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Statistiques descriptives Niveau: L1 Enseignant:Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

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1 Statistiques descriptives Niveau: L1 Enseignant:Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

2 Programme Partie introductive La statistique Terminologies I. Distributions statistiques unidimensionnelles I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.1. Tableau statistique I.1.2. Représentations graphiques I.2. Distributions à caractère quantitatif Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

3 Programme (suite) I.2.1. Variables statistiques discrètes I Tableau statistique I Représentations graphiques I.2.2. Variables statistiques continues I Tableau statistique I Représentations graphiques Contrôle continu Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

4 I.3. Les caractéristiques de position I.3.1. Le Mode I.3.2. Les quantiles I Détermination dun quantile I La Médiane I Les quartiles I Les déciles I.3.3. La moyenne arithmétique pondérée Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme (suite)

5 I.4. Les caractéristiques de dispersion I.4.1. Lécart moyen absolu I.4.2. La variance et lécart-type I.4.3. Le coefficient de variation I.4.4. Les moments centrés I.5. Les caractéristiques de forme I.5.1. Le coefficient dasymétrie de Fisher Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme (suite)

6 I.5.2. Le coefficient daplatissement de Pearson I.6. Les caractéristiques de concentration I.6.1. La courbe de concentration I.6.2. Lindice de Gini Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme (suite)

7 II. Distributions statistiques bidimensionnelles II.1. Distributions marginales II.1.1. Tableau à double entrée II.1.2. Effectifs II.1.3. Fréquences II.2. Représentation graphique: nuage de points pondérés Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme (suite)

8 II.3. Les caractéristiques globales II.3.1. Les moyennes II.3.2. Les variances et les écart-types II.4. Le moment centré dordre 1.1 II.5. Le coefficient de corrélation II.6. La droite des moindres carrés Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme (suite)

9 Partie introductive La statistique Etymologie: sciences de létat La statistique est une branche des mathématiques appliquées qui a pour objet létude des phénomènes mettant en jeu un grand nombre déléments Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

10 Partie introductive La statistique La statistique est également lensemble de données numériques concernant létat ou lévolution dun phénomène quon étudie au moyen de la statistique La statistique descriptive est la statistique utilisée en démographie Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

11 Partie introductive La statistique Les statistiques couvrent les domaines dapplication telles que la gestion, léconométrie, la recherche démographique, lagronomie, la médecine, la biologie … Utilités: pour étudier objectivement un phénomène; pour aider à prendre une décision rationnelle Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

12 Partie introductive Terminologies Phénomène: tout fait extérieur qui se manifeste à la conscience par lintermédiaire des sens; toute expérience intérieure qui se manifeste à la conscience Données: codes, compréhensibles ou non, que nous voyons, entendons, ou percevons, mais qui nont aucune utilité si nous ne possédons pas les clés pour les décrypter Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

13 Partie introductive Terminologies Information: données traitées (sélectionnées, transformées et diffusées aux personnes qui en ont besoin) Population statistique: lensemble homogène des personnes, des animaux ou des objets étudiés Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

14 Partie introductive Terminologies Unité ou individu statistique: lélément représentatif composant la population statistique Effectif total: nombre dindividus observés, noté « n » Caractère: aspect particulier de lindividu auquel on sintéresse. Il peut être qualitatif ou quantitatif Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

15 Partie introductive Exercices 1. Prenez une décision quelconque que vous devriez prendre. De quels éléments avez-vous besoin pour que vous puissiez prendre la bonne décision? 2. Observez lévolution dun phénomène quelconque. Prenez note de cette évolution Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

16 I. Distributions statistiques unidimensionnelles I.1. Distributions à caractère qualitatif Un caractère est qualitatif sil est lié à une observation ne faisant pas lobjet dune mesure Modalités « C i »: ce sont les différentes rubriques associées à un caractère qualitatif Ex: Le caractère « sexe » comporte deux modalités: « masculin » et « féminin » Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

17 I.1. Distributions à caractère qualitatif Propriétés: Les modalités dun caractère doivent être exhaustives et disjointes. A chaque individu, on doit pouvoir associer une modalité et une seule. Lorsque les modalités ne permettent pas lexhaustivité, on peut ajouter une modalité « divers » ou « autres », regroupant les individus impossibles à classer Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

18 I.1. Distributions à caractère qualitatif Effectif « n i »: nombre de fois où la modalité numéro « i » a été observée Fréquence « f i »: quotient de leffectif « n i » par leffectif total « n » telle que Démontrez que: Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

19 I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.1. Tableau statistique Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Modalités C i Effectifs n i Fréquences f i % C1C1 n1n1 f1f1 C2C2 n2n2 f2f2 ……… CkCk nknk fkfk

