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Optimisation sur les graphes et applications aux problèmes de routage et synthèse dans les réseaux Celso C. Ribeiro Universidade Federal Fluminense Brésil.

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1 Optimisation sur les graphes et applications aux problèmes de routage et synthèse dans les réseaux Celso C. Ribeiro Universidade Federal Fluminense Brésil

2 Colloque Franco-Brésilien 2008 2/67 Orsay, Mars 2008 Graphes Graphe G=(V,E) V: ensemble de sommets E: ensemble darêtes (arcs) Données: Capacités (min, max) Distances Coûts: Transport Construction Communication 1 4 2 3 5 6 10 9 7 8

3 Colloque Franco-Brésilien 2008 3/67 Orsay, Mars 2008 Graphes Applications aux réseaux de: Transport Urbain Routier Communications Energie Internet

4 Colloque Franco-Brésilien 2008 4/67 Orsay, Mars 2008 Graphes Applications aux réseaux de: Transport: Urbain Routier Communications Energie Internet

5 Colloque Franco-Brésilien 2008 5/67 Orsay, Mars 2008 Graphes Applications aux réseaux de: Transport: Urbain Routier Communications Energie Internet

6 Colloque Franco-Brésilien 2008 6/67 Orsay, Mars 2008 Graphes Applications aux réseaux de: Transport: Urbain Routier Communications Energie Internet

7 Colloque Franco-Brésilien 2008 7/67 Orsay, Mars 2008 Graphes Applications aux réseaux de: Transport: Urbain Routier Communications Energie Internet

8 Colloque Franco-Brésilien 2008 8/67 Orsay, Mars 2008 Graphes Applications aux réseaux de: Transport: Urbain Routier Communications Energie Internet

9 Colloque Franco-Brésilien 2008 9/67 Orsay, Mars 2008 Graphes Applications aux réseaux de: Transport: Urbain Routier Communications Energie Internet

10 Colloque Franco-Brésilien 2008 10/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes classiques Plus court chemin dun sommet à lautre Donnés: Sommets de départ et de destination Distance entre chaque pair de sommets 1 4 2 3 5 6 10 9 7 8

11 Colloque Franco-Brésilien 2008 11/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes classiques Plus court chemin dun sommet à lautre Donnés: Sommets de départ et de destination Distance entre chaque pair de sommets 1 4 2 3 5 6 10 9 7 8 4 5 2 3 6 3 4 4 4 5 4 3 3 4

12 Colloque Franco-Brésilien 2008 12/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes classiques Plus court chemin dun sommet à lautre Donnés: Sommets de départ et de destination Distance entre chaque pair de sommets 1 4 2 3 5 6 10 9 7 8 4 5 2 3 6 3 4 4 4 5 4 3 3 4

13 Colloque Franco-Brésilien 2008 13/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes classiques Arbre générateur de coût minimum Donnés: Coût de chaque arête 1 4 2 3 5 6 10 9 7 8 4 5 2 3 6 3 4 4 4 5 4 3 3 4

14 Colloque Franco-Brésilien 2008 14/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes classiques Arbre générateur de coût minimum Donnés: Coût de chaque arête 1 4 2 3 5 6 10 9 7 8 4 5 2 3 6 3 4 4 4 5 4 3 3 4

15 Colloque Franco-Brésilien 2008 15/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes classiques Flot maximum dun sommet à lautre Donnés: Sommets de départ et de destination Capacité maximum (minimum) de chaque arête 1 4 2 3 5 6 10 9 7 8 6 5 2 3 6 4 4 2 4 4 2 6 5 3 Capacité max

16 Colloque Franco-Brésilien 2008 16/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes classiques Flot maximum dun sommet à lautre Donnés: Sommets de départ et de destination Capacité maximum (minimum) de chaque arête 1 4 2 3 5 6 10 9 7 8 6 5 2 3 6 4 4 2 4 4 2 6 5 3 Capacité max Coupe min

17 Colloque Franco-Brésilien 2008 17/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes classiques Flot maximum dun sommet à lautre Donnés: Sommets de départ et de destination Capacité maximum (minimum) de chaque arête 1 4 2 3 5 6 10 9 7 8 6 5 2 3 6 4 4 2 4 4 2 6 5 3 Capacité max Coupe min

18 Colloque Franco-Brésilien 2008 18/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes classiques Flot maximum dun sommet à lautre Donnés: Sommets de départ et de destination Capacité maximum (minimum) de chaque arête 1 4 2 3 5 6 10 9 7 8 6,5 5,5 2,2 3,3 6,2 4,3 2,2 4 5,2 4,1 2,2 3,3 6,3 Capacité max Flot

