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CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Recherche opérationnelle et aide à la décision RCP101 Philippe.

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1 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Recherche opérationnelle et aide à la décision RCP101 Philippe Canalda cnam-rcp101-sem

2 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Références Livres de référence (principaux) –AuteursTitre –Thomas Cormen, INTRODUCTION A L'ALGORITHMIQUE Charles Leiserson et Ronald Rivest, (chez Dunod) –Faure, Lemaire, PicouleauPrécis de Recherche Opérationnelle, 5ème édition Dunod ; –Groupe RoseauxExercices et problèmes résolus de recherche opérationnelle, tome3, Masson ; –Minoux M.Programmation Mathématique : théorie des algorithmes, 2 tomes ; Dunod. Matériel requis : –les livres de Cormen, Leiserson et Rivest et Faure, Lemaire et Picouleau Matériel produit : –vidéo-projection + prises de notes –Un support sur les graphes et optimisations –2 supports sur la programmation linéaire

3 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Plan 1/4 1.Introduction Génèse. Enjeux. Techniques, méthodes et outils : un aperçu. Structures ordonnées, applications des treillis et de lalgèbre de Boole en RO. Exercices Eléments de complexité (des algorithmes et des problèmes). Exercices. 2. Graphes et ordonnancement en gestion de projet Rappels des concepts élémentaires de théorie des graphes : définitions générales, graphes orientés, graphes non orientés, quelques graphes particuliers, représentation des graphes, parcours dans un graphe, exercices. …

4 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Plan 2/4 2. Graphes et ordonnancement en gestion de projet … Application des graphes à la RO Aperçu de méthodes de résolution : approche incrémentale, récursive, notions de programmation dynamique, algorithmes gloutons, problèmes linéaires ou non linéaires avec contraintes, exercices ; Problème du chemin de valeur optimale entre 2 sommets, exercices ; Ordonnancement de projets : méthode PERT et MPM (chemins critiques, marges), exercices ; Traitement des contraintes cumulatives (budget) : flot de valeur maximale, flot de valeur maximale à coût maximal, affectation, arbres optimaux, programmes de transport, …, exercices.

5 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Plan 3/4 3. Programmation linéaire et applications à lentreprise Généralités : origine, domaines dapplication, pertinence. Introduction géométrique puis algébrique à lalgorithme du simplexe : conditions dexistence de solutions (notation MIN, MAX), applications linéaires matricielles, formes analytiques des programmes linéaires, exercices. Problème de la base initiale : méthode à 2 phases de Dantzig, méthodes des pénalités (ou du grand M), exercices. Dualité : introduction, illustration, dualité dans le formalisme particulier et dans le cas général, propriétés mathématiques, interprétation économique, exercices. Analyse en sensibilité (paramétrages) : critiques de la programmation linéaire, paramétrage de la fonction économique, paramétrage du second membre (analyse post-optimale), exercices. 4. …

6 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Plan 4/4 4. Analyse multicritère et systèmes interactifs daide à la décision (SIAD) Méthodologies, concepts fondamentaux. Méthodes ELECTRE, « Goal-programming ». Présentation des SIAD (intérêts, limites). 5. Processus stochastique et programmation dynamique stochastique 6. Eléments de théorie des files dattente et de sûreté de fonctionnement Loi de Poisson, exponentielle. File dattente M/M/1 et applications. Fiabilité des composants, des systèmes (notions). Paramètres de la sûreté de fonctionnement.

7 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Evaluation Examen sur table Mini projet –Soit un algo doptimisation ex : introduire les fdt ds un algo (de prog dyn/géné) résolvant le N-TSP sappliquant sur 1 territoire multi- convergent –Soit un exposé plus collectif sur la gestion des taxis dans le cadre du transport flexible public –Autre … travail personnel

8 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Techniques, méthodes et outils : un aperçu. : –« Rend la monnaie », Etant donnée, dune part une liste de pièces (ordonnée ou non) et étant donné un montant de monnaie à rendre Calculer les combinaisons de pièces à rendre nLa meilleure nToutes nUne Discussion –« Les huit reines » –« Affectation de ressources »

9 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Interaction – Affectation de Ressources Ensemble de groupes d étudiants ou liste, avec le nombre –Schéma –Ordonnee : 3, 15, 17, …, 127, … –Ou non ordonnée : 17, 3, 127, 15, … Ensemble ou liste de classes avec les capacités –20, 30, 30, 70, … Problème : trouver, si elle existe, une affectation ou on s assure que chaque groupe aura une affectation de classe Rmq : les problèmes peuvent toujours se complexifier comme : trouver laffectation qui : nMinimise le taux doccupation nOu bien qui le maximise

