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La vitesse Comment la définir, surtout quand elle est variable !

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Présentation au sujet: "La vitesse Comment la définir, surtout quand elle est variable !"— Transcription de la présentation:

1 La vitesse Comment la définir, surtout quand elle est variable !

2 Suivons un point circulant sur une droite à vitesse constante Graduation 1 Point mobile M à au linstant zéro x Mo Point mobile M à au linstant t xMxM Sens du mouvement Par définition, la vitesse est constante si le temps et la distance sont proportionnels. Doù le tableau de proportion ci-contre Graduation 0 Distance = x Mo – x M TempsDistance tx M – x Mo 1v Ce tableau nous donne trois équations x M – x Mo = v t (égalité des produits croisés) v = t t = x M – x Mo v Règle : le diviseur est sur la même diagonale que la valeurs à calculer Conclusion : la distance sobtient en multipliant la vitesse par le temps. Définition : le nombre v est la valeur de la vitesse. Instant zéro Une horloge

3 Faisons une remarque géométrique : La multiplication v t est laire dun rectangle de hauteur v et de longueur t Aire = x M – x Mo v t Temps Vitesse

4 Aire = x M – x Mo ? Posons-nous cette question : Si on remplace le dessus du rectangle par une ligne continue : v t Temps Vitesse As-t-on encore Aujourdhui, tout le monde pense que oui. Et cest ainsi quon peut estimer une distance sachant la vitesse quand elle est variable avec le langage des mathématiques. Aire = x M – x Mo v t Temps Vitesse

5 Cas particulier : supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps TempsVitesse acquise tv – v o 1a Ce tableau nous donne léquation v – v o = a t (égalité des produits croisés) Définition : le nombre v o est la valeur de la vitesse initiale. Cette formule nous donne la géométrie ci- dessous Cette hypothèse nous donne le tableau ci-contre Laire du trapèze est donc égale à la moitié de celle du rectangle v t Temps Vitesse 1 vovo Aire = x M – x Mo v vovo Les deux trapèzes sont égaux v t vovo (v + v o ) t 2 Aire = x M – x Mo = = 1 2 (v + v o ) t Faisons un peu de géométrie. Quelle est la formule de laire dun trapèze ?

6 Cas particulier : supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps TempsVitesse acquise tv – v o 1a Ce tableau nous donne léquation v – v o = a t (égalité des produits croisés) Conclusion : la distance sobtient en multipliant la vitesse par le temps puis en divisant le résultat par deux. Définition : le nombre v o est la valeur de la vitesse initiale. Cette hypothèse nous donne le tableau ci-contre Cas particulier : la vitesse initiale est nulle : v = a t Laire du triangle est égale à la moitié de celle du rectangle v t 2 Aire = x M – x Mo = v t Temps Vitesse 1 vovo Aire = x M – x Mo v t Temps Vitesse Aire = x M – x Mo a 1 Laire du trapèze est égale à la moitié de celle du rectangle

7 Et dans lespace ?

8 Au lieu de suivre UN mouvement le long dun axe, on en suit TROIS O M xMxM yMyM zMzM P xPxP zPzP yPyP Abscisse = x P – x M Ordonnée = y P – y M Cote = x P – x M Au lieu décrire UNE équation on en écrit TROIS Soient un repère de lespace et une horloge

9 O M xMxM yMyM zMzM P xPxP zPzP yPyP Abscisse = x P – x M Ordonnée = y P – y M Cote = x P – x M Soient un repère de lespace et une horloge

10 O M xMxM yMyM zMzM P xPxP zPzP yPyP Abscisse = x P – x M Ordonnée = y P – y M Cote = x P – x M Soient un repère de lespace et une horloge TempsDistance tx M – x Mo 1vxvx TempsDistance ty M – y Mo 1vyvy TempsDistance tz M – z Mo 1vzvz En abscisse En ordonnée En cote Suivons un point circulant sur une droite à vitesse constante Chaque tableau nous donne une équation : x M – x Mo = v x t y M – y Mo = v y t z M – z Mo = v z t Supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps v x – v xo = a x t v y – v yo = a y t v z – v zo = a z t Alors nous pouvons démontrer trois lois de posoition au lieu dune x M – x Mo = 1 2 (v x + v xo ) t y M – y Mo = 1 2 (v y + v yo ) t z M – z Mo = 1 2 (v z + v zo ) t

11 O M xMxM yMyM zMzM P xPxP zPzP yPyP Abscisse = x P – x M Ordonnée = y P – y M Cote = x P – x M Soient un repère de lespace et une horloge x M – x Mo = v x t y M – y Mo = v y t z M – z Mo = v z t v x – v xo = a x t v y – v yo = a y t v z – v zo = a z t x M – x Mo = 1 2 (v x + v xo ) t y M – y Mo = 1 2 (v y + v yo ) t z M – z Mo = 1 2 (v z + v zo ) t

12 x M – x Mo = v x t y M – y Mo = v y t z M – z Mo = v z t O M xMxM yMyM zMzM P xPxP zPzP yPyP Abscisse = x P – x M Ordonnée = y P – y M Cote = x P – x M Quand un corps trace la flèche vitesse Soit un mouvement quelconque Imaginons quà cet instant la vitesse cesse brusquement de varier et suivons alors le corps pendant une seconde Une seconde plus tard, le corps est ici Une seconde Rappelons les lois du mouvement à vitesse constante : Avec t = 1 seconde x M – x Mo = v x y M – y Mo = v y z M – z Mo = v z ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse.

13 Le calcul du carré de la longueur de cette flèche donne MM o 2 = (x M – x Mo ) 2 + (y M – y Mo ) 2 + (y M – y Mo ) 2 doù la fomule du carré de la vitesse v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 x M – x Mo = v x y M – y Mo = v y z M – z Mo = v z ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse.

14 Unité de la vitesse Partons dune de nos équations Et réécrivons-la avec les unités x M – x Mo = v t (égalité des produits croisés) (x M – x Mo ) m = v u t s Les unités se traitent en algèbre comme les nombres : Permutons les multiplications (x M – x Mo ) m = v t u s Remplaçons v t par (x - x Mo ) : (x M – x Mo ) m = ( x M – x Mo ) u s Simplifions Multiplions par s -1 m = u s m s -1 = u s s -1 Utilisons les propriétés des puissances m s -1 = u Lunité de la vitesse est le m s -1 ou m / s Remarque : ces écritures sont longues et pas toujours utiles ! On pourrait tout de suite substituer les valeurs de la formule de départ par les unités... donc décrire seulement m s -1 = u. x M – x Mo = v t puis m = u s, m s -1 = u s s -1 et Remarque : on peut faire cette démonstration aussi bien en abscisse quen ordonnée ou en cote

15 Unité de la vitesse Multiplions par s -1 m s -1 = u s s -1 Utilisons les propriétés des puissances m s -1 = u Lunité de la vitesse est le m s -1 ou m / s... donc décrire seulement m s -1 = u. x M – x Mo = v t puis m = u s, m s -1 = u s s -1 et Quelles propriétés ? Idée de départ : vu la règle de multiplication des puissancesx n x p = x n + p et vu la définition de linverse dun nombre 1 x x = 1 les mathématiciens anciens ont voulu définir les puissances opposées x n x – n = x n – n, vu la convenstion de la puissance zérox 0 = 1, doùx n x – n = x 0 = 1 doù, en divisant des deux côtés par x n x – n = 1 xnxn.


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