19 Colloque Franco-Brésilien 2008 19/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes classiques Problème de transport Donnés: Capacité de production de chaque usine Demande de chaque entrepôt Coûts unitaires de transport Déterminer les quantités à envoyer de chaque usine vers chaque entrepôt 1 2 4 3 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 A B C dAdA dBdB dCdC c 1A c 4C

20 Colloque Franco-Brésilien 2008 20/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes classiques Algorithmes polynomiaux: les temps de calcul croissent polynomialement avec la taille du problème (rapides) O(n), O(n log n), O(n 2 ), O(n 3 ) Algorithmes rapides (efficients) problèmes faciles (bien résolus) Autres examples: Problème dafféctation Problème du flot à coût minimum Problème de couplage, etc.

21 Colloque Franco-Brésilien 2008 21/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes difficiles Problème du voyageur de commerce Données: Ensemble de n villes: graphe avec n sommets Distance entre chaque paire de sommets Déterminer un cycle de longueur minimale qui visite chaque sommet exactement une seule fois

22 Colloque Franco-Brésilien 2008 22/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes difficiles Problème du voyageur de commerce A BE DC 1 1 1 1 4 2 22 22

23 Colloque Franco-Brésilien 2008 23/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes difficiles Problème du voyageur de commerce A BE DC 1 1 1 1 4 2 22 22 Coût minimum: 7

24 Colloque Franco-Brésilien 2008 24/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes difficiles Problème du voyageur de commerce Il ny a pas dalgorithme de complexité polynomiale connu pour le problème du voyageur de commerce Les temps de calcul augmentent exponentiellement avec la taille du problème: O(n!), O(2 n ) Problèmes NP-complets et NP-difficiles

25 Colloque Franco-Brésilien 2008 25/67 Orsay, Mars 2008 Problèmes difficiles Autres examples: Problème du postier chinois Problème de Steiner Problème de coloriage dun graphe Problème daffectation quadratique, etc.

26 Colloque Franco-Brésilien 2008 26/67 Orsay, Mars 2008 Programmation linéaire: minimiser une fonction linéaire de variables réelles, sous un ensemble de contraintes linéaires Algorithmes: Simplexe Points intérieurs (polynomial) Méthodes éxactes de solution

27 Colloque Franco-Brésilien 2008 27/67 Orsay, Mars 2008 Programmation en nombres entiers: minimiser une fonction linéaire de variables qui prennent des valeurs entières, sous un ensemble de contraintes linéaires Algorithmes exacts: Méthodes de coupes Méthodes de recherche arborescente (branch & bound) Problème NP-difficile Méthodes éxactes de solution

28 Colloque Franco-Brésilien 2008 28/67 Orsay, Mars 2008 Méthodes éxactes de solution Programmation en nombres entiers: Problèmes en variables 0-1 Problèmes de décision Problèmes doptimisation combinatoire Dans le cas général, il sagit de problèmes très difficiles, pour lesquels il ny a pas dalgorithme connu de complexité polynomiale

29 Colloque Franco-Brésilien 2008 29/67 Orsay, Mars 2008 Méthodes éxactes de solution Les parallélisme permet daccélérer les calculs, mais pas de réduire leur complexité: contribution limitée Voyageur de commerce: Solution exacte pour 42 villes: Dantzig, Fulkerson & Johnson (1954) 24.978 villes suédoises: Applegate, Bixby, Chvátal, Cook & Helsgaun (2006)

30 Colloque Franco-Brésilien 2008 30/67 Orsay, Mars 2008 Méthodes éxactes de solution 24.978 villes suédoises (2006)

31 Colloque Franco-Brésilien 2008 31/67 Orsay, Mars 2008 Méthodes approchées Traveling tournament problem: déterminer les dates des matches dun tournoi disputé par n équipes, de façon à minimiser la distance voyagé par les joueurs Plus grand problème déjà résolu: 8 équipes Méthodes approchées (heuristiques): recherche doptima locaux très proches des solutions optimales (plus rapides que les méthodes éxactes)

32 Colloque Franco-Brésilien 2008 32/67 Orsay, Mars 2008 Méthodes approchées Heuristiques: Constructives: construction dune solution réalisable de départ Recherche locale: amélioration de la solution courante jusquà ce quun optimum local soit trouvé Metaheuristiques: recherche au delà du premier optimum local Compromis entre qualité et temps de calcul

