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Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes But du cours Familiarisation avec les termes employés dans ce domaine Permettre de reconnaître.

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1 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes But du cours Familiarisation avec les termes employés dans ce domaine Permettre de reconnaître rapidement les propriétés de symétrie des cristaux Lire les tables internationales de cristallographie En tirer les conclusions qui vous intéressent. Pouvoir déduire la possibilité dexistence de propriétés physiques particulières pour un cristal Simplifier des calculs ….

2 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Pourquoi et quel intérêt Principe de Neumann Ce qui donne son importance à la cristallographie et à létude des symétries est contenu dans le principe de Neumann ou de Friedel qui stipule que les effets sont au moins aussi symétriques que la cause qui les a engendrés, ou si vous préférez que toutes les propriétés dun cristal doivent respecter les propriétés de symétrie du cristal.

3 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Pourquoi et quel intérêt Exemple Pour fixer les idées prenons lexemple des propriétés délasticité. Elles lient contraintes et déformations T = C S Dans une direction donnée Contrainte peut être de compression ou de cisaillement doù T ij De même 2 indices pour décrire S kl C ijkl est un tenseur de rang 4, en dimension 3 il a donc 3 4 = 81 composantes. Invariance par symétrie => 3 composantes non nulles indépendantes (cas cubique) Puissance de ces considérations qui ne sont que qualitatives.

4 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Présentation du problème Prenons une collection de points régulièrement espacés dans lespace. Si nous la dotons dune origine O, tout point de lespace est décrit par 3 vecteurs non colinéaires a b c. Ce réseau possède une périodicité de translation et est appelé réseau cristallin. Par définition il est centrosymétrique. Tout point M est décrit par ces trois composantes (u,v,w) avec Q = u a + v b + w c

5 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Présentation du problème OM=Q = u a + v b + w c Toute translation Q laisse le réseau invariant. Les points qui forment le réseau sont appelés nœuds. Le parallélépipède construit sur les trois vecteurs a b c sappelle maille cristalline Son volume est égal au produit mixte des trois vecteurs V = (a,b,c)= a.(b ^ c) (déterminant de la matrice formée sur les 3 vecteurs de base a,b,c ) Le choix des vecteurs de base nest pas unique. Par convention on choisit la représentation la plus simple et surtout celle qui met le mieux en évidence les propriétés de symétrie du réseau.

6 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Résultat à 2 dimensions Il ny a donc que 5 systèmes différents dans un espace à 2 dimensions. Paramètresmaillesystème a # b qq parallélogrammeoblique a # b = /2 rectanglerectangulaire a = b qq losangerectangulaire centré a = b = /2 carréeCarré a = b = 2 /3losange 120°hexagonal a, b sont les longueurs des côtés de la maille, langle entre a et b

7 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Espace à 3 dimensions à 3 dimensions il existe 7 systèmes de base en fonction des différentes possibilités a b c =(b, c), =(a, c), =(a, b)

8 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Espace à 3 dimensions Les 7 systèmes cristallins dans lespace à trois dimensions Paramètrespolyèdresystème cristallin a # b # c # # qq parallélépipède qqTriclinique a # b # c = = /2 qq prisme droit base parallélogramme Monoclinique a # b # c = = = /2 prisme droit base rectangle Orthorhombique a = b = c = = qq rhomboèdreRhomboédrique a = b # c = = = /2 prisme droit base carrée Quadratique a = b # c = = /2, = 2 /3 prisme droit base losange Hexagonal a = b = c = = = /2 cubeCubique a, b, c, sont les longueurs des côtés de la maille;,, les angles entre (b,c) (c,a) et (a,b)

9 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Espace à 3 dimensions Paramètrespolyèdresystème cristallin a = b = c = = qq rhomboèdreRhomboédrique Pour certaines valeurs des angles,,, ces mailles peuvent décrire des systèmes beaucoup plus symétriques que le laisse supposer leur nom. Le cas le plus frappant est le rhomboèdre dangle 2 /6. Il correspond à une structure de symétrie cubique pour laquelle il y a un nœud supplémentaire au centre de chaque face.

