La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Logiques Mathématiques Leila Jemni Ben Ayed Faculté des Sciences de Tunis Département des Sciences de lInformatique Ce cours est une introduction aux logiques.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Logiques Mathématiques Leila Jemni Ben Ayed Faculté des Sciences de Tunis Département des Sciences de lInformatique Ce cours est une introduction aux logiques."— Transcription de la présentation:

1 Logiques Mathématiques Leila Jemni Ben Ayed Faculté des Sciences de Tunis Département des Sciences de lInformatique Ce cours est une introduction aux logiques mathématiques et aux techniques de déduction automatique. Il présente deux modèles de raisonnement fondés sur la logique des propositions et la logique des prédicats, permettant, davoir une approche mathématique de la programmation. Nous examinons la logique propositionnelle et la logique des prédicats du premier ordre. Nous discutons les liens entre les aspects formels dans ces logiques et les énoncés exprimés informellement. Différentes méthodes de preuve formelle sont présentées et appliquées. Références. - J.P. Delahaye, Outils Logiques pour lIntelligence Artificielle, Eyrolles, Paris, J. Vélu, Méthodes Mathématiques pour lInformatique, Dunod, Paris, 2005.

2 Logique des prédicats 1. Introduction 2. Terme, atomes et formules bien formées 3. Interprétation des formules 4. Validité et inconsistance 5. Conséquence logique 6. Forme Normale Prénexe 7. Théorème de Herbrand pour la résolution

3 I. Introduction Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed3 La logique des prédicats du premier ordre (lpr1) enrichit la logique des propositions avec 3 nouveaux concepts : termes, prédicats et quantificateurs pour pouvoir exprimer et prouver des faits et des phrases quon ne peut pas exprimer et prouver avec la logique des propositions. Exemples: considérons les faits suivants: P: tout homme est mortel Q: Socrate est un homme R: Socrate est mortel On peut les exprimer dans la lpr1 par : P: x (homme (x) mortel(x)) Q: homme (Socrate) R : mortel(Socrate) Dans lpr1, R est une conséquence logique de P et Q La logique des prédicats du premier ordre (lpr1) enrichit la logique des propositions avec 3 nouveaux concepts : termes, prédicats et quantificateurs pour pouvoir exprimer et prouver des faits et des phrases quon ne peut pas exprimer et prouver avec la logique des propositions. Exemples: considérons les faits suivants: P: tout homme est mortel Q: Socrate est un homme R: Socrate est mortel On peut les exprimer dans la lpr1 par : P: x (homme (x) mortel(x)) Q: homme (Socrate) R : mortel(Socrate) Dans lpr1, R est une conséquence logique de P et Q

4 I. Introduction Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed4 Rq1. Les structures de p et q ne sont pas utilisées en lp0 ce qui ne nous permet pas de déduire la conséquence Rq2. Homme(x), mortel(x) sont des prédicats Rq1. Les structures de p et q ne sont pas utilisées en lp0 ce qui ne nous permet pas de déduire la conséquence Rq2. Homme(x), mortel(x) sont des prédicats Symbole de prédicat Pour représenter le fait x est plus grand que 3, on définit un symbole de prédicat darité 2 plus_grand. Le prédicat plus_grand(x, y) signifie que x est plus grand que y x est plus grand que 3 est représenté par plus_grand(x, 3). Symbole de fonction Pour représenter x+2, on défoinit un symbole de fonction darité 2 plus. La fonction plus(x, y) représente x+y. x+2 est représenté par plus(x, 2) Le fait x+1 est plus grand que x est représenté par : Plus_grand(plus(x, 1), x) / 1 : constante, x : variable Symbole de prédicat Pour représenter le fait x est plus grand que 3, on définit un symbole de prédicat darité 2 plus_grand. Le prédicat plus_grand(x, y) signifie que x est plus grand que y x est plus grand que 3 est représenté par plus_grand(x, 3). Symbole de fonction Pour représenter x+2, on défoinit un symbole de fonction darité 2 plus. La fonction plus(x, y) représente x+y. x+2 est représenté par plus(x, 2) Le fait x+1 est plus grand que x est représenté par : Plus_grand(plus(x, 1), x) / 1 : constante, x : variable

