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TEMPS FORT MATHEMATIQUE cycle 2 lapproche de la soustraction à travers des situations problèmes Animation pédagogique Mercredi 28 novembre 2012.

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1 TEMPS FORT MATHEMATIQUE cycle 2 lapproche de la soustraction à travers des situations problèmes Animation pédagogique Mercredi 28 novembre 2012

2 LA SOUSTRACTION Les trois sens de la soustraction Il y a 3 manières de concevoir la soustraction. Le sens « enlever » : jutilise la soustraction pour calculer le reste dune quantité dobjets. Un paquet de bonbons contient 12 bonbons. Léa en donne 5 à sa soeur. Christophe avait 52 billes et il en perd 18 pendant la récréation. Combien lui en reste-t-il ? Ce sens est rapidement compris des élèves et permet dintroduire facilement le signe -. Pour obtenir le résultat, lélève peut dessiner des images et en barrer ou bien, sil effectue un réel calcul, décompter (12, 11, 10). Il y est dautant plus invité quon trouve dans lénoncé la présence de mots inducteurs « donne », « perd ». 12 – 5 = 7 Il reste 7 bonbons Ce sens est particulièrement adapté lorsquon enlève peu.

3 Le sens « pour aller à » : jutilise la soustraction pour calculer un complément ou ce qui manque Stéphanie avait 34 images. Sa maman lui en donne dautres. Stéphanie a maintenant 50 images. Combien dimages lui a données sa maman ? Jai 25 pour acheter un jeu vidéo qui coûte 42. Combien me manque t-il ? Le sens « pour aller à » est bien adapté à la compréhension des problèmes arithmétiques nécessitant de chercher ce quon a ajouté ou de chercher une partie connaissant le tout et lautre partie. Du point de vue du calcul, ce sens facilite la recherche du résultat dune soustraction dans le cas où on enlève beaucoup. 34 pour aller à 5042 – 25 = 17 Il me manque 17 Une recherche sur bande numérique est adaptée.

4 Le sens « écart » : jutilise la soustraction pour calculer un écart ou une différence. Paul et Ingrid comparent leurs tailles. Paul mesure 164 cm et Ingrid 152 cm. Antoine a 13 images et Lucas a 28 images. Qui a le plus dimages ? Combien en a- t-il en plus ? Le sens de la différence ou écart intervient dans des problèmes de comparaison. Rien, dans ce type dénoncé ninvite à la soustraction. On peut transformer le problème en une situation dégalisation: Ex : combien faut-il donner dimages à Antoine pour quil en ait autant que Lucas? Je peux calculer : 164 – 152 = 12 Entre Paul et Ingrid, il y a 12 cm décart. 13 pour aller à 28 ou 28 – 13 = 15 On se rapproche alors de la situation « pour aller à ».

5 Références théoriques BO N°3 19 juin 2008 Equipe ERMEL – INRP Dominique VALENTIN (Membre de lEquipe de Didactique des Mathématiques de l'INRP ) Gérard VERGNAUD (Directeur de recherche au CNRS, spécialiste de psychologie cognitive et de didactique ) Le nombre au cycle 2, SCEREN Site TFM (Télé Formation en Mathématiques)

6 BO N°3 19 juin 2008 La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans lactivité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et sexerce à tous les stades des apprentissages. La résolution de problèmes fait lobjet dun apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations Conjointement, une pratique régulière du calcul mental est indispensable. Lacquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

7 Equipe de didactique des Mathématiques ERMEL I - Le rôle de la résolution de problèmes dans la construction des connaissances : Selon G.Vergnaud (Directeur de recherche au CNRS, spécialiste de psychologie cognitive et de didactique : « le savoir se forme à partir de problèmes à résoudre, cest-à-dire de situations à maîtriser…Les conceptions des élèves sont façonnées par des situations quils ont rencontrées ».

8 II – traiter conjointement les problèmes additifs et soustractifs Les problèmes additifs et soustractifs relèvent du même domaine conceptuel; il ny a donc pas lieu de les séparer au niveau des apprentissages. Les savoirs se construisent en interaction les uns avec les autres, par « ressemblances » et par « différenciation ». (Pour mieux comprendre le signe +, il lui faut un « concurrent » : ils se mettront alors en valeur réciproquement.) Il ne sagit pas denseigner prématurément la soustraction, mais de proposer aux élèves de résoudre des problèmes « soustractifs » avec leurs moyens propres et de disposer dune écriture utilisable dans certains contextes où elle soppose à lécriture additive.

