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Café LCUL ORMEL & QUATIONS Notre but est de développer de nouvelles méthodes de « résolution » par le calcul formel d'équations fonctionnelles, c'est-à-dire.

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1 Café LCUL ORMEL & QUATIONS Notre but est de développer de nouvelles méthodes de « résolution » par le calcul formel d'équations fonctionnelles, c'est-à-dire d'équations où les inconnues représentent des fonctions plutôt que des valeurs numériques, et de faciliter le transfert de ces méthodes dans les sciences de l'ingénieur en produisant les programmes et outils nécessaires. OMPUTER LGEBRA & UNCTIONAL QUATIONS

2 Fonction de Lambert (1758) : Existe-t-il une formule explicite W(z)= (.. Exp,Sin,Log…) ? Non ! W(z) nest pas une fonction liouvillienne de z. [BroDav] : Combinatoire: Equations à retard: Equations et Formules

3 Classes déquations Récurrences linéaires Contrôle Différentielles linéaires EDO non-linéaires EDP linéaires

4 « Décomposer » Recouvrir lensemble des solutions par des sous-ensembles ayant de bonnes propriétés Produire des logiciels efficaces et distribuables pour décomposer des systèmes fonctionnels

5 Repousser les limites du traitement par le calcul formel de telles équations algorithmes Mathématiques Implémentation Serveurs Ambition scientifique Nouvelles classes déquations ou de solutions Gain defficacité / passage à léchelle Produire des logiciels robustes/efficaces et des services web de résolution.

6 Contributions

7 La théorie de Galois a permit le développement dalgorithmes de recherches de solutions Liouvilliennes (Kovacic 1986),... Pas de solutions Liouvilliennes J.Carette (WMI, 1999): et les fonctions spéciales ? Définies par des équations de la forme: Solutions en termes de fonctions spéciales

8 Chercher les arguments et indices dune fonction spéciale Implémentation en Maple + serveur Web de resolutionserveur Web de resolution solution de [BroLaf 2002]: calcul de toutes les solutions Solutions en termes de fonctions spéciales (suite) revient à résoudre :

9 : factorisation : décomposition Polynômes : Factorisation vs. Décomposition f(x)=g(x)h(x) Sol(f)=Sol(g) U Sol(h)

10 Factorisation différentielle Décomposition Singer (1996) EDO Linéaires Factorisation Beke (1884) Schwarz (1989)...

11 Factorisation différences Factorisation [BroPet 1996] Equations aux différences linéaires ordinaires Décomposition (Bomboy 1999) Solutions Liouvilliennes (2001)

12 Factorisation non linéaire Equations différentielles non-linéairesDécomposition Hubert (2000)

13 Forme résolvante La décomposition dun système différentiel non-linéaire produit soit: Dans le cas ordinaire: Où p=0 est une EDO scalaire [CluHub 2002]

14 Exemple: Lotka-Volterra

15 MathML 2.0 « Le format natif des mathématiques sur le Web » Pour tous documents hypertextes et livres électroniques contenant des formules mathématiques La version 2.0: février intègre/prend en compte les nouvelles technologies Web - mécanisme d'extension sémantique clair (OpenMath) Standard adopté par: - Mozilla (en standard) & Internet Explorer (plug-in) - Maple & Mathematica - USPTO, Airbus, Springer, initiative Open e-book …

16 Logiciels

17 Bibliothèque diffalg : Bibliothèques libaldorlibaldor Bibliothèque Serveurs Bernina & Shasta Logiciels distribués Décomposition des EDO:EDP non linéaires Partie intégrante de Maple Appelé « silencieusement » par dsolve: Evolution première version F. Boulier Bibliothèque standard du langage Aldor Bibliothèque libre de calcul formel (FreeBSD) Distribution standard du compilateur Aldor Collaboration Café/ETH/LIFL Extension Aldor de LibAlgebra Intègre les algorithmes de Café (linéaires) Disponible par ftp (Café) Serveurs interactifs sur Sumit Interfaces Maple et MuPAD Disponible Médicis et Café & libalgebra

18 Objectifs

19 Algorithmes de décomposition des systèmes dEDP linéaires

20 Factorisation EDP Décomposition Min Wu & CAFE (2005) EDP Linéaires Factorisation Li/Schwarz/Tsarev (2002) + Tsai & al ( ) (holonome)

21 Applications à lautomatique

22 Systèmes de contrôle 1) Systèmes de contrôle linéaires 1-D: Systèmes de Kalman Systèmes polynomiaux 2) Systèmes de contrôle linéaires 2-D: 3) Systèmes multidimensionnels linéaires (EDP sous-détermineés): Élasticité, électromagnétisme, hydrodynamique … Retard

23 Analyse algébrique pour lautomatique Un système de contrôle linéaire est défini par une matrice à coefficients dans un anneau A dopérateurs: EDP Utilisation de la théorie des modules pour l'analyse et la synthèse des systèmes (Kalman 1965,…): Propriétés structurelles du système Propriétés algébriques du module Boite à outils pour systèmes multidimensionels (Mgfun, Algo ) Algorithmes

24 Platitude des systèmes non-linéaires Un système de contrôle est plat si ses trajectoires peuvent être paramétrisées à l'aide de certaines fonctions des éléments du système (1995) [Fliess-Lévine-Martin-Rouchon … Pomet (MIAOU)] Exemple: Les trajectoires du système sont paramétrées par (1)

25 Platitude (suite) Un système plat est équivalent à un système linéaire contrôlable (linéarisation par feedback). Applications: suivi de trajectoire, stabilisation,… Problème: Pas de test systématique de platitude connu Etude algorithmique de la platitude et du problème de Monge (généralisation aux EDP), Collaboration CAFE-MIAOU

26 Décomposition des systèmes symétriques

27 Factorisation par les symétries de Lie Groupe de symétrie: Ensemble générateur des invariants différentiels Dérivations invariantes [G. Metivier, IRMAR Rennes] Section :

28 Règles de commutation Syzygies: Système réécrit en terme des invariants Factorisation par les symétries de Lie (suite)

29 Services Web mathématiques

30 rendre accessibles les logiciels développés dans le projet sous forme de services Web Développer des outils logiciels pour Service Web courtier Autre service Web Butineur (netscape..) Logiciel Café Application

31 Exemple prototype: outils pour létude de systèmes hamiltoniens Hamiltonien H(p,q,m) dépendant de paramètres. Génériquement: non intégrable But: « assistants de calcul » pour éliminer le plus possible de valeurs des paramètres pour lesquelles le système nest pas intégrable Outils algorithmiques: Linéarisation, théorie de Galois différentielle,… Principe du serveur: rendre ces outils efficaces et indolores

32 Services Web: architecture Encodage des objets mathématiques: OpenMath, MathML Protocoles déchange: soap, wsdl Définition dun service Web mathématique - Spécification des opérations - Caractéristiques du service Définition dun courtier Déjà fait En coursA faire[projet MONET]

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