5 2. Termes, Atomes et Formules bien formées Logiques mathématiquesLeila Jemni Ben Ayed5 Définition 1. Terme Les termes sont définis récursivement comme suit : 1)Une constante est un terme 2)Une variable est un terme 3)Si f est un symbole de fonction n-aire et t1, t2, …tn sont des termes alors f(t1, t2, …tn) est un terme Exemple: X et 1 sont des termes, Plus est un symbole de fonction binaire alors : - Plus(x, 1) est un terme et - Plus(Plus(x, 1), x) est un terme qui représente (x+1) + x Définition 1. Terme Les termes sont définis récursivement comme suit : 1)Une constante est un terme 2)Une variable est un terme 3)Si f est un symbole de fonction n-aire et t1, t2, …tn sont des termes alors f(t1, t2, …tn) est un terme Exemple: X et 1 sont des termes, Plus est un symbole de fonction binaire alors : - Plus(x, 1) est un terme et - Plus(Plus(x, 1), x) est un terme qui représente (x+1) + x

6 Logiques mathématiquesLeila Jemni Ben Ayed6 Définition 2. Atome Si p est un symbole de prédicat n-aire et t1, t2, …tn sont des termes alors p(t1, t2, …tn) est un atome ou formule atomique. Avec les atomes, les connecteurs logiques et les quantificateurs et, on peut construire des formules du calcul des prédicats. Définition 2. Atome Si p est un symbole de prédicat n-aire et t1, t2, …tn sont des termes alors p(t1, t2, …tn) est un atome ou formule atomique. Avec les atomes, les connecteurs logiques et les quantificateurs et, on peut construire des formules du calcul des prédicats. Rq1. Un prédicat associe une valeur parmi {T, F} à une liste de constantes Plus_grand (5, 3) est vraie mais plus_grand(3, 5) est fausse. Rq1. Un prédicat associe une valeur parmi {T, F} à une liste de constantes Plus_grand (5, 3) est vraie mais plus_grand(3, 5) est fausse. 2. Termes, Atomes et Formules bien formées

7 Logiques mathématiquesLeila Jemni Ben Ayed7 Exemple. 1)Chaque nombre rationnel est un nombre réel 2)Il existe un nombre qui est premier 3)Pour chaque nombre x, il existe un nombre y tel que x

8 Logiques mathématiquesLeila Jemni Ben Ayed8 Exemple. 1)Chaque nombre rationnel est un nombre réel 2)Il existe un nombre qui est premier 3)Pour chaque nombre x, il existe un nombre y tel que x

9 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed9 Définition 3. Portée dun quantificateur : La portée dun quantificateur est la formule à laquelle il sapplique. Exemple: La portée de dans la formule x (Q(x) R(x)) est Q(x) R(x) Il ya 3 occurrences de la variable x dans la formule x (Q(x) R(x)) Définition 3. Portée dun quantificateur : La portée dun quantificateur est la formule à laquelle il sapplique. Exemple: La portée de dans la formule x (Q(x) R(x)) est Q(x) R(x) Il ya 3 occurrences de la variable x dans la formule x (Q(x) R(x)) 2. Termes, Atomes et Formules bien formées

10 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed10 Définition 4. Occurrence libre ou liée - Variable libre et/ou liée -Les variables dun atome sont libres dans toutes leurs occurrences -Si A est de la forme (B C), (B C), (B C), ( B) alors une occurrence dune variable est liée dans A SSI elle était liée dans la formule B ou C -Si une formule A est de la forme ( x) B ou ( x) B alors une occurrence dune variable est liée dans A si cette variable est x ou si cette occurrence est liée dans la sous formule B. Définition 4. Occurrence libre ou liée - Variable libre et/ou liée -Les variables dun atome sont libres dans toutes leurs occurrences -Si A est de la forme (B C), (B C), (B C), ( B) alors une occurrence dune variable est liée dans A SSI elle était liée dans la formule B ou C -Si une formule A est de la forme ( x) B ou ( x) B alors une occurrence dune variable est liée dans A si cette variable est x ou si cette occurrence est liée dans la sous formule B. 2. Termes, Atomes et Formules bien formées

