Programmes en mathématiques

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1 Programmes en mathématiques
BO N°11 du 26 novembre 2015 Volume horaire inchangé : 180 h/an soit 5 heures par semaine

2 Quelques points-clés généraux Cycle 2
Résolution de problèmes au centre de l’activité La composante écrite de l’activité mathématique devient essentielle Écritures et représentations produites par les élèves évoluent vers des formes conventionnelles Etudier différentes manières de désigner les nombres - Écriture en chiffres, noms à l’oral, compositions-décompositions fondées sur les propriétés numériques, décompositions en unités de numérations Etudier les 4 opérations à partir de problèmes qui leur donnent du sens Pratique quotidienne du calcul mental conforte la maitrise des nombres et des opérations La résolution de problèmes : moyen d’apprendre, d’évaluer, et finalité des mathématiques. Et aussi problèmes pour apprendre à chercher dès le CP Composante écrite : nouveau dans les programmes. Ecrits intermédiaire mathématiquement faux mais acceptable. aller de l’écrit de recherche à l’écrit conventionnel. Différentes manières de désigner les nombres : les faits numériques 4 opérations dans les problèmes : donner du sens en manipulant notamment des grandeurs et leurs mesures (CONCRET) Calcul mental : même si plus 15 minutes par jour, activité quotidienne. En calculant mentalement, on consolide la construction du nombre. Dans ces programmes, le calcul mental prend une place forte.

3 Quelques points-clés généraux Cycle 3
Résolution de problèmes à la fois critère d’acquisition des compétences et moyen d’assurer l’appropriation des connaissances Mise en perspective historique des connaissances Les activités géométriques accordent une plus grande place au raisonnement et à l’argumentation qu’au cycle 2 Place des outils numériques (géométrie dynamique, programmation, cartes et plans…) Problèmes : comme au C2, résolution de problèmes au centre des mathématiques Histoire des maths : enrichir culture scientifique. Ex : différentes numérations Géométrie : on prépare l’élève à faire des démonstrations géométriques au collège. Place des outils numériques : géogébra, scratch, google earth, …

4 Nombres et calculs

5 Nombres et calculs C2 En appui sur les quantités et les grandeurs, en travaillant selon plusieurs axes : Des résolutions de problèmes contextualisés - Dénombrer, mesurer des grandeurs, repérer un rang, prévoir des résultats d’actions sur des collections ou des grandeurs - D’abord sur des objets matériels puis évoqués à l’oral ou à l’écrit (introduction des 4 opérations) L’étude de relations internes aux nombres - Notion de successeur, décomposer/recomposer, changer d’unités de numération de référence, comparer, ranger, itérer une suite L’étude des différentes désignations orales et écrites L’appropriation de stratégies de calcul - Ces stratégies s’appuient sur la connaissance de faits numériques mémorisés et sur celle des propriétés des opérations et de la numération. Une bonne connaissance des nombres inférieurs à mille et de leurs relations NOTE : Les opérations : - une nouvelle temporalité : plus de temps pour le calcul mental et en ligne et moins pour le calcul posé qui intervient notamment lorsque « le calcul mental ou écrit en ligne atteint ses limites » et « lorsque les élèves se sont appropriés des stratégies de calcul basées sur des décompositions/recompositions liées à la numération décimale, souvent utilisées également en calcul mental ou écrit ». - des techniques de calcul posé qui doivent être choisies en équipe pour servir « à renforcer la compréhension du système décimal de position et de consolider la mémorisation des relations numériques élémentaires ».