10 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Interaction – Affectation de Ressources (suite) Exemple : Ge = 120,15,3, 84, 45 Gc= 30,90,89,30,140 La méthode basique : –Parcourir Ge de g->d et pour chaque élément du tableau parcourir Gc de g->d en cherchant à trouver une affectation libre Cette méthode aboutit à un échec : 126 à 140, 15 à 30, 3 à 90, 84 à 89, mais nous ne pouvons plus affecter 45 Rmq: une solution est plus facilement trouvable lorsque lon ordonne les éléments manipulés. Par exemple le choix croissant, ou décroissant, dordonner la liste des groupes. De même pour la liste des classes et de leurs contenances.

11 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ « Rend la monnaie » Etant donnée, dune part une liste de pièces (ordonnée ou non) et étant donné un montant de monnaie à rendre nOn se donne une Liste ordonnée L={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 nUn montant m=12,35 euros de monnaie à rendre Calculer les combinaisons de pièces à rendre –La meilleure –Toutes –Une –Discussion

12 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ « Rend la monnaie » : vers une solution nL={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros Calculer les combinaisons de pièces à rendre –La meilleure, toutes, une, discussion nIdée : calculer »i) le nombre de pièces de 5 euros à rendre sur => 2, »ii) le reste => – 2 * 5 = 2.35, »iii) passer à la pièce suivante et recommencer les étapes i) et ii) jusquà la fin de la liste ou bien jusquà ce que le reste soit nul

13 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ « Rend la monnaie » : vers une solution nL={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros calculer »i) le nombre de pièces de 5 euros à rendre sur => 2, »ii) le reste => – 2 * 5 = 2.35, »iii) passer à la pièce suivante et recommencer les étapes i) et ii) jusquà la fin de la liste ou bien jusquà ce que le reste soit nul Itérer lexemple, Automatiser, concevoir votre programme analyser la méthode : –exactitude/preuve, observation de la solution/généralisation, amélioration/complexité

14 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Itérer lexemple nL={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros calculer »i) le nombre de pièces à rendre sur m=12.35, i=0, L[0]=5 quotient= 2 = 12.35/5 = m/L[i] »ii) le reste m= 2.35 = 12.35%5 = m%L[i], »iii) passer à la pièce suivante et recommencer les étapes i) et ii) jusquà la fin de la liste ou bien jusquà ce que le reste soit nul i++

15 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Automatiser, concevoir votre programme ? (Programme itératif, récursif, parallèle, …) Puis analyser la méthode : –exactitude/preuve, observation de la solution/généralisation, amélioration/complexité

16 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Exemple de solution nL={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros calculer »Tant que (m <> 0) et (i = L.length analyser la méthode : exactitude/preuve, observation de la solution/généralisation, amélioration/complexité

17 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ analyser la méthode : exactitude/preuve, –Déjà fait observation de la solution/généralisation, –Calcul de la meilleure solution si elle existe. Elle marche lorsque/parce que La liste est ordonnée en ordre décroissant nContre-exemple évident Les éléments situés aux rangs I+1 et au-delà sont générateurs (pour constituer nimporte quel montant, a fortiori < à celui L[i]) nL={5, 2, 1.5} m=9.5

18 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ analyser la méthode : Remarques : –Méthode gloutonne qui calcule loptimal lorsque le meilleur choix local (fait à lindice i) conduit au meilleur choix global qqsoient les indices suivants –Cf cours prochain sur les graphes et les méthodes doptimisation gloutonnes

19 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ analyser la méthode : –Calcul dune solution? De toutes les solutions ? n? nSouvent il sagit dappréhender une approche récursive

20 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Exemple de solution bis nNouvelles étapes : »représenter la solution »Générer les solutions récursivement »Traiter la condition darrêt nL={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros, S_fifo={} calculer »Tant que (m <> 0) et (i<= L.length) faire // INVARIANT // on calcule toutes les occurrences des pièces situées // au rang 0..i-1 // on stocke ces occurrences dans une liste FIFO pour j allant de 0 à m/L[i] faire S_fifo.add(j) RelancerCalcul(L, m- j * L[i], i+1, S_fifo) S_fifo.retirerlasteltinséré fin tant que