11 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed11 Occurrence libre ou liée - Une occurrence dune variable x dans une formule est liée ssi cette occurrence est dans la portée dun quantificateur employant x ou elle est loccurrence du quantificateur. - Une occurrence dune variable est libre si cette occurrence nest pas liée. Variable libre et/ou libre - Une variable est libre dans une formule si au moins une occurrence de cette variable est libre dans la formule - Une variable est liée si au moins une occurrence de cette variable est liée Formule fermée. Si une formule F ne contient pas de variables libre alors F est une formule fermée. Occurrence libre ou liée - Une occurrence dune variable x dans une formule est liée ssi cette occurrence est dans la portée dun quantificateur employant x ou elle est loccurrence du quantificateur. - Une occurrence dune variable est libre si cette occurrence nest pas liée. Variable libre et/ou libre - Une variable est libre dans une formule si au moins une occurrence de cette variable est libre dans la formule - Une variable est liée si au moins une occurrence de cette variable est liée Formule fermée. Si une formule F ne contient pas de variables libre alors F est une formule fermée. 2. Termes, Atomes et Formules bien formées

12 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed12 Exemple: ( x) P(x, y) Les deux occurrences de x sont liées donc la variable x est liée. La seule occurrence de y est libre donc la variable y est libre ( x) P(x, y) ( y) Q(y) La variable y est libre et liée dans cette formule Exemple: ( x) P(x, y) Les deux occurrences de x sont liées donc la variable x est liée. La seule occurrence de y est libre donc la variable y est libre ( x) P(x, y) ( y) Q(y) La variable y est libre et liée dans cette formule 2. Termes, Atomes et Formules bien formées

13 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed13 Définition 5. Formule bien formée de lpr1 Les formules bien formées de la logique des prédicats sont définies récursivement comme suit: 1)Un atome est une formule 2)Si F et G sont des fbf alors ( F), (F G), (F G), (F G) et (F G) sont des fbf 3)Si F est une fbf et x est une variable libre dans F alors ( x) F et ( x) F sont des fbf Définition 5. Formule bien formée de lpr1 Les formules bien formées de la logique des prédicats sont définies récursivement comme suit: 1)Un atome est une formule 2)Si F et G sont des fbf alors ( F), (F G), (F G), (F G) et (F G) sont des fbf 3)Si F est une fbf et x est une variable libre dans F alors ( x) F et ( x) F sont des fbf 2. Termes, Atomes et Formules bien formées

14 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed14 Exemple. Soient les axiomes de base pour les entiers naturels sont: (A1) Chaque entier admet un et un seul successeur (A2) Il ny a aucun entier ayant 0 comme successeur (A3) Pour tout entier non nul, il ya un et un seul prédécesseur Exprimer formellement ces inoncés On définit les symboles suivants: Succ(x) : Successeur de lentier x Pred(x) : prédecessur de lentier x) Egal(x, y) : lentier x est égal à lentier y (A1) ( x) ( y) (E(y, succ(x) ( z)(E(z, suc(x)) E(y, z))) (A2) ( x E(0, succ(x))) (A3) x ( E(x, 0) ( y(E(y, pred(x)) z(E(z, pred(x)) E(y, z)))) Exemple. Soient les axiomes de base pour les entiers naturels sont: (A1) Chaque entier admet un et un seul successeur (A2) Il ny a aucun entier ayant 0 comme successeur (A3) Pour tout entier non nul, il ya un et un seul prédécesseur Exprimer formellement ces inoncés On définit les symboles suivants: Succ(x) : Successeur de lentier x Pred(x) : prédecessur de lentier x) Egal(x, y) : lentier x est égal à lentier y (A1) ( x) ( y) (E(y, succ(x) ( z)(E(z, suc(x)) E(y, z))) (A2) ( x E(0, succ(x))) (A3) x ( E(x, 0) ( y(E(y, pred(x)) z(E(z, pred(x)) E(y, z)))) 2. Termes, Atomes et Formules bien formées