6 Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers
CP CE1 CE2 Jusqu’à 100 Jusqu’à 1 000 Jusqu’à Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer, comparer Dénombrer, constituer et comparer des collections. Utiliser diverses stratégies de dénombrement. Repérer un rang ou une position dans une file ou sur une piste. Faire le lien entre le rang dans une liste et le nombre d’éléments qui le précèdent. Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres entiers, en utilisant les symboles =, ≠, <, >. Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers Utiliser diverses représentations des nombres (écritures en chiffres et en lettres, noms à l’oral, graduations sur une demi-droite, …) Passer d’une représentation à une autre, en particulier associer les noms des nombres à leurs écritures chiffrées. Interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération et des écritures arithmétiques. Associer un nombre entier à une position sur une demi-droite graduée, ainsi qu’à la distance de ce point à l’origine. Associer un nombre ou un encadrement à une grandeur en mesurant celle-ci à l’aide d’une unité. Problèmes additifs et soustractifs Problèmes multiplicatifs Situations simples de partage et de groupement   Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul Problèmes plus complexes Résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne ou adaptés de jeux portant sur des grandeurs et leur mesure, des déplacements sur une demi-droite graduée…, conduisant à utiliser les quatre opérations. Modéliser ces problèmes à l’aide d’écritures mathématiques. Exploiter des données numériques pour répondre à des questions, présenter et organiser des mesures sous forme de tableaux. Addition : procédures de calcul et mémorisation de faits numériques dont les tables Soustraction et multiplication : procédures de calcul et mémorisation de faits numériques (dont tables)  Calculer avec des nombres entiers Division : obtenir quotient et reste (par un nombre à 1 chiffre) Mémoriser des faits numériques et des procédures, Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit. Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur, Calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur, Calculer en utilisant des écritures en ligne additives, soustractives, multiplicatives, mixtes. Mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition (CP), la soustraction (CE1), la multiplication (CE2). - jusqu’à : 2008 : CE2 jusqu’au million (cf. Une bonne connaissance des nombres inférieurs à mille et de leurs relations) Repérer un rang : travail sur l’ordinal explicite Graduation demi-droite : préparation à l’introduction des décimaux sur demi droite graduée - Opération : pas d’algorithme de division (2008 : une technique de la division au CE2) Multiplication posée CE2 c’est nouveau (avant CE1)

7 Nombres et calculs C3 L’étude de nouveaux nombres : Fractions et décimaux - Pour pallier un manque - Pour mesurer des aires, des longueurs et repérer des points sur une demi-droite graduée - L’écriture à virgule n’est qu’une convention d’écriture d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales Le calcul mental - Prioritairement pour explorer des nombres et des propriétés des opérations - Pour fournir un ordre de grandeur avant un calcul posé ou instrumenté - Qui repose sur suffisamment de faits numériques mémorisés et de modules de calcul élémentaire automatisés Des problèmes arithmétiques - Qui enrichissent le sens des opérations Nombres décimaux : Pallier manque entre deux entiers Les différents supports sur lesquels travailler les décimaux Un nombre décimal n’est pas un nombre à virgule. C’est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un fraction décimale ou somme Calcul mental Moins pour calculer rapidement dans la vie quotidienne que moyen de construire le nombre Essayer d’habituer l’élève à anticiper Travail d’automatisation Problèmes En variant les nombres en jeu et la structure (ex partition quotition, classification de Vergnaud), on favorise la variété des procédures.

8 Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux
CM1 CM2 6ème Jusqu’au million Jusqu’au milliard Fractions simples / Fractions décimales Fractions : partage de grandeurs Fractions : quotient de deux entiers Décimaux : jusqu’aux centièmes Décimaux : jusqu’aux dix-millièmes Utiliser et représenter les grands nombres, des fractions simples, les nombres décimaux Composer, décomposer les grands nombres entiers, en utilisant des regroupements par milliers., Comprendre et appliquer les règles de la numération aux grands nombres (jusqu’à 12 chiffres)., Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée. Comprendre et utiliser la notion de fractions simples., Repérer et placer des fractions sur une demi-droite graduée adaptée., Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs. Établir des égalités entre des fractions simples., Comprendre et utiliser la notion de nombre décimal. Associer diverses désignations d’un nombre décimal (fractions décimales, écritures à virgule et décompositions). Repérer et placer des décimaux sur une demi-droite graduée adaptée., Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres décimaux. , Ordre sur les nombres décimaux Calcul mental sur les entiers et sur les décimaux Technique de l’addition et de la soustraction des nombres décimaux Technique de la multiplication : décimal par un entier Technique de la multiplication de deux décimaux Technique de la division euclidienne Technique de la division de deux entiers avec quotient décimal, d’un décimal par un entier Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux Mémoriser des faits numériques et des procédures élémentaires de calcul. Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit. Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur. Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situations très simples. Calcul posé : mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication, la division. Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat. Problèmes à une ou plusieurs étapes Nécessitant l’organisation de données multiples Support de données unique Deux supports de données Plusieurs supports de données Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations. Prélever des données numériques à partir de supports variés. Produire des tableaux, diagrammes et graphiques organisant des données numériques. Exploiter et communiquer des résultats de mesures. Reconnaitre et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée. Même chose qu’au CE2, on ne va pas trop vite Multiplication d’un décimal par un entier (2008 : 2 décimaux entre eux) Utilisation des parenthèses