21 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Fin 1 er cours

22 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Recette méthodologique Pour résoudre un problème, il existe plusieurs recettes: –La première consiste à trouver un algorithme résolvant une version qui simplifie la solution. Ceci peut-être obtenue en généralisant le problème nNe pas limiter le nombre doccurrences des pièces En le simplifiant du point de vue combinatoire nOrdonner la liste des pièces dans lordre décroissant des valeurs des pièces –Ensuite, il est toujours plus aisé de rajouter des contraintes comme limiter le nombre doccurrences des pièces –Mais il le sera moins de tenir compte dune liste non ordonnée mais que nous pourrons ordonner pour se ramener au problème que nous aurons su résoudre ou bien entrevoir la solution

23 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Travail personnel : Résoudre le problème avec limitation du nombre doccurrences des pièces Avancer le support

24 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Exemple de solution bis nNouvelles étapes : »représenter la solution »Générer les solutions récursivement »Traiter la condition darrêt nL={5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05} avec L[0]=5, … L[6]=0.05 m=12.35 euros, S_fifo={} calculer »If m==0 // solution trouvée ecrire S_fifo else // m<>0 if i >= L.length // pas de solution else // m<>0 et i <= L.length // on continue // on calcule toutes les occurrences des pièces situées // au rang 0..i-1 et on stocke ces occurrences dans une liste FIFO pour j allant de 0 à m/L[i] faire S_fifo.add(j) RelancerCalcul(L, m- j * L[i], i+1, S_fifo) S_fifo.retirerlasteltinséré fin pour

25 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Programme –Conduire le programme récursif –Appliquer la méthode à lexercice des 8 reines –Présenter les structures ordonnées Des applications des treillis et de lalgèbre de Boole Exercices

26 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Fin 2 ème cours Début 3 ème cours –Tableau first in first out Fichiers spéciaux : file dattente Implantation de cette liste nEn tableau nEn tableau et liste circulaire avec les modulo nLes listes pointeur de façon abstraite –// labouebe : pourquoi les le snap-shot (duplicate) de léchiquier avant le placement de la reine peut permettre de traiter du LLisme ? –Voir inscription de Yann Deboeuf

27 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ analyser la méthode : exactitude/preuve, –Déjà fait grâce à l invariant et avec un déroulement de programme observation de la solution/généralisation, –Calcul de toutes les solutions existantes. Elle marche que La liste soit ordonnée en ordre décroissant ou non le lancement se fait avec RelancerCalcul(L, m, i=0, S_fifo={})

28 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ déroulage Appliquer le programme précédent sur un exemple court mais réaliste… –Une taille |L|=2, –Une liste ordonnée décroissante, ou non ordonnée –Une liste qui montre lintérêt de générer exhaustivement les solutions –une solution à laquelle vous pourrez apporter des modifications doptimisations L={3, 2}

29 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ « Les huit reines » Etant donnée, une taille de léchiquier et un nombre de reines à placer Calculer les combinaisons des positionnements des reines –Toutes –Certaines selon heuristiques (positions du cavalier) –Discussion

30 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Chapitre 1 Structures ordonnées Treillis Algèbre de Boole Applications Exercices

31 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Chapitre 1 : Structures ordonnées Notions Algèbres de Boole

32 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Chapitre 1 : Structures ordonnées Relations, relations binaires, propriétés –Une relation désigne nimporte quel sous-ensemble du produit cartésien de 2 ou de plusieurs variables Exemple 1 –Prod_cart = A x B avec A = {a,b,c} et B={e1,e2,e3,e4} alors Prod_cart={(a,e1), (a,e2), (a,e3), (a,e4), (b,e1), (b,e2), (b,e3), (b,e4), (c,e1), (c,e2), (c,e3), (c,e4)} admet le sous-ensemble R={(a,e2), (b,e1), (c,e4)}

33 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Chapitre 1 : Structures ordonnées relation binaire –Une relation binaire sur E (abus de langage) est un sous-ensemble de E x E Exemple 2 –Prod_cart E x E, avec E = {x, y, z} Représentation matricielle ou sous-forme de tableau (x,x)(x,z) (y,y) (z,x) (x,x)(x,y)(x,z) (y,x)(y,y)(y,z) (z,x)(z,y)(z,z) (x,x)(x,y) (y,z) (z,x)(z,z) Produit cartésien R2 R1

34 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Ch1, Relations spéciales Relation diagonale –Δ = {(x,x), (y,y), (z,z)} Relation réflexive –Contient la diagonale Relation symétrique –Prtt (x, y) in E x E alors (y,x) in ExE R1 est symétrique mais nest pas réflexive Relation anti-symétrique –Prtt x et y, (y,x) not in R si (x,y) in R, sauf si x=y R2 est anti-symétrique mais nest pas réflexive (x,x)(x,z) (y,y) (z,x) (x,x)(x,y) (y,z) (z,x)(z,z) R2 R1

