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Octobre 2011 Roland Charnay 1. Lenseignement du calcul, une question complexe Quart dheure de calcul mental Soustraction posée ou non au CE1 Souvent ramenée.

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1 Octobre 2011 Roland Charnay 1

2 Lenseignement du calcul, une question complexe Quart dheure de calcul mental Soustraction posée ou non au CE1 Souvent ramenée à celle de la maîtrise du calcul mental et des techniques opératoires (cf. débats récents) Mais qui englobe dautres aspects… Octobre 2011 Roland Charnay 2

3 Maîtriser une opération Octobre 2011 Roland Charnay 3 Procédures, techniques Résultats à mémoriser, automatiser à savoir élaborer Langage, évocation analogique verbal symbolique JustificationsPropriétés Problèmes

4 Exemple du triple code : petits nombres Roland Charnay 5 cinq

5 Exemple du triple code : numération décimale Roland Charnay 173 cent soixante-treize

6 Exemple du triple code multiplication 6 3 x 4 4 x 3 Trois fois quatre Quatre multiplié par trois Produit de trois par quatre Roland Charnay

7 Qu'est-ce que savoir calculer ? traduction dune situation en termes mathématiques Interprétation des résultats Etre capable de rendre des situations calculables de façon automatisée ou raisonnée pour aboutir à un résultat exact ou approché Etre capable de traiter des calculs, soi-même Calculatrice Tableur au collège Etre capable d'organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine Octobre 2011 Roland Charnay 7

8 8 Les problèmes arithmétiquesLes moyens de calcul

9 Octobre 2011 Roland Charnay 9 DifficultésModalités de résolutionPistes de travail

10 Exemple au CE1 (daprès Cap Maths) Octobre 2011 Roland Charnay 10

11 Ce qui peut faire difficulté Octobre 2011 Roland Charnay 11 Prendre les informations Lire Comprendre, interpréter Se construire une représentation mentale de la situation Raisonner Faire appel au sens des concepts Imaginer une résolution possible Gérer des calculs, une schématisation… La mettre en œuvre, la mener à son terme Trouver la réponse à partir des traitements Interpréter les traitements réalisés Selon une forme adaptée ou demandée Communiquer la réponse

12 Mais aussi… lidée que les élèves se font de lactivité « Résoudre un problème » Octobre 2011 Roland Charnay 12 Cest trouver la bonne opération Résoudre un problème Cest utiliser une opération étudiée récemment Résoudre un problème Cest chercher des mots « qui aident » dans lénoncé Résoudre un problème Cest inventer, explorer… Résoudre un problème

13 Roland Charnay Connaissances et compétences en lecture (ordre des informations, place de la question ) sur le contexte sur les concepts mathématiques (sens, expertise pour certains problèmes) raisonnement en calcul Connaissances sur ce qui est attendu sur ce qui est permis sur ce qui marche souvent sur "l'accueil" des erreurs

14 Roland Charnay Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient

15 Octobre 2011 Roland Charnay 15 Quelles résolutions possibles (le bateau ) A B = = = 35 C D 60 – 25 = 35 E

16 Différentes modalités de résolution Résolution dans la réalité Résolution par simulation de la réalité, plus ou moins schématisée (par des objets, par un dessin, par des objets « symboliques » : traits, croix…), puis recours au comptage Résolution par une série de calculs proches de « laction »Résolution utilisant une opération connue (ou plusieurs) Octobre 2011 Roland Charnay 16

17 Quelle représentation de la tâche ? Trouver la bonne opération Statut du brouillon Acceptation de modalités différentes de résolution Exploitation de la diversité des modalités Elaborer un moyen de répondre à la question Octobre 2011 Roland Charnay 17

18 Aider à la représentation de la situation Lénoncé écrit nest quune façon de présenter un problème Limage est en est une autre La simulation une autre encore Le problème posé à partir dune expérience doit prévaloir au cycle 2 Octobre 2011 Roland Charnay 18 Au cycle 2, labus de travail sur fiches nuit gravement aux apprentissages mathématiques