15 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed15 Définition 6. Une interprétation dune formule F consiste en un ensemble non vide D et une affectation dune valeur à chaque constante, symbole de fonction et symbole de prédicat apparaissant dans F comme suit : 1- On affecte un élément de D à chaque constante 2- On affecte une fonction de D n D à chaque symbole de fonction n- aire 3- On affecte une fonction de D n {T, F} à chaque symbole de prédicat n-aire D est appelé domaine dinterprétation de F Rq. Pour n= 0, un symbole de fonction 0-aire dénote un élément de D et un symbole de prédicat 0-aire dénote une valeur de vérité dans {T, F} Définition 6. Une interprétation dune formule F consiste en un ensemble non vide D et une affectation dune valeur à chaque constante, symbole de fonction et symbole de prédicat apparaissant dans F comme suit : 1- On affecte un élément de D à chaque constante 2- On affecte une fonction de D n D à chaque symbole de fonction n- aire 3- On affecte une fonction de D n {T, F} à chaque symbole de prédicat n-aire D est appelé domaine dinterprétation de F Rq. Pour n= 0, un symbole de fonction 0-aire dénote un élément de D et un symbole de prédicat 0-aire dénote une valeur de vérité dans {T, F} 3. Interprétation des formules

16 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed16 Quand on évalue la valeur de vérité dune formule dans une interprétation avec le domaine D, ( x) est interprété par pour tout élément x de D ( x) est interprété par il existe un élément x D. Pour toute interprétation dune formule A dans un domaine D, A est évaluée à T ou F selon les règles suivantes : 1) Si on connaît la valeur de vérité de G et H alors les valeurs de vérité des formules G, G H, G H, G H et G H est obtenue conformément aux règles dévaluation des formules de lp0 2) ( x) G est évaluée à T si G est évaluée à T pour tout élément D sinon elle est évaluée à F. 3) ( x) G est évaluée à T si G est évaluée à T pour au moins un élément de D sinon elle est évaluée à F Rq. Une formule contenant un variable libre ne peut pas être évaluée. Quand on évalue la valeur de vérité dune formule dans une interprétation avec le domaine D, ( x) est interprété par pour tout élément x de D ( x) est interprété par il existe un élément x D. Pour toute interprétation dune formule A dans un domaine D, A est évaluée à T ou F selon les règles suivantes : 1) Si on connaît la valeur de vérité de G et H alors les valeurs de vérité des formules G, G H, G H, G H et G H est obtenue conformément aux règles dévaluation des formules de lp0 2) ( x) G est évaluée à T si G est évaluée à T pour tout élément D sinon elle est évaluée à F. 3) ( x) G est évaluée à T si G est évaluée à T pour au moins un élément de D sinon elle est évaluée à F Rq. Une formule contenant un variable libre ne peut pas être évaluée. 3. Interprétation des formules

17 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed17 Exemple. G : ( x) (p(x) q(f(x), a)) Considérons linterprétation I suivante: D = {1, 2}, a= 1, f(1) = 2, f(2) = 1 p(1) = F, p(2) = T, q(1,1) = T, q(1, 2) = T, q(2, 1) = F et q(2, 2) = T Lévaluation de G donne la valeur vraie (T) En effet: -Si x = 1 alors p(x) q(f(x), a) = p(1) q(f(1), a) =p(1) q(2, 1) = F F = T -Si x = 2 alors p(x) q(f(x), a) = p(2) q(f(2), a) =p(2) q(1, 1) = T T = T Nous avons ainsi p(x) q(f(x), a) vraie x D Alors ( x) (p(x) q(f(x), a)) est vraie Exemple. G : ( x) (p(x) q(f(x), a)) Considérons linterprétation I suivante: D = {1, 2}, a= 1, f(1) = 2, f(2) = 1 p(1) = F, p(2) = T, q(1,1) = T, q(1, 2) = T, q(2, 1) = F et q(2, 2) = T Lévaluation de G donne la valeur vraie (T) En effet: -Si x = 1 alors p(x) q(f(x), a) = p(1) q(f(1), a) =p(1) q(2, 1) = F F = T -Si x = 2 alors p(x) q(f(x), a) = p(2) q(f(2), a) =p(2) q(1, 1) = T T = T Nous avons ainsi p(x) q(f(x), a) vraie x D Alors ( x) (p(x) q(f(x), a)) est vraie 3. Interprétation des formules