35 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Ch1, Relations spéciales Relation transitive –Si (x,y) et (y,z) in R alors (x,z) in R Les contraires : irréflexif, asymétrique et intransitif –R est irréflexive si elle contient aucun élément diagonal –Elle est asymétrique si elle nest symétrique pour aucun couple de R –Elle est intransitive si elle nest transitive pour aucune paire de couples de R (x,x)(x,y)(x,z) (y,z) (z,z) R4 R3 X,xX,yX,t Y,xY,yY,t Z,z T,xT,yT,t

36 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Ch1, Relations spéciales Qualifier R3 et R4 ? (x,x)(x,y)(x,z) (y,z) (z,z) R4 R3 X,xX,yX,t Y,xY,yY,t Z,z T,xT,yT,t –R3 Pas réflexive, anti-symétrique et transitive –R4 Réflexive, symétrique et transitive

37 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Ch1, Relations spéciales Qualifier R5 et R6 ? (x,y) (y,z) (z,x) R6 R5 –R5 irréflexive, asymétrique et intransitive –R6 Elle nest rien … ou plutôt elle est non réflexive, non symétrique et non transitive (x,x)(x,y)(x,z) (y,z) (z,x)

38 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Heuristique : pour trouver les graphes circulaires à une composante connexe Tester si irréfexif Intransitf Et asymétrique

39 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Programme –Présenter La suite des structures ordonnées Les treillis et des applications Lalgèbre de Boole Exercices Eléments de complexité (des algorithmes et des problèmes). Exercices. 2. Graphes et ordonnancement en gestion de projet Rappels des concepts élémentaires de théorie des graphes : ndéfinitions générales, graphes orientés, graphes non orientés, quelques graphes particuliers, représentation des graphes, parcours dans un graphe, exercices. n…

40 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Ch1 : Préordre, équivalence, ordre Une relation de préordre est une relation réflexive et transitive Une relation déquivalence est une relation réflexive, symétrique et transitive Une relation dordre (large) est réflexive, antisymétrique et transitive Exemple du critérium des champions –Les champions sont classés selon la relation « avoir obtenu un rang meilleur ou aussi bon que » : 1 er Camille, 2 ème ex aequo Anatole et Désiré, 4 ème Ernest 5 ème Bernard –Donner la représentation sous-forme de tableau avec A=Anatole, B=Bernard, …, E=Ernest

41 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Fin de cours 3

42 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Exemple du critérium des champions –Les champions sont classés selon la relation « avoir obtenu un rang meilleur ou aussi bon que » : 1 er Camille, 2 ème ex aequo Anatole et Désiré, 4 ème Ernest 5 ème Bernard –Donner la représentation sous-forme de tableau avec A=Anatole, B=Bernard, …, E=Ernest (a,a) (b,b) (c,c) (d,d) (e,e) réflexif

43 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Exemple du critérium des champions –Les champions sont classés selon la relation « avoir obtenu un rang meilleur ou aussi bon que » : 1 er Camille, 2 ème ex aequo Anatole et Désiré, 4 ème Ernest 5 ème Bernard –Donner la représentation sous-forme de tableau avec A=Anatole, B=Bernard, …, E=Ernest (a,a)(a,b)(a,d)(a,e) (b,b) (c,a)(c,b)(c,c)(c,d)(c,e) (d,a)(d,b)(d,d)(d,e) (e,b)(e,e) réflexif, non symétrique, et transitif, nest pas anti-symétrique

44 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Exemple de relation déquivalence –Considérons la relation « être parallèle à ou confondu avec », pour les 2 groupes de droites parallèles suivantes : A || C et B || D || E. Donner la représentation sous-forme de tableau –En considérant lexemple du critérium, déterminer les classes déquivalence (a,a)(a,c) (b,b)(b,d)(b,e) (c,a)(c,c) (d,b)(d,d)(d,e) (e,b)(e,d)(e,e) réflexif, symétrique, et transitif 2 classes {A,C} et {B,D,E}