9 Grandeurs et mesures

10 Grandeurs et mesures C2 Les activités de comparaison d’objets
- distinguer différents types de grandeurs et utiliser le lexique approprié: longueur, masse, contenance, durée, prix Les activités de comparaison précèdent celles de mesure Notion d’unité La résolution de problèmes - calculer avec des grandeurs - utiliser les nombres et les opérations - estimation des grandeurs (ordre de grandeur pour comprendre les situations et valider les résultats) Comparaison d’objets : en comparant des objets on fait émerger l’idée qu’un objet comporte plusieurs grandeurs et qu’on peu les comparer Pour toute grandeur, il convient de comparer (directement ou indirectement) voire d’estimer, avant de mesurer Construire la notion d’unité en utilisant une unité quelconque et en la reportant. Donner du sens en utilisant la résolution de problèmes

11 CP CE1 CE2 Comparer, estimer, mesurer des longueurs, des masses, des contenances, des durées Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs Résoudre des problèmes impliquant des longueurs, des masses, des contenances, des durées, des prix Longueur Comparaison double et moitié dm, cm, m et km + mm Masse g et kg comme des unités indépendantes g, kg et tonne en relation Contenance litre centilitre et décilitre Durée Jour, semaine et leur relation tout au long du cycle Relations entre jour et heure, entre heure et minute -Jour, mois, année et leurs relations -année, siècle, millénaire et leurs relations -minute, seconde et leur relation Prix euros Euros et centimes d’euros en relation Unités usuelles : pas de tableau de conversion !! Plutôt ordre de grandeur

12 Grandeurs et mesures C3 Enrichir la notion de grandeur
- aire d’une surface versus périmètre Approcher la notion d’angle Se familiariser avec la notion de volume - à lier avec celle de contenance La résolution de problèmes - La proportionnalité est mise en évidence et convoquée pour résoudre des problèmes dans différents contextes Apparition de surface et périmètre, venant enrichir les grandeurs Angle : utilisation de gabarit, comparaison de reproduction d’angle Volume m3 / contenance = capacité = litre

13 CM1 CM2 6è Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux: longueur (périmètre), aire, volume, angle. Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs. Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux. Longueur Construction et utilisation progressives des formules du périmètre du carré et du rectangle tout au long du cycle Établir la notion de distance entre 2 points comprendre la définition du cercle comme ensemble des points à égale distance du centre Utilisation de la formule qui donne la longueur d’un cercle Durée Consolidation de la lecture de l’heure, de l’utilisation des unités de mesure des durées et de leurs relations, des instruments de mesure des durées + résolution de problèmes -année, siècle, millénaire et leurs relations -minute, seconde et leur relation Aire Choisir la procédure adaptée pour comparer les aires de deux surfaces et pour déterminer la mesure d’une aire avec ou sans recours aux formules Comparer et classer des surfaces selon leur aire - Mesurer ou estimer l’aire d’une surface à l’aide d’une surface de référence ou d’un réseau quadrillé Découvrir et utiliser les unités d’aire usuelle et leurs relations - Construire et utiliser les formules pour calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle Calculer l’aire d’un triangle rectangle, d’un triangle quelconque dont une hauteur est connue, d’un disque. Contenance et volume Notion de volume vue comme une contenance - Comparer des contenances sans les mesurer - Mesurer la contenance d’un récipient par un dénombrement d’unités - Utiliser les unités usuelles (L, dL, cL, mL) et leurs relations Déterminer le volume d’un pavé droit Relier les unités de volume et de contenance (1L=1décimètre cube; 1000L= 1 mètre cube)  ff Angle Estimer et vérifier en utilisant l’équerre si nécessaire, qu’un angle est droit, aigu ou obtus - Comparer les angles d’une figure - Reproduire un angle en utilisant un gabarit Introduire une unité de mesure des angles d’une figure - Utiliser un outil de mesure d’angle (le rapporteur) Pas de repères CM1 CM2 Le périmètre du cercle : 6è Choisir la procédure adaptée : travailler sur les différentes procédures de calcul d’aire : Ajout des différents morceaux Calcul du total duquel on enlève une partie, etc…

14 Espace et géométrie

15 Espace et géométrie C2 Se repérer et se déplacer dans l’espace en lien avec Questionner le monde et l’EPS Mise en lien du réel avec des représentations géométriques La résolution de problèmes - Outils et supports variés - En appui sur les grandeurs géométriques et leur mesure Reproduction de figures - Pour construire les concepts géométriques (point, droite, …) Se repérer et se déplacer : travailler en lien avec Questionner le monde : se repérer dans le plan, le quartier, etc… et avec l’EPS Symboliser le réel, traduire les élèves alignés en schéma, par ex. Problèmes de : reproduction, de tri, de classement, description, reconnaissance, tracé, … C’est principalement à travers des problèmes de reproduction que les concepts de point, droite, segments, angle droit sont présentés.

