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Du concret à labstrait Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Numération.

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1 Du concret à labstrait Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Numération

2 Les méthodes de numération se sont souvent développées en fonction des besoins des utilisateurs. Introduction Linvention de symboles et de mots pour désigner les quantités est le fruit dune démarche dabstraction qui nest pas évidente en soi. Dans cette présentation, nous allons voir différentes tentatives pour représenter et manipuler les nombres. À lorigine, les quantités ne sont pas désignées par un nombre mais par une collection dobjets concrets, les entailles sur un bâton ou les cailloux dans un sac. Ce sont des numérations concrètes.

3 Les premières sociétés agraires ont vu le jour dans la région du Croissant fertile, les populations vont y trouver à se nourrir sans avoir à se déplacer au gré des saisons. Croissant fertile Cest une région où les précipitations annuelles sont supérieures à 200 mm de pluie, où poussent le blé et lorge sauvages et où il y a beaucoup de moutons et de chèvres sauvages. Cest la production et le contrôle des surplus agricoles qui constituaient les fondements et la richesse de ces sociétés. Leur fonctionnement nécessitait un système de gestion complexe.

4 Besoins des sociétés agraires Laccumulation, le contrôle et le commerce de ces surplus nécessita le développement de métiers spécialisés : archi- tectes, ouvriers, soldats. Les excédents de production sont utilisés pour acquérir des biens en provenance de régions éloignées et pour ériger des monuments, des fortifications, etc. Les échanges commerciaux, la comptabilité des récoltes, la rémunération des soldats et des ouvriers nécessitaient lutilisation de systèmes de gestion et de numération dont les sociétés de chasseurs-cueilleurs navaient pas besoin.

5 Les premières sociétés implantées dans la région du Croissant fertile ont utilisé une numération concrète en confectionnant des « jetons-calculi » en argile crue ou en terre cuite. Jetons-calculi Les découvertes archéologiques ont permis de constater quil y a eu deux modes dutilisation des jetons-calculi. La première méthode est celle des jetons striés et perforés qui pouvaient être enfilés sur une ficelle.

6 Lautre méthode consiste à utiliser une bulle-enveloppe, sphère dargile séchée, dans laquelle on enferme des jetons- calculis. Bulle-enveloppe

7 La bulle-enveloppe est cachetée par le déroulement dun sceau cy- lindrique qui laisse son empreinte à la surface. La bulle-enveloppe est également utilisée pour sceller les termes dune entente ou dun contrat entre deux personnes. Ces bulles ne sont pas cuites. Le des- tinataire doit louvrir pour en véri- fier le contenu. Sceaux cylindriques

8 Empreintes de sceaux cylindriques

9

10 Un des inconvénients de la bulle est le fait que pour vérifier son contenu il faut la briser. Pour pallier à cet inconvénient, on a commencé à laisser sur la surface des bulles-enveloppes une empreinte des jetons-calculi quelle contenait. On sest alors rapidement rendu compte quil était superflu de sceller les jetons-calculi dans une bulle. Il suffisait dindiquer ce nombre sur une tablette dargile. Empreintes dans largile Linformation est alors directement accessible. Pour garantir linformation imprimée sur la tablette, celle-ci est marquée dun sceau, qui peut être celui de lexpéditeur ou du témoin de lentente.

11 Première abstraction La nécessité de représenter de grands nombres a incité les utilisateurs à concevoir des jetons-calculi qui représentaient plusieurs unités dun même produit. Ainsi, on utilisa : un petit cône pour désigner lunité; Une petite bille pour représenter un regrou- pement de dix unités; un grand cône pour représenter un regrou- pement de 60 unités; Un grand cône perforé pour représenter un regroupement de 60X10 unités.

12 La forme du jeton ne représente plus la denrée mais simplement une quantité qui est imprimable sur une tablette dargile. Première abstraction Il devint alors possible de représenter de plus grand nombres sans avoir à reproduire plusieurs fois le même symbole.

13 Nos sources de renseignements sur les mathématiques babyloniennes sont essentiellement les tablettes dargile retrouvées lors de fouilles archéologiques entreprises au XIX e siècle. Lempreinte obtenue en enfonçant un objet dans largile est la méthode la plus simple dy faire une marque et, surtout, davoir une marque dont la forme sera toujours facilement reconnaissable. Civilisation babylonienne Les tablettes dargile étaient gravées à laide dun calame, tige de roseau biseautée. Lempreinte du calame donne un « coin », du latin cuneus, doù lappellation décriture cunéiforme. Selon lorientation du calame, le coin sera vertical, oblique ou horizontal.

14 On peut faire varier la forme du coin en enfonçant plus ou moins profondément le calame dans largile et en modifiant langle selon lequel celui-ci est enfoncé. On peut également modifier la forme par une rotation du poignet en enfonçant le calame. Ces tablettes, après avoir été gravées, étaient cuites, ce qui les a rendu très résistantes et leur a permis de défier le temps. Écriture cunéiforme Parmi les tablettes retrouvées, une centaine portent sur les mathématiques. Elles comportent des séries de nombres, des relations géométriques et des listes de problèmes. Elles comportent des tables de multiplication, des nombres et leur réciproque, des carrés et des cubes de nombres ainsi que quelques relations numériques comportant des exposants.