45 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Vers un ordre strict… –Il est manifeste que {A,D} forme une classe déquivalence. Et cela correspond assez à la relation « avoir le même rang que ». –En faisant le quotient du pré-ordre par cette relation déquivalence on obtient 4 classes qui sordonnent strictement 2 à 2 selon la relation « avoir un meilleur rang que » : Les 4 classes {C}, {A, D}, {E} et {B} Avec {C} > {A, D} > {E} > {B} –Réordonner le tableau suivant les rangs croissants C, A, D, E et B –Donner le tableau de la relation stricte sur les classes –Qualifier cette relation et remarquer quelle est irréflexive, asymétrique et transitive (a,a)(a,b)(a,d)(a,e) (b,b) (c,a)(c,b)(c,c)(c,d)(c,e) (d,a)(d,b)(d,d)(d,e) (e,b)(e,e)

46 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Un ordre au sens large (i.e. moins strict) –Rappel : Elle est réflexive, anti-symétrique et transitive –Soit N* et la relation x | y (x divise exactement y, sans reste / ou encore x modulo y ==0). Montrer que la relation est un ordre au sens large Soit X un sous-ensemble de N* tel que X={1, 2, 3, 5, 10, 20, 30} Calculer le tableau représentant x | y sur X

47 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Ordres partiels et totaux –Rappel : Elle est réflexive, anti-symétrique et transitive –Soit N* et la relation x | y (x divise exactement y, sans reste / ou encore x modulo y ==0). Montrer que la relation est un ordre au sens large Soit X un sous-ensemble de N* tel que X={1, 2, 3, 5, 10, 20, 30} Calculer le tableau représentant x | y sur X (1,1)(1,2)(1,3)(1,5)(1,10)(1,20)(1,30) (2,2)(2,10)(2,20)(2,30) (3,3)(3,30 (5,5)(5,10)(5,20)(5,30) (10,10)(10,20)(10,30) (20,20) (30,30) La réflexivité est visible, lanti-symétrie aussi, la transitivité un peu moins tous les éléments ne sont pas comparables au dessus de la diagonale

48 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Ordres partiels et totaux –La relation dordre est partielle lorsque tous les éléments ne sont pas comparables 2 à 2 –Sinon elle est totale

49 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Représentation sagittale et diagramme de Hasse –Dans une représentation sagittale 2 éléments a et b sont représentés chacun par 1 pt, ils sont réunis par un arc orienté a – b si a R b nExemple si a | b il y a autant darcs que de couples dans la représentation tableau de la même relation –Dans le diagramme de Hasse, les arcs qui résultent de la réflexivité et de la transitivité sont supprimés Donner ces 2 représentations de la relation « | » sur X Énumérer des 3 représentations informatiques : tableau, sagittal, diagramme de Hasse Donner les algorithmes qui produisent les 2 dernières représentations à partir de la 1 ère représentation (le tableau à 2 dimensions)

50 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Lexercice de transformation de la matrice sagittale en diagramme de Hasse est TRES intéressant. Il exploite lordonnancement des éléments de N* manipulés.

51 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ –Excellente prise de note : »NotesCoursN°4.pdf –Support de cours : »cours1..4.pdf

52 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Programme –Présenter Les éléments particuliers dun ensemble ordonné Les treillis et des applications Lalgèbre de Boole Exercices Eléments de complexité (des algorithmes et des problèmes). Exercices. 2. Graphes et ordonnancement en gestion de projet Rappels des concepts élémentaires de théorie des graphes : ndéfinitions générales, graphes orientés, graphes non orientés, quelques graphes particuliers, représentation des graphes, parcours dans un graphe, exercices. n…

53 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Quelques propriétés Pour obtenir une représentation dun ordre strict à partir dun ordre large (réflexive, antisymétrique et transitive) il faut … … il faut supprimer la diagonale. Rmq : 1 une relation réflexive, asymétrique et transitive définit un ordre strict. 2 elle peut induire un ordre partiel ou bien un ordre total Exemple : – représentez la relation stricte correspondant à || qui signifie divise (à la manière euclidienne) et nest pas égal. Lordre obtenu est-il strict ou partiel ? Justifiez.