16 CP CE1 CE2 (Se) repérer et (se) déplacer en utilisant des repères
dans la classe ou dans l'école dans le quartier dans un quartier étendu ou le village ou le vécu lors de sorties Déplacements sur quadrillages. Déplacements à l'aide d'un logiciel de programmation adapté. compréhension, et production d'algorithmes simples Reconnaître, nommer, décrire, reproduire quelques solides les élèves observent et apprennent à reconnaître, trier et nommer des solides variés. Le vocabulaire nécessaire pour les décrire (face, sommet, arête) est progressivement exigible. construire un cube avec des carrés ou avec des tiges que l'on peut assembler. approchent la notion de patron du cube Reconnaître, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques Reconnaître et utiliser les notions d'alignement, d'angle droit, d'égalité de longueurs, de milieu, de symétrie Alignement, report de longueur sur une droite et égalités de longueur (règle non graduée, outil de report de longueur sur une droite : bande de papier ou de carton sur laquelle on peut écrire). angle droit, construction d'un cercle sans contraintes puis à partir du centre et d'un point de son rayon et son centre(règle graduée, gabarit d'angle droit, compas). construction d'un cercle à partir du diamètre (équerre, compas pour tracer des cercles. Dès le CE1, on peut travailler à partir de logiciels comme scratch et blocky le déplacement et la programmation simple ( Solides : après la manipulation du réel, une première modélisation « fil de fer » avec des pailles, par exemple. Règle non graduée, outil intéressant permettant de travailler l’alignement, le report de longueur, la comparaison de longueur avant de mesurer Cercle construction d’un cercle sans contrainte dès le CE1 (gabarits, maniement du compas)

17 Espace et géométrie C3 Passer du perceptif à l’utilisation de propriétés pour aller vers le raisonnement et l’argumentation Utiliser différents types de tâches portant sur des objets géométriques Lien avec les situations de proportionnalité et les mesures de grandeurs géométriques Première initiation à la programmation Préparation au cycle 3 à la démonstration géométrique au collège. On commence à mettre en relation des propriétés géométriques, à utiliser des instruments pour les contrôler. Tâches : reconnaître, nommer, comparer, vérifier, décrire, reproduire, représenter, construire… pour bien appréhender les caractéristiques des objets géométriques Les activités permettent d’aborder la proportionnalité dans un autre contexte (agrandissement de figure, par ex) tandis que les grandeurs sont utilisées en situation. Usage du numérique : Programmation de déplacements et construction de figures

18 Reconnaître et utiliser quelques relations géométriques
CM1 CM2 6ème (Se) repérer et (se) déplacer dans l'espace en utilisant ou en élaborant des représentations Problèmes de repérage de déplacement d'objets, d'élaboration de représentation dans des espaces réels, matérialisés (plans, cartes...) ou numériques. Initiation à la programmation (activités de repérage ou de déplacement ou activités géométriques). Usage progressif de logiciels de géométrie dynamique pour effectuer des constructions, familiariser les élèves avec les représentations en perspective cavalière et avec la notion de conservation des propriétés lors de certaines transformations. Reconnaître, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire quelques solides et figures géométriques Tracer un segment d'une longueur donnée ou reporter la longueur d'un Reconnaître un carré en prenant en compte la perpendicularité et l'égalité des mesures des côtés. Toujours préciser explicitement l'objet dont il parle : « le point A », « le segment [AB] », « le triangle ABC », etc. Les élèves dépassent la dimension perceptive et instrumentée pour raisonner uniquement sur les propriétés et les relations Reproduire un angle, utiliser le rapporteur. Montrer qu'il s'agit d'un carré à partir des propriétés de ses diagonales ou de ses axes de symétrie Reconnaître et utiliser quelques relations géométriques  z Aspect global de la symétrie plutôt que de façon détaillée (par le point, le segment, la droite). Logiciel de géométrie dynamique de type Géogébra qui permet de manipuler des objets géométriques tout en conservant leurs propriétés géométriques. Prendre garde de toujours nommer l’objet dont on parle permet de consolider les apprentissages. Dès le CM2, on essaie d’aller vers le raisonnement sur les propriétés.

19 Leur forme (non imprimé, nombreux liens hypertexte) / plusieurs présentations