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CHAPITRE 10 Fonctions affines – Fonctions linéaires.

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1 CHAPITRE 10 Fonctions affines – Fonctions linéaires

2 Objectifs: - Savoir déterminer la forme algébrique dune fonction linéaire ou dune fonction affine. - Déterminer limage et lantécédent dun nombre par une fonction donnée. - Représenter graphiquement des fonctions et exploiter les graphiques.

3 I.Exemples de fonctions affine et linéaire Voici les tarifs dentrée pour un stade de football : Tarif 1 : 8 lentrée Tarif 2 : 4 lentrée avec la carte demi-tarif qui coûte 40 1)Calculer pour chaque tarif, la dépense pour 6 entrées, 11 entrées puis 15 entrées. Dans chaque cas, quel est le tarif le plus intéressant ? Nombre dentrées x Dépense avec Tarif 1 Dépense avec Tarif 2 x = x = 11 x =

4 2) Soit x le nombre dentrées. Exprimer en fonction de x la dépense pour la saison pour chaque tarif. Tarif 1 : 8 x A chaque nombre x, on associe le nombre 8 x. On a définit une FONCTION LINEAIRE quon appelle f et on note: f: x 8x8x ouf( x )= 8 x Remarques : f( x ) se lit « f de x » Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.

5 Tarif 2 : 4 x + 40 A chaque nombre x, on associe le nombre 4 x On a définit une FONCTION AFFINE quon appelle g et on note: g: x 4 x + 40oug( x )= 4 x + 40 Définitions Soient a et b deux nombres fixés x a x + b est appelée fonction affine x a x est appelée fonction linéaire Remarque: Une fonction linéaire est une fonction affine où b = 0.

6 3) a) Avec le tarif 2, calculer le prix dépensé pour 18 entrées. Avec x = 18on a g(18) = 4x = 112 Avec le tarif 2, 18 entrées coûtent 112. On dit que :L IMAGE de 18 par la fonction g est 112 b) Calculer de même : f(2), g(4), g(7) et f(10). f(2) = 8x2 = 16g(4) = 4x = 56 g(7) = 4x = 68f(10) = 8x10 = 80

7 c) Trouver x tel que g( x ) = 84. Interpréter le résultat. g( x ) = 84 4 x + 40 = 84 4 x = 44 x = 11 Avec le tarif 2, une somme de 84 permet 11 entrées. On dit que : L ANTECEDENT de 84 par la fonction g est 11 Définition Soit f une fonction affine ou linéaire, on a: f: antécédent image ou encore f(antécédent) = image car g( x )= 4 x + 40

8 4) a) Pour chaque tarif, représenter sur un même graphique la dépense en fonction du nombre dentrées. Pour construire les représentations graphiques, on utilise le tableau de la question 1). x entrées x = 6 x = 11 x = 15 Tarif Tarif Remarque : Si on ne dispose pas dun tel tableau, il faut en construire un.

9 Nombre dentrées Prix en x entrées x = 6 x = 11 x = 15 Tarif Tarif Représentation de la fonction f Représentation de la fonction g

10 Remarque : Les représentations graphiques sont des droites. Propriétés -Toute fonction affine est représentée par une droite déquation y = a x + b -Toute fonction linéaire est représentée par une droite passant par lorigine déquation y = a x Ici, f est représentée par la droite déquation y = 8 x et g par la droite déquation y = 4 x b) R é pondre en utilisant le graphique : Dans quels cas vaut-il mieux choisir un tarif plutôt qu un autre ? Entre 0 et 10 entrées : le tarif 1 est plus avantageux. Pour plus de 10 entrées : cest le tarif 2.

11 x y OI J II. Lecture graphique dimages et dantécédents Voici la représentation graphique de la fonction f tel que f( x ) = 3 x – 5 dans le repère (O,I,J). y = 3 x - 5 Limage de 4 par f est on a f(4) = 7 Limage de -1 par f est - 8 on a f(-1) = -8 Lantécédent de 4 par f est on a f(3) = 4

12 III. Détermination de la forme algébrique dune fonction 1) Fonction linéaire Déterminer la forme algébrique de la fonction linéaire f vérifiant : f(5) = 6 Déterminer la forme algébrique de f revient à trouver la valeur de a dans f( x ) = a x. or f(5) = 6 donc a x 5 = 6 car f(5) = a x 5 soit a = 6/5 = 1,2 Donc la forme algébrique de f est f( x ) = 1,2 x

13 2) Fonction affine Déterminer la forme algébrique de la fonction affine g vérifiant : f(2) = 4 et f(5) = 1 Déterminer la forme algébrique de f revient à trouver la valeur de a et la valeur de b dans f( x ) = a x + b Pour déterminer la valeur de a nous disposons de la formule suivante: Donc la forme algébrique partielle de f est f( x ) = -1 x + b

14 Il reste à trouver la valeur de b dans f( x ) = -1 x + b or f(2) = 4 donc -1 x 2 + b = 4 car f(2) = -1 x 2 + b soit -2 + b = 4 soit b = = 6 Donc la forme algébrique de f est f( x ) = -1 x + 6 ou encore f( x ) = - x + 6


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