54 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Quelques propriétés A toute relation = (>, respectivement) Question : comment lobtiendriez-vous cette relation converse ? Symétrie par rapport à la diagonale

55 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Les éléments particuliers dun ensemble ordonné (1/3) Définition : un ensemble sur lequel est défini une relation dordre (partiel ou total) est dit (partiellement ou totalement) ordonné. X un ensemble partiellement ordonné par la relation <=, et une partie P de X –Un minorant m de P est un élément m de X qui est <= tout élément x de P Similairement, un majorant M de P est un élément M de X qui est >= tout élément x de P –Un élément maximal de P est un élément M de P pour lequel il nexiste pas délément de P > à M Similairement, un élément minimal de P est un élément M de P pour lequel il nexiste pas délément de P < à M

56 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Les éléments particuliers dun ensemble ordonné (2/3) –Le plus grand élément E (maximum) de P est tel que, pour tout x de P on a E >= x Similairement, le plus petit élément e (minimum) de P est tel que, pour tout x de P on a e <= x –La borne supérieure (b.s.) B (suprémum) de P, noté aussi supP est le plus petit élément de lensemble des majorants de P. Similairement la borne inférieure (b.i.) b (infimum) de P, noté aussi infP est le plus grand élément de lensemble des minorants de P. –Lélément universel de X est le plus grand élément de X. –Lélément nul de X est le plus petit élément de X. Rmq : tous ces éléments nexistent pas forcément, dû au fait notamment que parfois les éléments ne sont pas comparables.

57 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Les éléments particuliers dun ensemble ordonné : Exemple (3/3) Soit X={1, 2, 3, 5, 10, 20, 30}, un ensemble ordonné partiellement par la relation x | y (x divise y). Pour les deux parties suivantes, –P_1={2,3,5,10} et P_2={2,5,10} qualifiez les nles majorants de P, nles minorants de P, nles éléments maximaux net les éléments minimaux, nle plus grand élément de P, nle plus petit élément de P, nla b.s., nla b.i., nlélément universel net lélément nul.

58 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ –Prise de note : »NotesCoursN°5.pdf –Support de cours : »cours1..5.pdf

59 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Les éléments particuliers dun ensemble ordonné (Synthèse) Définition : un ensemble sur lequel est défini une relation dordre (partiel ou total) est dit (partiellement ou totalement) ordonné. X un ensemble partiellement ordonné par la relation <=, et une partie P de X –Un minorant m de P est un élément m de X qui est <= tout élément x de P Similairement, un majorant M de P est un élément M de X qui est >= tout élément x de P –Un élément maximal de P est un élément M de P pour lequel il nexiste pas délément de P > à M Similairement, un élément minimal de P est un élément M de P pour lequel in nexiste pas délément de P < à M –Le plus grand élément E (maximum) de P est tel que, pour tout x de P on a E >= x Similairement, le plus petit élément e (minimum) de P est tel que, pour tout x de P on a e <= x –La borne supérieure (b.s.) B (suprémum) de P, noté aussi supP est le plus petit élément de lensemble des majorants de P. Similairement la borne inférieure (b.i.) b (infimum) de P, noté aussi infP est le plus grand élément de lensemble des minorants de P. –Lélément universel de X est le plus grand élément de X. –Lélément nul de X est le plus petit élément de X.

60 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Les éléments particuliers dun ensemble ordonné : Exemple (3/3) résultat 1 Soit X={1, 2, 3, 5, 10, 20, 30}, un ensemble ordonné partiellement par la relation x | y (x divise y). –P={2,3,5,10} nLes majorants de P, 30 nLes minorants de P, 1 nles éléments maximaux, {3, 10} net les éléments minimaux, {2, 3, 5} nle plus grand élément de P, inexistant nle plus petit élément de P, inexistant nla b.s. de P de X, 30 nla b.i., 1 nlélément universel, inexistant net lélément nul, 1

61 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Les éléments particuliers dun ensemble ordonné : Exemple (3/3) résultat 2 Soit X={1, 2, 3, 5, 10, 20, 30}, un ensemble ordonné partiellement par la relation x | y (x divise y). –P={2,5,10} nLes majorants de P, {10, 20, 30} nLes minorants de P, {1} nles éléments maximaux, {10} net les éléments minimaux, {2, 5} nle plus grand élément de P, {10} nle plus petit élément de P, inexistant nla b.s. de P, 10 nla b.i. de P, 1 nInchangés »lélément universel, inexistant »et lélément nul, 1

62 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Exemples dusages de ces éléments particuliers 1/2 La connaissance a priori des données sur lesquelles un calcul combinatoire (ou des optimisations) doi(ven)t sopérer. –cas où lusage du calcul succède nettement dans le temps à la disponibilité des données … => optimisations dites statiques ou le résultat peut être stocké sous la forme de tableaux, diagramme sagittal / graphe / automate, diagramme de Hass, etc. Cette partie statique peut parfois correspondre à une génération de données et/ou de code qui, une fois compilées et ajoutées à un noyau doptimisation dynamique, produira après compilation puis exécution les résultats attendus (voir ci-après). –… et où parfois lusage a posteriori (dé)limite le champ dapplication du calcul combinatoire sur les données initiales => optimisations dites dynamiques qui exploiteront peut-être les traitements statiques antérieurs consécutivement à, et de manière pas nécessairement exclusive, nCompilation, filtrage, parcours dautomate ou de graphe ou …