20 I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.2. Représentations graphiques Diagramme à barres Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Axe des abscisses: n i ou f i Axe des ordonnées: C i

21 I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.2. Représentations graphiques Diagramme en colonnes/en tuyaux dorgue Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Axe des abscisses: C i Axe des ordonnées: n i ou f i

22 I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.2. Représentations graphiques Diagramme à secteurs Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON 360° correspond à 100% de f i

23 I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.2. Représentations graphiques Diagramme figuratif Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON ColériqueSanguinFlegmatique Mélancolique

24 I.1. Distributions à caractère qualitatif Applications numériques Etude des tempéraments des élèves de la classe Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

25 I. Distributions statistiques unidimensionnelles I.2. Distribution à caractère quantitatif Un caractère est quantitatif sil est mesurable par un nombre Les variables statistiques comprennent les grandeurs liées à lespace, au temps, à la masse ou aux combinaisons de ces diverses grandeurs Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

26 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) Les variables statistiques discrètes (VSD) sont des variables dont les seules valeurs possibles sont distinctes et isolées Valeurs observées: « x i » au lieu de « C i » Effectifs: « n i » Fréquences: Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

27 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) Fréquences cumulées croissantes: cumul des fréquences associées aux valeurs du caractère strictement inférieures à x. On les note « F i » F i = F i-1 + f i I Tableau statistique Sur le tableau statistique, mettez x i, n i et f i entre les lignes et F i sur les lignes Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

28 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) I Tableau statistique Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Variable x i Effectif n i Fréquence relative f i % Fréquence cumulée F i % F 0 = 0 % x1x1 n1n1 f1f1 F1F1 x2x2 n2n2 f2f2 F2F2 ……… … xkxk nknk fkfk F k = 100 %

29 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) I Représentations graphiques Diagramme différentiel / en bâton Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Axe des abscisses: x i Axe des ordonnées: n i ou f i

30 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) I Représentations graphiques Diagramme intégral / cumulatif Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Axe des abscisses: x i Axe des ordonnées: F i

31 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) Applications numériques 1.Etude des âges des élèves de la classe 2.Etude des années de naissance des élèves de la classe Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

32 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) Dans un intervalle de valeurs, les valeurs possibles des variables statistiques continues (VSC) sont en nombre infini Extrémité de classe: « e i » Amplitude: a i = e i – e i-1 Centre de classe: Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON e i-1 eiei xixi aiai

33 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) Effectifs: « n i » Fréquences: Fréquences cumulées croissantes: cumul des fréquences associées aux valeurs du caractère strictement inférieures à x. On les note « F i » F i = F i-1 + f i Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

34 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) I Tableau statistique Sur le tableau statistique, mettez a i, x i, n i et f i entre les lignes et e i et F i sur les lignes Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON eiei aiai xixi nini fifi FiFi e0e0 F 0 = 0% a1a1 x1x1 n1n1 f1f1 e1e1 F1F1 a2a2 x2x2 n2n2 f2f2 e2e2 F2F2 ………… …… akak xkxk nknk fkfk ekek F k = 100%

35 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) I Représentations graphiques Histogramme Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Axe des abscisses: x i Axe des ordonnées: n i ou f i

36 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) I Représentations graphiques Polygone des fréquences Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Axe des abscisses: x i Axe des ordonnées: f i

37 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) I Représentations graphiques Dans le cas où les amplitudes sont différentes - On utilise la densité pour tracer lhistogramme des effectifs - On utilise la fréquence rectifiée pour tracer lhistogramme ou le polygone des fréquences, et où a est le PGCD des amplitudes Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

38 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) I Représentations graphiques Courbe des fréquences cumulées croissantes Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Axe des abscisses: x i Axe des ordonnées: F i

39 I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques continues (VSC) Applications numériques Etude des âges des élèves de la classe Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

40 I.3.1. Le Mode Noté « Mo ». Cest la (les) valeur(s) observée(s) deffectif maximum. Cas dune VSC: on ne peut parler que d« intervalle modal ». Une série possédant plusieurs modes est dite « plurimodale ». Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.3. Caractéristiques de position

41 I.3.2. Les quantiles On appelle quantile dordre α%, noté Q α, la valeur x i du caractère telle que α% des valeurs observées soient strictement inférieures à x i. I Détermination dun quantile dordre α% (0< α<100) Cas dune VSD: La courbe cumulative est constituée de paliers horizontaux. Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.3. Caractéristiques de position

42 Deux cas doivent être distingués: 1° Aucun palier horizontal na pour ordonnée la valeur α%. On convient alors de considérer comme Q α la valeur observée xi telle que lon ait: F(x i )<α%