18 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed18 Définition 7. -Une formule G est consistante (satisfiable) ssi il existe une interprétation I / G est évaluée à T dans I. I est dit un modèle de G et I satisfait G - Une formule G est inconsistante (insatisfiable) ssi il nexiste aucune interprétation satisfaisant G -Une formule G est valide ssi chaque interprétation I de G satisfait G Rq. Le pb de validité consiste à trouver un algorithme qui décide si une formule donnée est valide ou non. 1)Le problème de validté admet une solution dans lp0 2)Le problème de validité admet une solution partielle dans la lpr1 3)Le pb de validité nadmet pas de solution dans les lpr dordre supérieur. Validité partielle : algorithme répond par oui si la formule est valide et Boucle infinie u répond par non si la formule nest pas prouvée valide. Définition 7. -Une formule G est consistante (satisfiable) ssi il existe une interprétation I / G est évaluée à T dans I. I est dit un modèle de G et I satisfait G - Une formule G est inconsistante (insatisfiable) ssi il nexiste aucune interprétation satisfaisant G -Une formule G est valide ssi chaque interprétation I de G satisfait G Rq. Le pb de validité consiste à trouver un algorithme qui décide si une formule donnée est valide ou non. 1)Le problème de validté admet une solution dans lp0 2)Le problème de validité admet une solution partielle dans la lpr1 3)Le pb de validité nadmet pas de solution dans les lpr dordre supérieur. Validité partielle : algorithme répond par oui si la formule est valide et Boucle infinie u répond par non si la formule nest pas prouvée valide. 4. Validité et inconsistance

19 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed19 Définition 8. Une formule G est une conséquence sémantique ou logique des formules F1, F2, … Fn ssi pour chaque interprétation I, si F1 F2 … Fn est vraie dans I alors G est aussi vraie dans I. On le note par : F1, F2, … Fn |= G Exemple : F1: ( x) (p(x) q(x)) F2 : p(a) Mq {F1, F2} |= q(a) Soit une interprétation I qui satisfait F1: ( x) (p(x) q(x)) et F2 : p(a), Mq q(a) est vraie dans I Supposons q(a) nest pas T dans I p(a) q(a) est F dans I p(a) q(a) est F dans I ( x) (p(x) q(x)) est F dans I ce qui est impossible donc q(a) doit être vraie dans chaque interprétation qui satisfait ( x) (p(x) q(x)) p(a) Définition 8. Une formule G est une conséquence sémantique ou logique des formules F1, F2, … Fn ssi pour chaque interprétation I, si F1 F2 … Fn est vraie dans I alors G est aussi vraie dans I. On le note par : F1, F2, … Fn |= G Exemple : F1: ( x) (p(x) q(x)) F2 : p(a) Mq {F1, F2} |= q(a) Soit une interprétation I qui satisfait F1: ( x) (p(x) q(x)) et F2 : p(a), Mq q(a) est vraie dans I Supposons q(a) nest pas T dans I p(a) q(a) est F dans I p(a) q(a) est F dans I ( x) (p(x) q(x)) est F dans I ce qui est impossible donc q(a) doit être vraie dans chaque interprétation qui satisfait ( x) (p(x) q(x)) p(a) 5. Conséquence logique

20 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed20 Définition 8. Une formule G est une conséquence sémantique ou logique des formules F1, F2, … Fn ssi pour chaque interprétation I, si F1 F2 … Fn est vraie dans I alors G est aussi vraie dans I. On le note par : F1, F2, … Fn |= G Exemple : F1: ( x) (p(x) q(x)) F2 : p(a) Mq {F1, F2} |= q(a) Soit une interprétation I qui satisfait F1: ( x) (p(x) q(x)) et F2 : p(a), Mq q(a) est vraie dans I Supposons q(a) nest pas T dans I p(a) q(a) est F dans I ( x) (p(x) q(x)) est F dans I ce qui est impossible donc q(a) doit être vraie dans chaque interprétation qui satisfait ( x) (p(x) q(x)) p(a) Définition 8. Une formule G est une conséquence sémantique ou logique des formules F1, F2, … Fn ssi pour chaque interprétation I, si F1 F2 … Fn est vraie dans I alors G est aussi vraie dans I. On le note par : F1, F2, … Fn |= G Exemple : F1: ( x) (p(x) q(x)) F2 : p(a) Mq {F1, F2} |= q(a) Soit une interprétation I qui satisfait F1: ( x) (p(x) q(x)) et F2 : p(a), Mq q(a) est vraie dans I Supposons q(a) nest pas T dans I p(a) q(a) est F dans I ( x) (p(x) q(x)) est F dans I ce qui est impossible donc q(a) doit être vraie dans chaque interprétation qui satisfait ( x) (p(x) q(x)) p(a) 5. Conséquence logique