9 III - Les « problèmes pour apprendre » : Les problèmes qui permettent de construire de nouvelles connaissances – les « problèmes pour apprendre » - doivent à la fois permettre à lélève dutiliser ses connaissances pour comprendre ce quil sagit de trouver mais aussi lamener à prendre conscience de linadéquation ou de linsuffisance de ces mêmes connaissances. (Selon D.Valentin : «Un problème est une situation initiale avec un but à atteindre, demandant à un sujet délaborer une suite dactions et dopérations pour atteindre ce but. Il ny a problème que dans un rapport sujet/situation où la solution nest pas disponible demblée mais possible à construire. »)

10 Ces « problèmes pour apprendre » sont donc entièrement sous la responsabilité de lenseignant qui les construit spécifiquement pour chaque objectif précis (voire pour chaque élève…) Ce sont souvent des situations de manipulation dont nous nous efforçons de faire de réelles situations danticipation.

11 Développer des compétences pour résoudre des problèmes additifs et soustractifs PROGRESSION DANS LES APPRENTISSAGES : La progression conduit à se dégager progressivement des manipulations et à amener lélève à dépasser le simple stade de laction afin de sengager dans un processus de conceptualisation (il faut donc redéfinir la place du problème dans une séquence structurée de Mathématiques)

12 1 – mettre en œuvre une situation « problème pour apprendre » : - manipulations encadrées (tutelle indispensable) - construction dune nouvelle notion/connaissance - en début de situation dapprentissage ou de séance 2 – conduire les élèves à identifier progressivement des catégories de problèmes : Variété maîtrisée des problèmes proposés : diversité des situations additives regroupant les problèmes daddition et de soustraction (traitant simultanément des 3 sens de la soustraction).

13 Les différentes catégories de problèmes additifs et soustractifs : 1 – Recherche de létat final connaissant la transformation positive et létat initial. « Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo? » négative 2 – Recherche de létat final connaissant la transformation négative et létat initial. « Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo? » 3 – Recherche de létat initial connaissant la transformation positive et létat final. « Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo? » 4 – Recherche de létat initial connaissant la transformation négative et létat final. « Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait-il de billes? » 5 – Recherche de la transformation positive connaissant létat initial et létat final. « Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes Juliette a-t-elle données à Léo? » 6 – Recherche de la transformation négative connaissant létat initial et létat final. « Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de billes Léo a-t-il données à Juliette? » 7 – Recherche de la composée de 2 états. « Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble?

14 8 – Recherche dun état connaissant un second état et la composée des 2 états. « Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a-t-il de billes? » 9 – Recherche de létat à comparer connaissant létat comparé et la comparaison positive. « Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 10 – Recherche de létat à comparer connaissant létat comparé et la comparaison négative. « Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 11 – Recherche de létat comparé connaissant létat à comparer et la comparaison positive. « Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 12 – Recherche de létat comparé connaissant létat à comparer et la comparaison négative. « Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 13 – Recherche de la comparaison positive connaissant les 2 états. « Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a-t-elle de plus que Léo? » 14 – Recherche de la comparaison négative connaissant les 2 états. « Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a-t-elle de moins que Léo? »

15 3 – une fois les manipulations suffisantes : A travers les situations multiples proposées, recenser les diverses procédures personnelles pour aller vers une procédure experte construction dune affiche de référence collectant les différentes procédures (allant du schéma, dessin, addition à trous, soustraction) Proposer des situations de réinvestissement, d automatisation, de transfert : - problèmes dapplication (entraînement à la maîtrise du sens dune connaissance nouvelle; après la construction dune connaissance)

16 - problèmes de réinvestissement (utilisation dune connaissance dans un contexte différent de celui dans lequel on la découverte; pour enrichir le sens dune connaissance et son champ dapplication) - problèmes complexes ou dintégration (utilisation conjointe de plusieurs connaissances; après un travail sur diverses connaissances.) - problèmes ouverts (pour apprendre à chercher indépendamment des apprentissages notionnels. Ce sont souvent des problèmes à solutions multiples ou nayant pas de solution, …) Pratiquer des situations dévaluation (vérification des acquisitions des connaissances)

17 En conclusion… Lapprentissage de la technique opératoire ne peut être dissocié de la résolution de problèmes qui donnent du sens aux techniques de calcul. Il est indispensable dentretenir les connaissances et de reprendre ces types de problèmes et leur classification régulièrement, tout au long de lannée, dans des contextes variés et différents. Cest un ancrage à long terme qui est visé. Enfin, cette logique peut être transposée au champ multiplicatif (lapproche de la division, groupement/partage, nouvelle au CE1, se prête particulièrement à cette démarche.


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