15 Les premiers symboles pour représenter les nombres en cunéiforme étaient des dessins représentant les objets de la numération concrète et obtenus en imprimant le calame dans largile. La table ci-contre en donne la signification. Symboles numériques

16 Lécriture cunéiforme des nombres va évoluer pour ne retenir que deux des symboles apparaissant au tableau précédent. Symboles de numération cunéiforme pour représenter lunité et qui peut être répété jusquà neuf fois. pour représenter une dizaine et qui peut être répété jusquà cinq fois. Les symboles sont groupés en paquets. Chaque paquet peut représenter les nombres de 1 à 59. La valeur du paquet dépend de deux choses : Le nombre de fois que ces deux symboles sont répétés dans le paquet; la puissance de 60 correspondant à la position du paquet dans le nombre.

17 Un système de numération est un système décriture des nombres à laide de symboles. Le système babylonien na conservé que deux symboles mais la valeur de position des groupements permettait aux scribes de représenter de très grands nombres. Voici quelques exemples : Système de numération babylonien 1X = 72 13X = X X =

18 Le système babylonien est à la fois un système positionnel à base 60 et un système additif à base 6 et 10. Bases du système babylonien Cest un système positionnel à base 60 puisque la valeur dun paquet de symboles est donnée par la puissance de 60 correspondant à la position du paquet dans le nombre. Cependant, les paquets sont constitués de regroupements par 6 et par 10 dont la valeur interne est obtenue par le nombre de fois que les symboles sont répétés. 12X X =

19 En utilisant les symboles modernes + et =, laddition des nombres 12 et 59 se fait de la façon suivante : Addition en numération cunéiforme Il faut dabord regrouper les symboles de lunité et les additionner. Dix de ces symboles sont remplacés par le symbole dune dizaine Il faut alors regrouper les symboles de dizaines et les additionner. Six de ces symboles sont remplacés par le symbole de lunité dans le regroupement de la puissance supérieure de 60.

20 Pour effectuer des multi- plications, il faut utiliser des tables gravées sur des tablettes dargile, ce qui alourdit beaucoup le sac de lécolier. Multiplication en cunéiforme La table de multiplication par 9 reproduite ci-contre illustre bien le fonctionnement du système de numération.

21 Arithmétique et problèmes Malgré la lourdeur de leur système de numération, les scribes babyloniens utilisaient une procédure par approximations successives, qui peut se poursuivre indéfiniment, pour calculer la racine carrée dun nombre. Sur une tablette conservée à Yale, on retrouve une expression qui en écriture moderne donne : Les listes de problèmes consignées sur les tablettes servaient aux scribes qui, lorsquils avaient à résoudre un problème, cherchaient dans les listes un problème analogue.

22 Problèmes algébriques En écriture algébrique moderne, ce problème consiste à résoudre léquation quadratique : x2 x2 – x = 870 On trouve également le problème : La somme de deux carrés donne 21,15 et le côté de lun est plus petit de 1/7 que le côté de lautre. Ce qui équivaut à résoudre le système déquations : Parmi les problèmes consignés, citons : Trouver la longueur du côté dun carré dont laire moins le côté donne 870.

23 Conclusion Les connaissances arithmétiques des babyloniens étaient utilisées dans différents sphères dactivité comme le commerce, les contrats, le calcul dintérêts, le système de poids et de mesure et le calendrier. Le système de numération babylonien est assez complexe, comparé au nôtre, mais il a marqué un progrès important dans lhistoire de la numération. Les nombres ont acquis une existence propre indépendante des objets à partir du moment où on a pu en faire une représentation écrite et que lon a pu leur donner des noms.

24 Bibliographie Clawson, Calvin C. Mathematical Mysteries, The beauty and Magic of Numbers, New York and London, Plenium Press, 1996, 313 p. Collette, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., vol., 587 p. Devlin, Keith, The Language of Mathematics, making the invisible visible, New York, W.H.Freeman and Company, 1998, 344 p. Dewdney, A.K. A Mathematical Mystery Tour, New York, John Wiley & Sons, Inc. 1999, 218 p. Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p. Fortin, Michel, Syrie, terre de civilisations, Québec, Éditions de lHomme, Musée de la civilisation du Québec, 1999, 349 p. Friberg, J. Nombres et mesures dans les premiers documents écrits, Pour la science, Du signe à lécriture, dossiers hors série, octobre-janvier Gazalé, Midhat, Number, From Ahmes to Cantor, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 1999, 297 p.

25 Bibliographie Gingras, Y, Keating, P, Limoges, C. Du scribe au savant les porteurs du savoir, de lantiquité à la révolution industrielle, Montréal, Éditions du Boréal, 361 p. Guedj, Denis, Lempire des nombres, Paris, Découvertes, Gallimard Sciences, 1996, 176 p. Hersh, Reuben, What is Mathematics Really?, New York, Oxford University Press, Inc, 1997, 343 p. Ifrah Georges, Histoire universelle des chiffres, 2 vol. Paris, Éditions Robert Laffont, 1994, p. Sites Numération Maya Numération romaine Fin


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