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SEANCE 2 Représentation numérique de linformation Lycée Louis Vincent Lundi 4 novembrer 20131.

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1 SEANCE 2 Représentation numérique de linformation Lycée Louis Vincent Lundi 4 novembrer 20131

2 Contenu de la séance 1: 2 Lundi 4 novembre 2013 Représentation binaire: Les entiers signés. Le complément à 2. Codage des nombres réels.

3 Les entiers signés Problème : on a vu dans la séance 1 comment étaient codés les entiers « positifs » en base 2, mais comment coder des entiers négatifs ? Lundi 4 novembre 2013 3 Une solution envisageable est que le premier bit soit considère comme un bit de signe et le reste des bits comme la valeur absolue du nombre, codée de la manière vue dans le cours précèdent. Un nombre commençant par 0 serait positif et un nombre commençant par 1 négatif. Exemples : Quels nombres codés sur 8 bits par : 11001111 = et 01001111 = 79 Il y a deux zéros, lun positif et lautre négatif. Il faut donc gérer légalité. On perd donc une valeur !

4 Les entiers signés Combien dentiers relatifs peut-on coder sur 2 bits ? Sur 3 bits ? Sur 4 bits ? Lundi 4 novembre 2013 4 3 valeurs Base 200011011 Base 10010- 1 7 valeurs 000001010011100101110111 01230- 1- 2- 3 On peut donc coder les entiers relatifs de – 3 à 3 15 valeurs On peut donc coder les entiers relatifs de – 4 à 4. Sur n bits, on code 2 n – 1 valeurs. Cette solution nest pas retenue pour le codage des entiers relatifs !

5 Le complément à 2 Principe : on souhaite coder un nombre relatif x en utilisant n bits. Deux cas de figure se présentent : Soit x est positif, dans ce cas on utilise la représentation binaire usuelle vue à la première séance sur le codage. Soit x est négatif, dans ce cas on utiliser pour représenter x, le codage binaire su nombre entier naturel (x + 2 n ). Exemples : codage sur un octet (8 bits) Le nombre 115 (positif), sera codé : 01110011 Le nombre – 115 étant négatif, sera remplacé par : - 115 + 2 8 = – 115 + 256 = 141 soit : 10001101 Dans la pratique, pour coder – 115, on procède de la manière suivante : Coder 115 : 01110011 Complément à 1 (inversion de tous les bits) : 10001100 Ajouter 1 : 10001101 Lundi 4 novembre 2013 5

6 Retour à la base 10 Méthode : de la base 2 à la base 10. Pour convertir un nombre binaire en complément à 2 sur n bits, dans la base dix, on procède de la façon suivante : On sépare le premier bit s des n – 1 bits suivants. Ces n – 1 bits représentent, en binaire usuel, une valeur positive v. La valeur de ce nombre est alors : v si s = 0. v2 n1 si s = 1 Exemples : quels sont les entiers relatifs codés sur 4 bits ? Lundi 4 novembre 2013 6 000000001100102001130100401015 501106011171000-81001-71010-6 1000 : 000 2 = 0 10 donc v = 0 – 2 4 – 1 = 0 – 8 = – 8

7 Codage des nombres réels Lundi 4 novembre 2013 7

8 Codage des nombres réels Un nombre est représenté sous la forme s×m×2 n où : s est le signe du nombre (+ ou -) m sa mantisse (un nombre à virgule, compris entre 1 inclus et 2 exclu). n son exposant (un entier relatif). L'exposant peut être positif ou négatif. Cependant, la représentation habituelle des nombres signés (complément à 2) rendrait la comparaison entre les nombres flottants un peu plus difficile. Pour régler ce problème, l'exposant est décalé, afin de le stocker sous forme d'un nombre non signé. Ce décalage est de 2 e-1 - 1 (e représente le nombre de bits de l'exposant) ; il s'agit donc d'une valeur constante une fois que le nombre de bits e est fixé. Lundi 4 novembre 2013 8

9 Codage des nombres réels Exemple : Quand on utilise 64 bits pour représenter un nombre à virgule, on utilise : 1 bit pour le signe, le signe + est représenté par 0 et le signe - par 1. 11 bits pour lexposant (lexposant n est un entier relatif compris entre -1022 et 1 023, on le représente comme lentier naturel n + 1 023, qui est compris entre 1 et 2 046). 52 bits pour la mantisse (La mantisse m est un nombre binaire à virgule compris entre 1 inclus et 2 exclu, comprenant 52 chiffres après la virgule. Comme cette mantisse est comprise entre 1 et 2, elle a toujours un seul chiffre avant la virgule et ce chiffre est toujours un 1 ; il est donc inutile de le représenter et on utilise les 52 bits pour représenter les 52 chiffres après la virgule). Les chiffres de la mantisse sont à multiplier par les puissances successives, négatives de 2 ( 2 1, 2 2, …, 2 52 ) Remarque : Les deux entiers naturels 0 et 2 047 pour l'exposant sont réservés pour des situations exceptionnelles (+, -, etc.). Lundi 4 novembre 2013 9

10 Codage des nombres réels Exemple 1 : quel nombre est codé sur 32 bits sachant que lon réserve alors : 1 bit pour le signe. 8 bits pour l'exposant (donc un décalage de 127) 23 bits pour la mantisse Lundi 7 octobre 2013 10 11011010010000111100000001011111 sn = exposantm = mantisse X = (-1)×2 n – 127 ×(1+2 1 +2 6 +2 7 +2 8 +2 9 +2 17 +…+2 22 +2 23 ) Or n = 2 7 + 2 5 + 2 4 + 2 2 = 180 X = (-1) × 2 180 – 127 × 1,529 308 199 9 X - 1,377 778 368 × 10 16.


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