33 Colloque Franco-Brésilien 2008 33/67 Orsay, Mars 2008 Méthodes approchées Metaheuristiques: fondées sur différentes stratégies (principes) pour échapper des optima locaux Récuit simulé Recherche tabou GRASP Algorithmes génétiques Collones de fourmis Méthodes inspirées par la nature Méthodes de trajéctoire Méthodes de populations

34 Colloque Franco-Brésilien 2008 34/67 Orsay, Mars 2008 Applications aux télécommunications Metaheuristiques Calcul parallèle (grilles) Problèmes de synthèse de réseaux problèmes de contrôle Problèmes statiques problèmes dynamiques (temps réel)

35 Colloque Franco-Brésilien 2008 35/67 Orsay, Mars 2008 Applications aux télécommunications Applications: Routage sous le protocole OSPF Routage des circuits virtuels Routage sur les réseaux optiques Synthèse des réseaux daccès Réseaux ad-hoc et réseaux de senseurs

36 Colloque Franco-Brésilien 2008 36/67 Orsay, Mars 2008 Routage sous le protocole OSPF Internet organisée en systèmes autonomes: routage à lintérieur de chaque système Protocole OSPF de routage interne sur lInternet: Optimal Shortest Path First SA 1 SA 2 SA 3 SA 4

37 Colloque Franco-Brésilien 2008 37/67 Orsay, Mars 2008 Routage sous le protocole OSPF Poids associés à chaque arête du réseau dans le système autonome Chaque routeur détérmine la plus courte route vers chaque système adjacent Chaque paquet réçu par un routeur est envoyé au suivant sur la plus courte route vers le système de destination

38 Colloque Franco-Brésilien 2008 38/67 Orsay, Mars 2008 Routage sous le protocole OSPF Répartition du trafic sur multiples liens si les métriques sont identiques Détérminer les poids optimaux de façon à minimiser la saturation des liens Algorithme génétique hybride avec optimisation des croisements

39 Colloque Franco-Brésilien 2008 39/67 Orsay, Mars 2008 generation MA GA cost AT&T Worldnet backbone network (90 routers, 274 links)

40 Colloque Franco-Brésilien 2008 40/67 Orsay, Mars 2008 Routage des circuits virtuels Réseaux virtuels privés: circuits virtuels permanents (PVCs) entre chaque source et chaque destination de chaque client (la demande de chaque trafic est connue) Routage: détérminer les routes et les capacités affectées à chaque trafic de chaque client

41 Colloque Franco-Brésilien 2008 41/67 Orsay, Mars 2008

42 Colloque Franco-Brésilien 2008 42/67 Orsay, Mars 2008

43 Colloque Franco-Brésilien 2008 43/67 Orsay, Mars 2008

44 Colloque Franco-Brésilien 2008 44/67 Orsay, Mars 2008

45 Colloque Franco-Brésilien 2008 45/67 Orsay, Mars 2008 capacité maximale = 3

46 Colloque Franco-Brésilien 2008 46/67 Orsay, Mars 2008 chemin très long capacité maximale = 3

47 Colloque Franco-Brésilien 2008 47/67 Orsay, Mars 2008 refaire le routage capacité maximale = 3 chemin très long

48 Colloque Franco-Brésilien 2008 48/67 Orsay, Mars 2008 capacité maximale = 3

49 Colloque Franco-Brésilien 2008 49/67 Orsay, Mars 2008 solution réalisable et optimale capacité maximale = 3

50 Colloque Franco-Brésilien 2008 50/67 Orsay, Mars 2008 Routage des circuits virtuels Algorithme GRASP pour routage optimal Outil pour lafféctation optimale des trafics sur routes uniques dans les réseaux capacités: minimisation des délais avec équilibrage des charges Utilisation chez AT&T

51 Colloque Franco-Brésilien 2008 51/67 Orsay, Mars 2008 Routage et afféctation des longueurs donde sur les réseaux optiques Ensemble de connexions: origine et destination connues pour chaque trafic Chaque connexion doit utiliser la même longueur donde de lorigine à la destination (pas de conversion) Plusieurs connexions peuvent utiliser la même longueur donde si elles nont pas darête commune

52 Colloque Franco-Brésilien 2008 52/67 Orsay, Mars 2008 Routage et afféctation des longueurs donde sur les réseaux optiques Les connexions avec arêtes communes doivent utiliser des longueurs donde différentes Déterminer les routes associées à chaque connexion, ainsi que la longueur donde utilisée pour chaque connexion