10 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Espace à 3 dimensions Réseaux de Bravais tricliniqueP monocliniqueP, A (ou C) orthorhombiqueP, C (ou A ou B), I, F rhomboédriqueP (R) quadratiqueP, I hexagonalP cubiqueP, I, F Chercher des valeurs angulaires particulières Ajouter des nœuds supplémentaires 7 systèmes + compatibilité avec les règles de symétrie et linvariance par translation du réseau Alternative P : primitif A (B, C) : il y a un nœud au centre des faces A (B,C) (faces contenant laxe de rotation) I : il y a un nœud au centre de la maille F : il y a un nœud au centre de toutes les faces R : Cellules hexagonales qui peuvent être ramenées à une cellule rhomboédrique de tiers de volume. Bravais a ainsi dénombré 14 réseaux différents

11 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Espace à 3 dimensions Ces mailles ne sont plus forcément simples (certaines contiennent plus dun nœud). Leur volume est donc un multiple (2 pour A, B, C, I, 4 pour F, 3 pour R) de la maille simple qui serait suffisante pour décrire tous les points du réseau. Ces mailles multiples sont choisies car elles mettent le mieux en évidence les propriétés de symétrie du réseau. Il est beaucoup plus facile de trouver les axes quaternaires du réseau rhomboédrique dangle 2 /6 dans la maille cubique que dans la maille élémentaire.

12 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Représentation 2D de lespace 3D La projection stéréographique Pour représenter lespace à trois dimensions, on utilise un système de projection sur le plan qui sappelle projection stéréographique. On choisit une sphère de centre O et de rayon R. On loriente par un axe Nord-Sud. Le plan équatorial sera le plan de projection. Tout point de lhémisphère nord sera représenté par lintersection avec le plan équatorial de la droite issue du pole sud et joignant le point à projeter et réciproquement pour les points de lhémisphère sud avec la droite issue du pole nord.

13 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Représentation 2D de lespace 3D La projection stéréographique Deux propriétés importantes : Tout cercle sur la sphère - hormis ceux passant par le pôle sud - sera transformé en un autre cercle dans le plan équatorial,cercle Les angles sont conservés pendant la transformation.angles Remarques : Léquateur reste lui-même durant cette transformation.équateur Un point de lhémisphère nord sera projeté à lintérieur de léquateur (par exemple dans notre figure, H2 devient H2 ), un point de lhémisphère sud à lextérieur (H1 devient H1 ).

14 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Description mathématique des systèmes cristallographiques Opérations de symétrie Cest une opération qui transforme un objet en un objet superposable (isométrie directe) ou superposable à son image dans un miroir (isométrie inverse) Les rotations autour dun axe, les translations, les combinaisons de ces opérations conservent le sens du trièdre des axes de références. Ce sont des isométries directes. Les symétries par rapport à un plan ou par rapport à un point sont des isométries inverses. Elles changent le sens du trièdre de référence. Les combinaisons dun nombre quelconque disométries directes avec un nombre impair disométries inverses sont des isométries inverses.

15 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Invariance par rotation du réseau => les angles ne peuvent être quelconques Les coordonnées de tout vecteur du plan sont entières. Elles restent entières par leffet des opérations de symétrie qui sont des isométries par exemple une rotation dun angle = 2 /n. La trace de cette matrice est Tr(R) = i R ii = R ii = cos( ) Cest un invariant. Elle doit être entière. => 2 cos( ) = k

16 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Conclusion Invariance par rotation du réseau => Seuls les angles = 2 /n avec n prenant les valeurs 1, 2, 3, 4 ou 6 sont acceptables mT = 2 cos(2 /n) T = 2 /n peut donc prendre comme seules valeurs acceptables (2 /1 (=0), 2 /2, 2 /3, 2 /4, 2 /6 ) Les axes de rotations associés à ces angles sont dits axes dordre n. On remarque quil nexiste pas de possibilité de paver régulièrement le plan avec des pentagones puisque la valeur n=5 est interdite.