21 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed21 Définition 9. Une formule est dite sous forme normale prenexe (FNP) si elle est de la forme (Q1x1)(Q2x2) …(Qnxn) (M) où Où Qi est soit soit et M une formule sans quantificateur. (Q1x1)…(Qnxn) est appelé préfixe M est appelée Mantice Exemple: ( x) ( y) (p(x, y) q(x)) Dans le calcul des prédicats, il ya en général un nombre infini de domaines et un nombre infini dinterprétations. On ne peut donc vérifier la validité ou linconsistance dune formule en lévaluant dans toute ses interprétations possibles. Nous verrons une procédure de preuve automatique. Définition 9. Une formule est dite sous forme normale prenexe (FNP) si elle est de la forme (Q1x1)(Q2x2) …(Qnxn) (M) où Où Qi est soit soit et M une formule sans quantificateur. (Q1x1)…(Qnxn) est appelé préfixe M est appelée Mantice Exemple: ( x) ( y) (p(x, y) q(x)) Dans le calcul des prédicats, il ya en général un nombre infini de domaines et un nombre infini dinterprétations. On ne peut donc vérifier la validité ou linconsistance dune formule en lévaluant dans toute ses interprétations possibles. Nous verrons une procédure de preuve automatique. 5. Forme Normale Prénexe Pour simplifier la procédure de preuve de validité

22 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed22 Formules équivalentes * Soit F une formule contenant une variable libre x, quon note par F[x]. Soit G une formule ne contenant pas la variable x et Q un quantificateur. 1.a. (Qx) F[x] G = (Qx) (F[x] G) 1.b. (Qx) F[x] G = (Qx) (F[x] G) 1.c. (( x)F[x]) = ( x)( F[x]) 1.d. (( x)F[x]) = ( x)( F[x]) Considérons 2 formules F[x] et H[x] contenant la variable x ( x) F[x] ( x) H[x] = ( x)(F[x] H[x]) Formules équivalentes * Soit F une formule contenant une variable libre x, quon note par F[x]. Soit G une formule ne contenant pas la variable x et Q un quantificateur. 1.a. (Qx) F[x] G = (Qx) (F[x] G) 1.b. (Qx) F[x] G = (Qx) (F[x] G) 1.c. (( x)F[x]) = ( x)( F[x]) 1.d. (( x)F[x]) = ( x)( F[x]) Considérons 2 formules F[x] et H[x] contenant la variable x ( x) F[x] ( x) H[x] = ( x)(F[x] H[x]) 5. Forme Normale Prénexe Pour simplifier la procédure de preuve de validité

23 Théorie des langagesLeila Jemni Ben Ayed23 Formules équivalentes Rq* ( x) F[x] ( x) H[x]) ( x)(F[x] H[x]) ( x) F[x] ( x) H[x]) ( x) (F[x] H[x]) On peut par contre renommer les variable s pour pouvoir les transformer: ( x) F[x] ( x) H[x]) = ( x) F[x] ( z) H[z]) = ( x) ( z)(F[x] H[z]) 1.a. ( x) F[x] ( x) H[x]) = ( x) F[x] ( z) H[z]) = ( x) ( z) (F[x] H[z]) 1.b. Formules équivalentes Rq* ( x) F[x] ( x) H[x]) ( x)(F[x] H[x]) ( x) F[x] ( x) H[x]) ( x) (F[x] H[x]) On peut par contre renommer les variable s pour pouvoir les transformer: ( x) F[x] ( x) H[x]) = ( x) F[x] ( z) H[z]) = ( x) ( z)(F[x] H[z]) 1.a. ( x) F[x] ( x) H[x]) = ( x) F[x] ( z) H[z]) = ( x) ( z) (F[x] H[z]) 1.b. 5. Forme Normale Prénexe Pour simplifier la procédure de preuve de validité


Télécharger ppt "Logiques Mathématiques Leila Jemni Ben Ayed Faculté des Sciences de Tunis Département des Sciences de lInformatique Ce cours est une introduction aux logiques."

Présentations similaires


Annonces Google