43 Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.3. Caractéristiques de position α%α% F(x i+1 ) F(x i ) X i-1 XiXi X i+1 Cas 1°

44 Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.3. Caractéristiques de position α%α% F(x i ) X i-1 XiXi X i+1 Cas 2°

45 Cas dune VSC: Pour calculer le Q α, il faut déterminer la classe dans laquelle les F i atteignent α%. Le Q α est, dans F i, la valeur qui vérifie F(Q α )=α % Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.3. Caractéristiques de position

46 I La Médiane La médiane, notée Me, est le Q 50. Elle partage la série des valeurs observées en deux séries de même taille. La médiane est, dans la fréquence cumulée, la valeur qui vérifie F(Me) = 50%. Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.3. Caractéristiques de position

47 I Les quartiles Les trois quartiles partagent la série en 4 séries de même taille: Q 25, Q 50 et Q 75. I Les déciles Les 9 déciles partagent la série en 10 séries de même taille: Q 10, Q 20, Q 30, Q 40, Q 50, Q 60, Q 70, Q 80, et Q 90 Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.3. Caractéristiques de position

48 I.3.3. La moyenne arithmétique pondérée Cest le paramètre de position le plus utilisé. En effet, la moyenne arithmétique est définie de façon objective. En plus, elle possède une signification concrète. Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.3. Caractéristiques de position

49 I.4.1. Lécart moyen absolu 1° Ecart moyen absolu par rapport à la moyenne 2° Ecart moyen absolu par rapport à la médiane Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.4 Les caractéristiques de dispersion

50 I.4.2. La variance et lécart-type La variance: Lécart-type: Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.4 Les caractéristiques de dispersion

51 I.4.3. Le coefficient de variation (en pourcentage) I.4.4. Les moments centrés dordre r Egalités remarquables: Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.4 Les caractéristiques de dispersion

52 I.5.1. Le coefficient dasymétrie de Fisher Si γ<0, la distribution est étalée vers la gauche (biais négatif) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.5. Les caractéristiques de forme

53 Si γ>0, la distribution est étalée vers la droite (biais positif) Si γ=0, la distribution est symétrique Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.5. Les caractéristiques de forme

54 I.5.2. Le coefficient daplatissement de Pearson Si β=3, la distribution est « normale » (courbe « en cloche » de Gauss) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.5. Les caractéristiques de forme

55 Si β<3, la distribution est plus aplatie que la normale (hyponormale ou platykurtique) Si β>3, la distribution est moins aplatie que la normale (hypernormale ou leptokyrtique) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.5. Les caractéristiques de forme

56 I.6.1. La courbe de concentration Axe des abscisses: F i Axe des ordonnées: Q i Q i sont les valeurs globales relatives cumulées croissantes: Q i =Q i-1 +q i, avec: Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.6. Les caractéristiques de concentration

57 Faible concentration Forte concentration Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.6. Les caractéristiques de concentration

58 I.6.2. Lindice de Gini Méthode des triangles: g est toujours compris entre 0 et 1. Plus la valeur de g est grande, plus la concentration est forte. Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON I.6. Les caractéristiques de concentration

59 II.1. Distributions marginales II.1.1. Tableau à double entrée Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON II. Distributions statistiques bidimensionnelles x i y j y1y1 y2y2 y3y3 n i. x1x1 n 11 n 12 n 13 n 1. x2x2 n 21 n 22 n 23 n 2. n.j n.1 n.2 n.3 n..

60 II.1. Distributions marginales II.1.2. Effectifs Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON II. Distributions statistiques bidimensionnelles

61 II.1. Distributions marginales II.1.3. Fréquences Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON II. Distributions statistiques bidimensionnelles

62 II.2. Représentation graphique: nuage de points pondérés Abscisses: x i Ordonnées: y j (Mettez les effectifs entre parenthèses, à côté des points) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON II. Distributions statistiques bidimensionnelles

63 II.3. Les caractéristiques globales II.3.1. Les moyennes Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON II. Distributions statistiques bidimensionnelles

64 II.3. Les caractéristiques globales II.3.2. Les variances et les écart-types Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON II. Distributions statistiques bidimensionnelles

65 II.4. Le moment centré dordre 1.1 Cest la covariance du couple (x,y) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON II. Distributions statistiques bidimensionnelles

66 II.5. Le coefficient de corrélation On a: Le nuage de points est une droite si et seulement si, r=-1 (droite descendante) ou r=1 (droite ascendante) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON II. Distributions statistiques bidimensionnelles

67 II.6. La droite des moindres carrés Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON II. Distributions statistiques bidimensionnelles

68 Applications numériques Etude de la variation des tailles en fonction des âges des élèves de la classe Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON II. Distributions statistiques bidimensionnelles


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