17 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Opérations de symétrie Ai axe de rotation dordre i A-i axe de roto-inversion dordre i Isométries directesIsométries inverses A1 (ou identité E)1A-1(ou centre dinversion I) A22A-2m A33A-3 contient 3 et I-3 A44A-4 contient 2-4 A66A-6 idem 3/m-6 4 _4_4

18 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les associations dopérations de symétrie engendrent des groupes dits groupes de symétrie. Rappels de quelques propriétés des groupes. Un groupe est une collection G dobjets a i G = {a i } munie dune loi de composition interne. a i a j = a k, a k G cette loi est associative (a i a j ) a k = a i (a j a k ) Il existe un seul élément appelé lélément neutre tel que e a i = a i e = a i pour tout élément a i, il existe un élément symétrique a j de G noté a i -1 tel que a i a i -1 = a i -1 a i = e exemple : N doté de laddition nest pas un groupe, Z oui. Si lopération est commutative, cest à dire si nous avons pour tout élément du groupe a i a j = a j a i, le groupe est dit abélien. Z est un groupe infini abélien avec laddition. M n lensemble des matrices (n x n) non singulières doté de la multiplication est un groupe infini non abélien. On appelle ordre du groupe le nombre déléments quil contient. Il peut être fini ou infini. Nous nous limiterons aux groupes finis.

19 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Description mathématique des systèmes cristallographiques On dit que 2 éléments a j et a k appartiennent à la même classe déquivalence si il existe un élément a i tel que a i -1 a j a i = a k On appelle éléments générateurs, les éléments du groupe qui permettent de construire tous les autres éléments par la loi interne. Un groupe est dit cyclique si les éléments peuvent être obtenus à partir dun élément générateur a. Les éléments du groupe sont tels que a i = a i. lordre du groupe est n avec a n = e. Si n nest pas premier on ne peut pas prendre nimporte quoi comme élément générateur. Le groupe engendré par la rotation dangle = 2 /n a pour éléments { 2 (1/n), 2 (2/n),......, 2 (p/n),...., 2 ((n-1)/n), 2 (n/n) } si p est un diviseur de n et de p en choisissant lélément 2 (p/n) lordre du groupe engendré par cet élément sera divisé par p.

20 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Description mathématique des systèmes cristallographiques Table de multiplication pour un groupe dordre 4 Sur chaque ligne et chaque colonne de la table de multiplication apparaît tous les éléments du groupe une et une seule fois. (théorème du réarrangement) Si a b = c b alors a b b -1 = c b b -1 donc a = c impossible par définition EA1A2A3 EEA1A2A3 A1 A2A3E A2 A3EA1 A3 EA1A2 2 groupes G et G sont dits isomorphes sil existe une correspondance biunivoque entre eux, sils ont même table de multiplication. Toutes les réalisations dun groupe abstrait sont isomorphes. Tous les groupes abstraits dordre 2 sont isomorphes puisquil nexiste quune seule possibilité de construire la table de multiplication.

21 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Description mathématique des systèmes cristallographiques On appelle sous groupe H du groupe G tout sous-ensemble stable de G. H est un sous groupe invariant de G si pour tout élément a i de G et h j de H a i -1 h j a i H On peut partitionner un groupe G modulo un sous groupe H, en retirant tous les éléments de H contenu dans G, puis si il reste au moins un élément g i tous les éléments g i H..... On a alors décomposé G sous la forme G = a 1 H + a 2 H +... Lordre h dun sous groupe H est donc un diviseur de lordre g du groupe G. Le produit direct K de 2 groupes G x H est le groupe formé par tous les éléments k ij = g i h j =h j g i. Il contient k = gh éléments.

22 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les 32 groupes ponctuels Il sagit maintenant de dénombrer les combinaisons dopération de symétrie pouvant décrire la symétrie dorientation ponctuelle dun cristal. Les opérations permises sont les rotations (axes dordre n), les symétries par rapport à un point (inversion I) ou par rapport à un plan (miroirs) et toutes les combinaisons de ces opérations.

23 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les éléments de symétrie associés à des isométries directes sont appelés éléments propres, ceux associés à des isométries inverses sont appelés éléments impropres. Il y a autant déléments propres que déléments impropres. On appelle groupes propres tous les groupes qui ne contiennent que des éléments propres (des axes dordre n). Un groupe contient toujours des éléments propres si s k est impropre a i = s k s k est propre. Un groupe sécrit donc comme G = {a i } + {s i } Les éléments propres forment un sous groupe invariant de G. En conclusion, un groupe impropre contient toujours un sous groupe propre dordre moitié.