53 Colloque Franco-Brésilien 2008 53/67 Orsay, Mars 2008 Routage et afféctation des longueurs donde sur les réseaux optiques Différents critères doptimisation, modèles de trafic et règles dopération (conversions possibles ou non, etc.): Pairs origine-destination connues Pas de conversion Arêtes bidiréctionnelles Minimiser le nombre de longueurs donde utilisées

54 Colloque Franco-Brésilien 2008 54/67 Orsay, Mars 2008 Connexions c m d b e h a e b f

55 Colloque Franco-Brésilien 2008 55/67 Orsay, Mars 2008 Connexions: (a e) (b f) (c m) (d b) (e h) longueur donde 1longueur donde 3longueur donde 2

56 Colloque Franco-Brésilien 2008 56/67 Orsay, Mars 2008 Routage et afféctation des longueurs donde sur les réseaux optiques Recherche tabou et algorithme génétique Extensions aux modèles plus complets, en tenant compte e.g. des contraintes de fiabilité et de la multiplicité de chemins

57 Colloque Franco-Brésilien 2008 57/67 Orsay, Mars 2008 Synthèse des réseaux daccès Faire la synthèse dun réseau optique pour donner accès aux communications à un ensemble de clients Prendre en considération le compromis entre: coût de construction du réseau (installation des fibres optiques) rémunération potentielle (ou perte de rémunération si un client nest pas connecté) Choisir les clients qui seront connectés

58 Colloque Franco-Brésilien 2008 58/67 Orsay, Mars 2008 Synthèse des réseaux daccès Choisir les clients qui seront connectés Problème de Steiner avec récolte de primes Prime: rémuneration correspondante à un client Application développée pour AT&T

59 Colloque Franco-Brésilien 2008 59/67 Orsay, Mars 2008 Synthèse des réseaux daccès Graphe: rues et intersections Arêtes: segments de rues Coût dune arête: installation de fibres optiques sur chaque segment de rue Sommets: intersections des rues et locaux des clients potentiels Prime dun sommet: rémunération correspondante à chaque client (pas de prime pour les intersections de rues) Minimiser une mesure de la somme des coûts de construction (fibres installées) et des primes non-recoltées (clients non- connectés)

60 Colloque Franco-Brésilien 2008 60/67 Orsay, Mars 2008 rémunération (client potentiel) segment de rue rémunération nulle (intersection) racine

61 Colloque Franco-Brésilien 2008 61/67 Orsay, Mars 2008 Synthèse des réseaux daccès Premier cas: tous les clients doivent être connectés Problème de Steiner: Déterminer les connexions de façon à minimiser les coûts de construction

62 Colloque Franco-Brésilien 2008 62/67 Orsay, Mars 2008 rémunération (client potentiel) segment de rue rémunération nulle (intersection) racine Tous les clients sont connectés

63 Colloque Franco-Brésilien 2008 63/67 Orsay, Mars 2008 Synthèse des réseaux daccès Deuxième cas: choisir les clients qui seront connectés Problème de Steiner avec primes: Déterminer les connexions de façon à minimiser les coûts de construction et les primes non-recoltées

64 Colloque Franco-Brésilien 2008 64/67 Orsay, Mars 2008 rémuneration (client potentiel) segment de rue racine rémuneration nulle (intersection) Les clients ne sont pas tous connectés client connecté

65 Colloque Franco-Brésilien 2008 65/67 Orsay, Mars 2008 Synthèse des réseaux daccès Algorithme GRASP Taille typique des problèmes réels: 20.000 à 100.000 sommets

66 Colloque Franco-Brésilien 2008 66/67 Orsay, Mars 2008 Recherche en cours: applications Réseaux ad-hoc: communication directe entre les sommets sans structure fixe Réséaux de senseurs: noeuds (avec batteries de capacité limitée) capables de transmettre les informations obtenues sur un ou plusieurs phénomènes Puissance nécéssaire pour la réception au sommet j dun message envoyé du sommet i: p ij ~ d ij 2

67 Colloque Franco-Brésilien 2008 67/67 Orsay, Mars 2008 Recherche en cours: applications Messages doivent arriver à tous les noeuds Sessions: unique vs. multiples On line vs. statique Déterminer la puissance de chaque émetteur: Minimiser la consommation dénergie Minimiser la consommation dénergie en tenant compte des capacités des batteries Assurer une certaine topologie (k chemins disjoints entre chaque paire de noeuds)


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