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Lespace réciproque Espace des vecteurs donde Espace de Fourier Inverse Orthogonal.

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1 Lespace réciproque Espace des vecteurs donde Espace de Fourier Inverse Orthogonal

2 Réseau réciproque Définition géométrique Introduit par Bravais Repris par Ewald (1917) Définition des vecteurs de base avec v=(a,b,c) volume de la maille Définition équivalente (2D, 3D...) a* est orthogonal à b et c mais pas en g al à a v*=(a*,b*,c*)=(2 3 /v Espace réciproque : espace vectoriel base (a*,b*,c*) Réseau réciproque : ensemble des points RD RR ab b* a* h,k,l entiers

3 Définition par les ondes planes Q appartient au réseau réciproque ssi : Réseau réciproque Ensemble des vecteur q des ondes planes e iq.r ayant une périodicité du réseau direct Si Si on pose entiers. q q

4 Propriétés du RR Symétrie Le réseau réciproque a la même symétrie ponctuelle que le réseau direct Soit O une opération de symétrie du RR. On veut montrer Dualité Le réseau réciproque du RR est le réseau direct : RR du RR formé des points R tel que Si R=R uvw la relation est vérifiée Réciproquement si R=xa+yb+zc vérifie xu+yv+zw=m, x, y et z sont entiers b* a* RDRR ab

5 Næuds dun réseau regroupés en plans équidistants : Les plans réticulaires Famille de plans forme un feuilletage du réseau Plans réticulaires, rangées [100] [001] [010] Rangée : file infinie de noeuds dans la direction R uvw Notation [uvw], u, v, w premiers entre eux Les directions équivalentes par symétrie sont notées

6 Plans réticulaires c 1/3 1/4 1/2 b a h, k, l indices de Miller Famille de plans (h,k,l) Familles de plans équivalents par symétrie {h,k,l} d hkl Distance entre plan d hkl Si N(hkl) est la densité de næuds par plans, N(hkl)/d hkl est la densité volumique Les plans les plus denses sont les plus distants Les facettes des cristaux sont des plans réticulaires de faibles indices de Miller (surface)Les facettes des cristaux sont des plans réticulaires de faibles indices de Miller (surface) Le plan réticulaire le plus proche de lorigine coupe les axes de la maille en : (0,0,1) (3,2,4)

7 Relation des plans réticulaires avec le RR Q 010 =d* Q 020 d 010 =2 /Q /Q 020 Le plan réticulaire le plus proche de lorigine satisfait : Il coupe les axes en : h, k, l indices de Miller (premiers entre eux) À chaque famille de plans réticulaires d correspond Une rangée du réseau réciproque de pas 2 /d Cette rangée est orthogonale à la famille de plan Le plus petit vecteur de cette rangée à pour module 2 /d

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9 Distance interréticulaire d hkl Cas général Système hexagonal : Système cubique : d hkl distance entre plan (hkl) Q hkl plus petit vecteur de la rangée

10 Cas des mailles multiples Exemple dune maille centrée La condition implique 1) h, k,l entiers (Réseau réciproque du réseau (a,b,c)) 2) Condition dexistence I F PIFAPIFA PFIAPFIA Conditions a b A B b* a* A* B* a a* Réseau hexagonal A = a-b; B=a+b; C=c

11 La transformée de Fourier du RD La TF du réseau direct est le réseau réciproque Lespace réciproque est la TF de lespace direct Série de Fourier du Peigne de Dirac

12 Propriétés de la TF Dualité du RR et du RD Symétrie des espaces directs et réciproques Si O est un opérateur de symétrie dans ED… …O est un opérateur de symétrie dans lER Produits de convolution Le produit de convolution de f et g est f * g

13 Application aux objets de basse dimension 2 /a a a 1D : chaîne 2D : plan Ensemble de plans parallèles Réseau de tiges a* b b* a*

14 Lien avec la diffraction Relation de Bragg Diffraction sur des plans réticulaires d Vecteur de diffusion q normal aux plans Diffraction q appartient au RR (à la rangée plans) kiki kdkd q d


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