24 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Procédure de création des groupes ponctuels On va chercher les groupes propres par combinaison déléments propres On établira tous les groupes obtenus par produit direct avec le groupe S I contenant {E, I}. On cherchera ensuite tous les groupes propres admettant un sous groupe dordre moitié G p/2 On prendra G le complément de G par rapport à G p/2, le nouveau groupe sera G f = G p/2 + I*G. Il aura même ordre que le groupe de départ.

25 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les groupes propres Groupes ne contenant quun seul axe. Ils sont de la forme n ou C n et contiennent n éléments 1 C 1 1 élément(s) 2 C C C C

26 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les groupes propres Groupes obtenus par combinaison dun axe A2 et dun axe An orthogonal. Par raison de symétrie cela engendre n axes A2 dans le même plan. 222 D 2 4 éléments 32 D 3 6 éléments 422 D 4 8 éléments 622 D 6 12 éléments Ces groupes sont dits dièdraux, ils sont définis par 2 éléments générateurs a et b tels que a n = E b 2 = E et b a b -1 = a

27 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les groupes propres (suite) Groupes obtenus par combinaison daxes dordre 3. On peut montrer que les seules combinaisons acceptables sont obtenues avec des axes dordre 2 et 4, laxe dordre 3 faisant un angle avec les axes 2 et 4 tel que cos 2 ( )=1/3. Le principe est le suivant on se place sur laxe 3 et on écrit la matrice de rotation de laxe p dans ce référentiel. Le résultat du produit des rotations est une rotation qui doit être compatible avec le réseau, donc de la forme = 2 /n. sa trace doit donc être entière et comprise entre -1 et 3 ce qui conduit aux relations recherchées. Les groupes obtenus sont notés 23 - T et O car ils correspondent exactement à la symétrie du tétraèdre et de loctaèdre. Langle étant exactement égal à langle entre larête et la diagonale du cube T12 éléments O24 éléments

28 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les groupes impropres centrosymétriques En faisant le produit direct de SI avec les 11 premiers groupes, on obtient immédiatement A partir des groupes cycliques 1=> -1 C i 2 éléments 2=> 2/m C 2h 4 éléments 3=> -3 C 3i 6 éléments 4=> 4/m C 4h 8 éléments 6 => 6/m C 6h 12 éléments 2/m-34/m6/m12346

29 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les groupes impropres centrosymétriques En faisant le produit direct de SI avec les 11 premiers groupes, on obtient immédiatement A partir des groupes dièdraux 222=> mmm D 2h 8 éléments 32 => -3m D 3d 12 éléments 422=> 4/mmm D 4h 16 éléments 622=> 6/mmm D 6h 24 éléments mmm-3m4/mmm6/mmm

30 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les groupes impropres centrosymétriques En faisant le produit direct de SI avec les 11 premiers groupes, on obtient immédiatement A partir des groupes cubiques 23=> m-3 T h (anciennement m3)12 éléments 432=> m-3m O h (anciennement m3)48 éléments m-3m-3m

31 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les groupes impropres non centrosymétriques A partir des groupes propres contenant un sous groupe stable dordre moitié G p/2 et ajoutant le produit direct de SI avec le complément de G par rapport à G p/2, on obtient immédiatement A partir des groupes cycliques dordre pair 2 => 1 => m C s 2 éléments 4 => 2=> -4 S 4 4 éléments 6 => 3=> -6 (ou 3/m) C 3h 6 éléments Exemple A partir du groupe 4 _4_4 m-4-6

32 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les groupes impropres non centrosymétriques A partir des groupes propres contenant un sous groupe stable dordre moitié G p/2 et ajoutant le produit direct de SI avec le complément de G par rapport à G p/2, on obtient immédiatement A partir des groupes dièdraux 222=> 2=> mm2 C 2v 4 éléments 32=> 3=> 3m C 3v 6 éléments 422=> 4=> 4mm C 4v 8 éléments => 222=> -42m D 2d 8 éléments 622=> 6=> 6mm C 6v 12 éléments => 32=> -62m D 3h 12 éléments mm23m4mm-42m6mm-62m