63 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Exemples dusages de ces éléments particuliers 2/2 a Sur un réseau ou territoire donné, nous disposons des distances séparant les nœuds 2 à 2. Dans un premier temps, et à des fins de simplification, nous comptabiliserons le nombre de segments/arcs séparant différents points/nœuds (dun graphe) G=(N={0,1,2,3,4,5,6,7,8},E={(0,5),(0,7),(5,7),(5,3),(3,6),(3,2),(7,3),(7,8),(7,1), (7,4),(4,8), (5,1)}) Nous souhaitons écrire un programme qui, étant donné un sous-ensemble de ces nœuds et arcs, calcule la liste des noeuds rangés par ordre croissant des distances à un nœud particulier donné. »Pour le nœud 0 et le sous-ensemble N0={1,3,4,5,7} et les arcs associés E0={={(0,5),(0,7),(5,7),(7,3),(7,1),(7,4), (5,1)} et le résultat attendu est L0={0,5,7,1,3,4}

64 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Exemples dusages de ces éléments particuliers 2/2 b G=(N={0,1,2,3,4,5,6,7,8},E={(0,5),(0,7),(5,7),(5,3),(3,6),(3,2),(7, 3),(7,8),(7,1),(7,4),(4,8),(5,1)}) »Pour le nœud 0 et le sous-ensemble N0={0,1,3,4,5,7} et les arcs associés E0={(0,5),(0,7),(5,7),(7,3),(7,1),(7,4), (5,1)} et le résultat attendu est L0={0,5,7,1,3,4} –Il sagit de calculer les plus courts chemins depuis 0 vers tous les points (par extension de tout point en tout point), –de ranger dans L les nœuds en fonction de la distance croissante (mais aussi par ordre alphanumérique en cas dégalité _ car nous avons un ordre partiel) –puis lors de loptimisation dynamique il suffit de parcourir la liste initiale L en exhibant les index des nœuds présents dans N0.

65 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ –Prise de note : »NotesCoursN°6.pdf –Support de cours : »cours1..6.pdf

66 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Exemples dusages de ces éléments particuliers 2/2 c Il sagit nde calculer les plus courts chemins depuis 0 vers tous les points (par extension de tout point en tout point), nde ranger dans L les nœuds en fonction de la distance croissante (mais aussi par ordre alphanumérique en cas dégalité _ car nous avons un ordre partiel) npuis lors de loptimisation dynamique il suffit de parcourir la liste initiale L en exhibant les index des nœuds présents dans N0. Donner la représentation matricielle, Caractériser la relation (propriétés) Donner la représentation sagittale La représentation du diagramme de Hasse a-t-elle un sens dans le cas présent et pourquoi Concevez lalgorithme i) qui calcule les plus courts chemins de tout point en 0 Etendez cet algo en un algo ii) qui retourne la liste ordonnée totalement selon les distances puis, en cas dégalité, la liste ordonnée selon lordre alphanumérique Concevez lalgorithme iii) qui calcule la sous-liste L0 correspondant au sous-graphe G0=(N0,EO)=G\{2,4,6,8} Concevez lalgo qui étend i) en iv) qui calcule les plus courts chemins de tout point en tout point Discussion EXERCICE TRES INTERESSANT A REALISER

67 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Les treillis – définition 1/2 Lorsque la partie P de X est réduite à 2 éléments (« paire ») {x,y}, il peut exister une b.s. et/ou une b.i. –La b.s. lorsquelle existe se note x V y –La b.i. lorsquelle existe se note x Λ y Définition : on appelle treillis un ensemble partiellement ordonné dans lequel, pour toute paire déléments, il existe une b.s. et une b.i. Propriété : la définition axiomatique de la page 7 peut être substituée Bas de la page 7 preuve de 4

68 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Suite au bas de la page 7 –Les propriétés et exercices sur les treillis Preuves par développements et réductions Preuves par labsurde –Lalgèbre de Boole –Isomorphisme de lalgèbre de Boole à un corps densemble

