de deux équations linéaires

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1 de deux équations linéaires
Systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues Mr Lamloum Mohamed

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Définition : Un système nom du système (facultatif ) 3x + 2y = 31 7x – 4y = 3 1ère équation ( S ) 2ème équation 1ère inconnue 2ème inconnue Cette accolade signifie « et ». Elle indique que les équations doivent être vérifiées simultanément Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, cela revient à trouver deux valeurs qui vérifient les deux équations simultanément. Mr Lamloum Mohamed

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3x + 2y = 31 7x – 4y = 3 ( S ) Cherchons la solution de ce système. 1er cas, si x = 7 et y = 5 alors dans la 1ère équation : 3x + 2y = 3 x x 5 = 31 dans la 2ème équation : 7x – 4y = 7 x 7 – 4 x 5 = 29 Conclusion : Si x = 7 et y = 5 alors les deux équations ne sont pas vérifiées simultanément. On dit que ( 7 ; 5 ) n’est pas une solution de ce système. Mr Lamloum Mohamed

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3x + 2y = 31 7x – 4y = 3 ( S ) 2ème cas, si x = 5 et y = 8 alors dans la 1ère équation : 3x + 2y = 3 x x 8 = 31 dans la 2ème équation : 7x – 4y = 7 x 5 – 4 x 8 = 3 Conclusion : Si x = 5 et y = 8 alors les deux équations sont vérifiées simultanément. On dit que ( 5 ; 8 ) est une solution de ce système. On note S = { ( 5 ; 8 ) } Mr Lamloum Mohamed

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Deux méthodes pour résoudre un système : La méthode par substitution : Substituer c’est remplacer. Le but est d’isoler une inconnue dans une des deux équations et de la remplacer dans l’autre pour obtenir une équation avec une seule inconnue. Mr Lamloum Mohamed

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Exemple : 8x + y = 86 3x – 7y = 47 ( S ) On isole y y = 86 – 8x 3x – 7y = 47 On remplace y par 86 – 8x y = 86 – 8x 3x – 7 ( 86 – 8x ) ? = 47 On résout l’équation. y = 86 – 8x 3x – x = 47 Mr Lamloum Mohamed

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y = 86 – 8x 59x = y = 86 – 8x 59x = 649 y = 86 – 8x x = y = 86 – 8x 3x – x = 47 649 59 Mr Lamloum Mohamed

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y = 86 – 8x x = 11 Maintenant je remplace x par 11 dans la 1ère équation. y = 86 – 8 x 11 x = 11 y = 86 – 8x x = 649 59 y = – 2 x = 11 Mr Lamloum Mohamed

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Ainsi x = 11 et y = – 2. La solution de ce système est le couple ( 11 ; – 2 ) S = { ( 11 ; – 2 ) } 8x + y = 86 3x – 7y = 47 Vérifions : ( S ) 8 x 11+ ( – 2 ) = 86 3 x 11 – 7 x ( – 2 ) = 47 Mr Lamloum Mohamed

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La méthode par combinaisons linéaires : Résoudre un système par combinaisons linéaires, c’est additionner ou soustraire des multiples des deux équations afin de faire disparaître une des deux inconnues. Mr Lamloum Mohamed

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Exemple : 2x + 9y = 25 3x – 7y = – 24 ( 1 ) ( D ) ( 2 ) 6x y = 75 ( 1 ) x 3 – 6x + 14y = 48 ( 2 ) x ( – 2 ) + + 41y = 123 123 Ainsi y = 41 y = 3 Mr Lamloum Mohamed

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Maintenant je remplace y par dans l’équation ( 1 ) : 2x + 9y = 25 ( 1 ) 2x x 3 = 25 2x = 25 2x = 25 – 27 2x = – 2 – 2 x = y = 3 x = – 1 2 Mr Lamloum Mohamed

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Ainsi x = – 1 et y = 3 La solution de ce système est le couple ( – 1 ; 3 ) S = { ( − 1 ; 3 ) } Mr Lamloum Mohamed

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Un système particulier : y = 15 – 2x y = x + 4 ( 1 ) ( E ) ( 2 ) Ici on résout : 15 – 2x = x + 4 11 On obtient x = 3 11 Puis on remplace x par dans une équation. 3 23 On obtient y = 3 Mr Lamloum Mohamed

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Résoudre un problème avec un système : Quand un problème comporte plusieurs inconnues il est parfois possible de le résoudre avec un système. Pour le traiter il faut respecter 4 étapes ( comme pour une équation ) Mr Lamloum Mohamed

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Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d’entrée est de 16 DT pour les adultes. Les enfants paient demi-tarif. Sachant que la recette est de 6960 DT, on demande de trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. 1ère étape : On choisit les inconnues J’appelle x le nombre d’adultes et y le nombre d’enfants qui ont assisté au spectacle. Mr Lamloum Mohamed

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2ème étape : On mettre le problème en deux équations 550 personnes ont assisté à un spectacle x + y =550 Les enfants paient demi-tarif : donc 8 DT par enfant, L’ensemble des y enfants a payé 8y ? 16x + 8y = 6960 L’ensemble des x adultes a payé 16x ? Mr Lamloum Mohamed

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Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d’entrée est de 16 DT pour les adultes. Les enfants paient demi-tarif. Sachant que la recette est de 6960 DT, on demande de trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. 2ème étape : je trouve les deux équations qui correspondent au problème Donc x + y =550 ( S ) 16x + 8y = 6960 Mr Lamloum Mohamed

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3ème étape : On résoudre le système x + y = 550 ( 1 ) 16x + 8y = 6960 ( 2 ) −16x − 16y = − 8800 ( 1 ) x ( – 16 ) 16x + 8y = 6960 ( 2 ) – 1840 donc y = = 230 0 – 8y = – 1840 – 8 Mr Lamloum Mohamed

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Maintenant je remplace y par dans l’équation ( 1 ) : x + y = 550 x = 550 x = 550 – 230 x = 320 Mr Lamloum Mohamed

21 On vérifie le résultat obtenu
4ème étape : Conclusion 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. On vérifie le résultat obtenu Mr Lamloum Mohamed

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M: Lamloum Mohamed fin Mr Lamloum Mohamed