33 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les groupes impropres non centrosymétriques A partir des groupes propres contenant un sous groupe stable dordre moitié G p/2 et ajoutant le produit direct de SI avec le complément de G par rapport à G p/2, on obtient immédiatement A partir des groupes cubiques Bien que dordre pair, le groupe 23 na pas de sous groupe dordre moitié. 432 => 23=> -43m T d 24 éléments -43m

34 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Bilan 32 Groupes Ponctuels (ou groupes de symétrie dorientation) 11 sont des groupes propres 1, 2, 3, 4, 6, 222, 32, 422, 622, 23, sont des groupes impropres contenant linversion -1, 2/m, -3, 4/m, 6/m, mmm, -3m, 4/mmm, 6/mmm, m-3, m-3m 10 sont des groupes impropres ne contenant pas linversion m, -4, -6, mm2, 3m, 4mm, -42m, 6mm, -62m, -43m Les groupes centrosymétriques (contenant linversion) sont appelés groupes ou classes de Laue.

35 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Bilan Crystal system Groupes Ponctuels Holoédrie Systèmes cristallins Classes de Laue Non Centro- symmétrique Centro- symétrique Triclinic1 Triclinique Monoclinic2m 2/m Monoclinique2/m Othorhombic222mm2 mmm Orthorhombiquemmm Tetragonal 4-4 4/m Quadratique 4/m 4224mm-42m4/mmm Trigonal 3 -3 Rhomboédrique m -3m Hexagonal 6-6 6/m Hexagonal 6/m 6226mm-62m6/mmm Cubic 23 m-3 Cubique m m m-3m Dans chaque système cristallin, la classe de Laue de plus haute symétrie est appelée holoédrie. Lholoédrie cubique est donc m-3m, lholoédrie hexagonale 6/mmm, … Par définition, le réseau est centrosymétrique. Toute mesure qui ne sollicitera que les propriétés du réseau ne permettra pas de déterminer le groupe de symétrie mais seulement la classe de Laue du système.

36 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les 230 groupes despace En procédant de la même façon quavec le groupe des symétries ponctuelles, on peut construire des groupes despaces qui tiennent compte de linvariance par translation du réseau. Le nombre de groupes générés dépend pour chaque système du nombre de groupes ponctuels dans ce système et du nombre déléments du groupe de translations permises dans ce système.

37 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les groupes symorphiques Combinaison Réseaux de Bravais groupes ponctuels

38 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les groupes symorphiques Combinaison Réseaux de Bravais groupes ponctuels Ex : Système quadratique 2 possibilités P ou I pour le groupe associé aux translations et 7 groupes ponctuels, il y aura donc par produit direct des 2 groupes que 14 groupes despace quadratiques. Groupes symorphiques systèmeRéseauxGroupes ponctuelsGroupes symorphiques triclinique122 monoclinique236 orthorhombique4312 rhomboédrique2510 quadratique2714 hexagonal177 cubique3515 On obtient 66 groupes symorphiques, auxquels il faut ajouter les 7 groupes obtenus par les différentes façons de centrer les faces par rapport aux axes de symétrie. (Il nest pas équivalent de centrer les bases parallèles ou perpendiculaires à laxe 2 dans le groupe mm2). Il y a en tout 73 groupes groupes symorphiques.

39 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les 230 groupes despace En combinant les opérations de symétrie avec les translations du réseau, on obtient de nouveaux objets dans les systèmes cristallins. Ce sont des rotations vis et des miroirs avec glissement. T T/2 M

40 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les 230 groupes despace Les 157 groupes restants sont obtenus avec ces nouveaux objets Pour le groupe Pmm2 on obtient ainsi en plus les groupes Pmc2 1, Pcc2, Pma2, Pca2 1, Pnc2, Pmn2 1, Pba2, Pna2 1 et Pnn2.

