La géométrie élémentaire peut-elle encore nous surprendre ? Auderghem 2013.

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1 La géométrie élémentaire peut-elle encore nous surprendre ? Auderghem 2013

2 " Comprendre quelque chose de nouveau est un plaisir." " Comprendre plus que démontrer. Quand on peut mettre divers éléments en relation et voir que cela marche." " Je distingue comprendre et démontrer."

3 " Comprendre, cest voir à quoi le problème quon étudie peut se ramener, à des choses déjà comprises et voir comment cela peut donner un éclairage à de nouvelles questions." Pierre Deligne (prix Abel 2013)

4 Extrait d'un article de France Caron, Université de Montréal Plusieurs enjeux sont évoqués : Fournir aux élèves les outils intellectuels utiles au citoyen pour appréhender, de façon critique, les informations et les propositions qui lui sont soumises. Eveiller au caractère scientique des mathématiques et à leur large applicabilité. Initier très tôt les élèves à la façon spécique dont les mathématiques envisagent le rapport au vrai et au faux, soit en sappuyant sur leur rapport au « réel » en ayant recours à la puissance du raisonnement.

5 Commencer, lorsque cest possible, à situer les connaissances mathématiques dans une perspective historique pour les faire percevoir comme construction humaine. Initier à une pratique de lactivité mathématique, caractérisée à la fois par : le goût du questionnement, de la recherche, de linvestigation ; la nécessité de structurer, dorganiser, dexpliciter, de prouver. Ce dernier enjeu est, à mes yeux, essentiel.

6 En vue de lillustrer, nous développerons un schéma dapproche de faits géométriques en trois étapes : Expérimenter - Explorer – Découvrir Conjecturer – Vérifier Argumenter - Justifier – Démontrer

7 Nous tenterons de répondre aux questions suivantes : -Lutilisation dun logiciel de géométrie dynamique peut-elle favoriser limplantation dun schéma de ce type chez (certains de) nos élèves ? Et chez ladulte réputé « matheux » ?

8 - La géométrie du début du secondaire offre-t-elle des occasions de développer un tel schéma ?

9 Quelques remarques préliminaires : Les propriétés géométriques qui seront abordées ne sont pas dune importance capitale, elles ne vont pas révolutionner la géométrie élémentaire !

10 Les situations choisies, en espérant quelles soient peu ou pas connues, devraient illustrer la démarche proposée.

11 Ces situations mettront en œuvre principalement des quadrilatères quelconques et concerneront surtout la notion daire (grandeur principale attachée aux surfaces planes).

12 Les comparaisons daires seront favorisées (sans recours aux formules de calcul d'aire).

13 L'utilisation du logiciel favorisera une présentation dynamique des énoncés.

14 Les propriétés permettant les justifications sont des outils majeurs de la géométrie élémentaire : 1.détermination dun parallélogramme, 2.Thalès, 3.polygones de même aire, …

15 Première partie : Le rôle des médianes Extension Deuxième partie : Le rôle des diagonales Extension Bonus

16 Première partie : Sit 1 Les médianes Un aspect moins connu (?) Richesses de l'approche dynamique Test Labo Extrait de l'article de Daniel Reisz Plot (APMEP) n°39 2012

17 Sit 2 Les "trianes" Triane : néologisme ou abus de langage autorisé aux personnes âgées. Comme une médiane … mais pour les tiers. Personne âgée : prof à la retraite affranchi de toute contrainte. Réf. : Finding conjectures using geometer's sketchpad (GSP) Mathematics teaching 221 (march2011) Labo

18 Sit 3 Angel theorem Mathematics in School Nov 2012 Dr Chris Pritchard

19 Labo

20 Première partie : Le rôle des médianes Extension Deuxième partie : Le rôle des diagonales Extension Bonus

21 Sit 4 Partages

22 Sit 5 Les quarts

23 Sit 6 Losange 21 Traduction par Y. Noël d'un article de C. Pritchard Pierre- Léon Anne 1806-1850

24 http://www.pandd.demon.nl/vierh/newtonlijn.htm Newton-lijn dans un quadrilatère complet

25

26 Bonus Trianes dans un triangle

27 Sit 7 Les trianes dans un triangle Chris Pritchard

28 Hugo Steinhaus

29 Amusements : Finding conjectures using geometer's sketchpad by S. Fallstom et M. Walter Mathematics teaching 221 March 2011 Spinning Pegs and Varignon's Friends by Chris Pritchard Mathematics in school March 2012 Fibonacci Pegs and an Angel Theorem by Chris Pritchard Mathematics in school Nov 2012