term alone)
« left » duplicate « right » duplicate Size of torus Matching is perfect (Sachs-Wolfe term alone)

68 Pairs of circles in computed PDS map
For W = 1.02 (Caillerie et al. 2005)

69 Search for matched circles
General 6 parameters search Location of first circle center (2) Location of second circle center (2) Radius of the circle (1) Relative phase of the two circles (1) Search cost WMAP : pixels : full search takes 1023 operations => 10 million years on the computer! Reduced 4 parameters search (back-to-back circles) Location of first circle center (2) Radius of the circle (1) Relative phase of the two circles (1)

70 Number of Circles depends on the size of space and topology
No circles A few circles many circles

71 Size of circles decreases as vol(PDS) increases
Best fit LWRLU PDS excluded if Wtot < 1.009

72 Testing PDS with WMAP observations
Prediction of PDS : Six pairs of back-to-back matched circles twisted by p/5 Angular diameter ~ 35° Cornish et al (Phys Rev 2004): No Roukema et al (Astron. Astrophys. 2004): Yes Aurich et al (MNRAS 2005): Yes? Search for circles:

73 Simulation in a flat torus
Cornish et al., 2003 WMAP data Simulation in a flat torus spikes No signal Simply-connected space Search for circles > 25° Back-to-back circles are NOT a generic situation

74 If space is not homogeneous, circles are not back-to-back
Back-to-back Circles? If space is not homogeneous, circles are not back-to-back Example : Klein bottle

75 Position of matched circles depends on observer’s position
Half-turn flat space, the observer moves from (0,0,0) along x-direction

76 Location and size of circles
Roukema et al., 2004 Location and size of circles Matched temperatures Found 6 pairs of matched circles in a dodecahedral pattern Radius of circles 11 ± 1° => Wtot = ± (for Wm = 0.28 ± 0.02)

77 Aurich, Lustig, Steiner, MNRAS 2005
Hint for 6 pairs of matched circles at Wtot = 1.015

78 (Uzan, Ellis & Kirchner 2003, Linde 2003)
Problem for inflation ? Standard models of inflation predict 1-W << 1 and size of space L >> Rlss Can we have inflation with W >1 and L >~ Rlss ? (Uzan, Ellis & Kirchner 2003, Linde 2003) During inflation, a(t) = a0 exp(Ht) W ~ 1.1 ==> Ne-foldings ~ 60 (“low scale inflation”) Problem : fine-tuning

79 Quantum origin of topology?
Quantum cosmology Classical GR Theorem: No topological change after Planck era ==> present-day topology is a remain of the quantum era Brane cosmology

80 Sum over topologies Wavefunction of the universe :
Wheeler-De Witt equation H(3g,F) + R  = 0 superspace universe worldline (3g) = 3-geometry Closed spaces are favoured S3 is the only closed simply-connected manifold multiconnected closed spaces favoured Zeldovich, Starobinsky, Goncharov, Bytsenko, Fagundes, Linde (2004) Sum over topologies dominated by small volumes and complex topologies (Carlip, 1993)

81 Dimensions supplémentaires
Supercordes, théorie branaire corde fermée (10 ou 11 dim) corde ouverte

82 Estampe XVIIe s., BnF