41 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les 230 groupes despace Exemple de construction dun groupe despace

42 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les 230 Groupes despace Crystal system Point Group Space Group Triclinic 1P1 P-1 Monoclinic 2P2, P2 1, C2 mPm, Pc, Cm, Cc 2/mP2/m, P2 1 /m, C2/m, P2/c, P2 1 /c, C2/c Orthorhombic 222 P222, P222 1, P , P , C222 1, C222, F222, I222, I mm2 Pmm2, Pmc2 1, Pcc2, Pma2 1, Pca2 1, Pnc2 1, Pmn2 1, Pba2, Pna2 1, Pnn2, Cmm2, Cmc2 1, Ccc2, Amm2, Abm2, Ama2, Aba2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2 mmm Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma,Cmcm, Cmca, Cmmm, Cccm, Cmma, Ccca, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma Tetragonal 4P4, P4 1, P4 2, P4 3, I4, I4 1 -4P-4, I-4 4/mP4/m, P4 2 /m, P4/n, P4 2 /n, I4/m, I4 1 /a 422 P422, P42 1 2, P4 1 22, P , P4 2 22, P , P4 3 22, P , I422, I mm P4mm, P4bm, P4 2 cm, P4 2 nm, P4cc, P4nc, P4 2 mc, P4 2 bc,I4mm, I4cm, I4 1 md, I4 1 cd -4m P-42m, P-42c, P-42 1 m, P-42 1 c, P-4m2, P-4c2, P-4b2, P- 4n2, I-4m2, I-4c2, I-42m, I-42d 4/mmm P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P4 2 /mmc, P4 2 /mcm, P4 2 /nbc, P4 2 /nnm, P4 2 /mbc, P4 2 /mnm, P4 2 /nmc, P4 2 /ncm, I4/mmm, I4/mcm, I4 1 /amd, I4 1 /acd Crystal system Point Group Space Group Trigonal Hexagonal 3P3, P3 1, P3 2, R3 -3P-3, R-3 32P312, P321, P3 1 12, P3 1 21, P3 2 12, P3 2 21, R32 3mP3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c -3mP-31m, P-31c, P-3m1, P-3c1, R-3m, R-3c 6P6,P6 1, P6 5, P6 3, P6 2, P6 4 -6P-6 6/mP6/m, P6 3 /m 622P622, P6 1 22, P6 5 22, P6 2 22, P6 4 22, P mmP6mm, P6cc, P6 3 cm, P6 3 mc -6mP-6m2, P-6c2, P-62m, P-62c 6/mm m P6/mmm, P6/mcc, P6 3 /mcm, P6 3 /mmc Cubic 23P23, F23, I23, P2 1 3, I2 1 3 m-3Pm-3, Pn-3, Fm-3, Fd-3, Im-3, Pa-3, Ia P432, P4 2 32, F432, F4 1 32, I432, P4 3 32, P4 1 32, I mP-43m, F-43m, I-43m, P-43n, F-43c, I-43d m-3m Pm-3m, Pn-3n, Pm-3n, Pn-3m, Fm-3m, Fm-3c, Fd-3m, Fd-3c, Im-3m, Ia-3d

43 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes Les 230 Groupes despace

44 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Transition de phase et Brisure de symétrie Daprès la théorie de Landau Sil nexiste pas de relation de groupe entre les 2 phases la transition est de 1 er ordre (la réciproque nest pas vraie) Sil y a une relation de groupe à sous groupe entre les deux phases la transition est de deuxième ordre

45 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Propriétés physiques des cristaux CauseEffet Symétrie Grandeur Physique Symétrie Grandeur physique Symétrie Cristal Principe de Curie : Leffet est plus symétrique que la cause En clair : Si G est le groupe de symétrie de leffet et K celui de la cause on doit avoir K est inclus dans G On doit donc connaître le groupe de symétrie de la grandeur physique appliquée et la symétrie ponctuelle du cristal pour savoir si un effet peut ou ne peut pas avoir lieu dans un matériau donné.

46 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Propriétés physiques des cristaux Il y a 7 groupes disotropie dans lesquels on place les grandeurs physiques. On note : les axes de rotation continue, cest à dire lorsquon peut tourner dun angle quelconque autour de laxe. les miroirs contenant ces axes de rotation sont notés : puisque, générés par laxe, ils existent en nombre infini.