69 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Les treillis – définition 2/2 Soit un ensemble T, dont les éléments sont munis de 2 lois de composition, V (OU) et Λ (ET), vérifiant, Qqsoit x, y et z Є T, les propriétés : 1- x OU y = y OU x (commutativité) 1- x ET y = y ET x 2- x OU (y OU z) = (x OU y) OU z (associativité) 2- x ET (y ET z) = (x ET y) ET z 3- x OU x = x (idempotence) 3- x ET y = x 4- x OU (x ET y) = x (absorption) 4- x ET (x OU y) = x Alors T constitue un ensemble ordonné par la relation telle que : 5- [x y] [x ET y] = x [x OU y] = y T est un treillis

70 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Les treillis – exemple Considérons lensemble T des diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, ordonnés par la relation x | y. Si lon considère le diagramme de Hasse associé (et que vous construirez), et si lon considère que la b.s. de 2 éléments est leur ppcm et que la b.i. de 2 éléments est leur pgdc, Alors T, associé à b.i. et b.s. forment un treillis Lélément universel est 30, lélément nul est 1. De façon générale, N* ordonné par | présente une structure de treillis infini dont lélément nul est toujours 1 et nayant pas délément universel Élaborer les 2 diagrammes de Hasse, celui pour x | y, puis la nouvelle relation

71 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Les treillis – autres définitions 1/2 Un treillis T avec élément nul n et élément universel U est complémenté si, qqsoit x de T, il existe une association possible dun élément x noté x-barre telle que: 6- x OU x-barre = U et 6- x ET x-barre = n Exercice –vérifier si le treillis de lexemple précédent est complémenté –Montrer que le système daxiomes (1-4), (1-4) nest pas minimal, tout spécialement vous pourrez montrer que labsorption entraîne lidem- potence. Ainsi le système daxiomes (1, 2, 4, 1, 2, 4) est minimal ou générateur.

72 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Les treillis – autres définitions 2/2 Un treillis est distributif si, aux axiomes 1à 4 et 1 à 4 sajoutent, qqsoit x, y et z de T: 7- x OU (y ET z) = (x OU y) ET (x OU z) Exercice –Ces axiomes entraînent : 7- x ET (y OU z) = (x ET y) OU (x ET z) –Inversement 7 entraîne 7 –Dans un treillis distributif la complémentation est unique (démonstration par labsurde) Un treillis à la fois distributif et complémenté est appelé treillis de Boole. Il est isomorphe à une algèbre de Boole qui est : –Un ensemble partiellement ordonné, doté dun élément nul et dun autre universel, dont les éléments vérifient 1à 4, 1 à 4, 6, 6, 7 La relation dordre est définie par une des 4 relations suivantes : 5*- [x y] [x ET y] = x [x OU y] = y x ET y-barre = 0 x OU y-barre =1, avec n=0 et U=1

73 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Une algèbre de Boole Une algèbre de Boole à un générateur, différent de 0 et de 1, comporte 4 éléments. (diagramme de Hasse) A 2 éléments, il comporte 16 éléments. (cf. page 9) Théorème de Stone : Toute algèbre de Boole est isomorphe à un corps densemble. Exemple : à partir de lalgèbre de Boole à 2 générateurs a et b tels que a != b et a ET b ! = 0, on fait plus clairement apparaître …

74 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Corps densemble Exemple : à partir de lalgèbre de Boole à 2 générateurs a et b tels que a != b et a ET b ! = 0, on fait plus clairement apparaître … Dans une forme parallélépipédique (diagramme dEuler-Venn) représentant lunivers 1 : A, B, A B, A B-barre, A-barre B, A-barre B-barre qui sont des « régions » correspondant aux atomes respectifs a, b, a ET b, a OU b-barre, a-barre ET b, a-barre ET b-barre On appelle corps densembles une famille de parties dun ensemble, munie des opérations ensemblistes classiques (réunion, intersection, complémentation).

75 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ Corps densemble Représentation ensembliste des algèbres de Boole –Logique aristotélicienne (bas de la page 13) –Principe de contradiction (page 14) –Formules de Morgan (pages 15-…)

76 CNAM Belfort – RCP101 : Recherche opérationnelle et aide à la décision par Philippe Canalda Le 20/03/ La suite déjà traitée en pointillée Représentation ensembliste des algèbres de Boole –Logique aristotélicienne (bas de la page 13) –Principe de contradiction (page 14) –Formules de Morgan (pages 15-…) Lalgèbre de Boole binaire (pages 22- …) Notions de complexité (pages 48-…) Éléments de la théorie des graphes : définition, concepts essentiels, parcours des graphes (pages 60-…) Application des graphes à la recherche opérationnelle –Notions de programmations dynamiques (pages 95-…) –…


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