47 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Propriétés physiques des cristaux Ces groupes disotropie correspondent aux symétries : de la sphère du cône et du cylindre

48 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Propriétés physiques des cristaux Exemple : Ferroélectricité Existence dun moment dipolaire permanent Symétrie du vecteur orienté Groupe limite le cône non orienté Les groupes ponctuels des cristaux présentant des propriétés ferroélectriques doivent donc appartenir aux sous groupes de 6mm et 4mm Soit 6mm, 4mm, 6, 3m, 3, 4, mm2, m, 2, 1 Ces groupes sont dits polaires

49 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Propriétés physiques des cristaux Exemple : Ferromagnétisme Le magnétisme est décrit par un vecteur axial (le produit vectoriel (dl^r) est en fait un tenseur de rang 2) Groupe limite le cône orienté Les groupes ponctuels des cristaux présentant des propriétés ferromagnétiques doivent donc appartenir aux sous groupes de 6/m et 4/m Soit 6/m, 4/m, -6, 6, -3, 3, -4, 4, 2/m, 2, m, -1, 1 Ces groupes sont dits axiaux

50 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Propriétés physiques des cristaux Exemple : Ferroélectricité et Ferromagnétisme Les résultats précédents montrent que seuls les cristaux de symétrie 6, 4, 2, 1 peuvent être à la fois ferroélectriques et ferromagnétiques

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52 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Rappels sur les tenseurs On peut toujours exprimer Y i = Y oi + j T1 j X j + ½ jk T2 jk X k X j Chaque partie du second membre de léquation peut se mettre sous la forme Y i = T ip X p Y ij = T ijpq X p X q Y ijkl = T ijklpqrs X p X q X r X s,... Chaque tableau T ijklpqrs à n indices contient 3 n valeurs qui dépendent du repère dans lequel elles sont exprimées.

53 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Rappels sur les tenseurs Lors dun changement de base, les quantités Y i et X p se transforment en Y i et X p Si M est la matrice de passage de lancienne base E à la nouvelle base E Nous avons Y = M Y et X = M X avec E = M E Et donc T ij = a ik a jl T kl

54 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Rappels sur les tenseurs Tout tableau qui vérifie T ij = a ik a jl T kl est appelé tenseur de rang 2 Le rang dun tenseur correspond au nombre dindices qui le décrit Un scalaire est un tenseur de rang 0 Un vecteur1 Le produit vectoriel V= A^B avec v ij = -a i b j +a j b i est un tenseur de rang 2

55 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Quelques exemples de tenseurs La masse, le volume, la température, la chaleur spécifique,... Sont des tenseurs de rang 0. La pyroélectricité qui relie les variations de polarisation avec la variation de température est un tenseur de rang 1. Il relie un vecteur et un scalaire. La constante diélectrique, la permittivité, la conductivité thermique..., toutes les propriétés qui relient 2 vecteurs sont des tenseurs de rang 2. La piézoélectricité est décrite par un tenseur de rang 3. Il relie un tenseur de rang 2, la déformation, avec un vecteur, la polarisabilité. Les constantes élastiques forment un tenseur de rang 4 qui relie les contraintes et les déformations.

56 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Rappels sur les tenseurs : Applications Lorsquon applique les opérations du groupe ponctuel à un cristal celui ci demeure invariant par définition. Par conséquent si on mesure ses propriétés avant ou après lapplication des opérations de symétrie le résultat doit être inchangé. Ceci est vrai pour les tenseurs qui expriment ces propriétés. On doit donc avoir T ijkl... = a ip a jq a kr a ls.... T pqrs...

57 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Rappels sur les tenseurs : Applications Dans le système monoclinique Si on applique le raisonnement au tenseur diélectrique ij qui relie le vecteur induction électrique D au champ électrique E on obtient: Axe A2 (monoclinique)

58 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Rappels sur les tenseurs : Applications Si on ajoute un axe dordre 3 dans la direction [111] Axe A3 On retrouve bien lisotropie optique des systèmes cubiques

59 Ecole de cristallographie 3/11/2008 Applications Rappels sur les tenseurs : Applications Ces considérations sont très puissantes Influence dun centre de symétrie La matrice de lopération est diagonale et ses éléments sécrivent a ij =- ij Léquation régissant la transformation dun tenseur quelconque devient T ijkl.... = a ip a jq a kr a ls T pqrs soit en remplaçant les composantes a ip par leur valeur T ijkl = (-1) n ip iq ir is T pqrs.... = (-1) n T ijkl..... avec n le rang du tenseur En conclusion, tout tenseur antisymétrique de rang impair est nul dans les 11 groupes ponctuels centrosymétriques (exemple pas de piézoélectricité)


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