19 Octobre 2011 Roland Charnay 19 Schéma pour des situations dapprentissage Réel Favorise lappropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures

20 Difficultés pour identifier les opérations pertinentes Lopération en jeu nest pas toujours un bon critère Octobre 2011 Roland Charnay 20 Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8 billes de plus que le matin. Pourtant, la journée avait mal commencé : à midi, elle avait perdu 2 billes. Que s'est-il passé l'après-midi ? 21 % de réponses exactes (entrée 6 e )

21 Difficultés pour identifier les opérations pertinentes La concordance avec le sens « primitif » du concept intervient fortement La soustraction pour « le bateau » est un cas de discordance Doù la nécessité dapprendre que la résolution « par soustraction » est équivalente à la résolution « par complément » La taille des nombres intervient également Soustraire 28 de 31 est plus difficile que « Combien ajouter à 28 pour avoir 31 » ? Octobre 2011 Roland Charnay 21

22 Octobre 2011 Roland Charnay 22 Aider à progresser… Prise de conscience au cours de la mise en commun Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes Choix des variables Exemple : 100 passagers, 5 adultes Expérience mettant en évidence léquivalence de 2 « résolutions » (ici validation expérimentale)

23 Quels problèmes au cycle 2 ? La plupart des problèmes qui seront « un jour » résolus par addition, soustraction, multiplication ou division peuvent être proposés tout au long du cycle 2 Ils sont dabord résolus par des modes de résolution personnels Puis, par des modes de résolution experts, lorsque ceux-ci sont enseignés au cycle 2 ou au cycle 3 Octobre 2011 Roland Charnay 23

24 Octobre 2011 Roland Charnay 24 Différents moyensEtat des lieux Pistes de travail

25 Les moyens de calcul CALCUL AUTOMATISE CALCUL REFLECHI OU RAISONNE Résultat exact Résultat approché Calcul mental RésultatsProcédures Procédures construites choix des arrondis Calcul écrit Techniques opératoires Procédures construites choix des arrondis Calcul instrumenté Calculs usuels Ex : passer de 23 à 100 avec x2 et Octobre 2011 Roland Charnay

26 Quelques résultats à lentrée au CE % % % 10 x 968 % % 21 x 255 % % % % 26 Octobre 2011 Roland Charnay

27 27

28 Trois catégories de procédures Appui sur laspect cardinal Quantités réelles ou évoquées (doigts, jetons, dessins…) Appui sur laspect ordinal File numérique : avancer de 4 au-delà de 8 Ou avancer de 2, puis de 2 Appui sur le calcul (connaissances numériques) 8 et 2 et encore 2 8 plus 4 mémorisé Roland Charnay

29 Des repères mentaux et figuratifs pour les nombres Le subitizing (jusquà 3 ou 4) Roland Charnay 29

30 Les relations avec 5 et 10 Doigts Avec la constellation Passage à 7, à 3… Idem avec 10 (comme 2 fois 5) Passage de 7 à 10 Passage de 10 à 12 File numérique Roland Charnay

31 Les relations avec les doubles Roland Charnay 31

32 Roland Charnay 32 Comment aider les élèves à mémoriser les tables ?

33 Roland Charnay 33 Quest-ce quavoir mémorisé ? Exemple avec et sont égaux à 13 Pour aller de 6 à 13, il y a 7 Pour aller de 7 à 13, il y a 6 13 – 6 = 7 et 13 – 7 = 6 13 se décompose, entre autres, en et en 7 + 6

34 Addition et multiplication Des conditions différentes Addition Mémorisation complète Mémorisation partielle et reconstruction instantanée Multiplication Mémorisation complète Roland Charnay 34

35 Des points de repère pour la mémorisation Pour le domaine additif Aperçu pour le domaine muktiplicatif Roland Charnay 35

36 Comprendre aide à mémoriser (référence, contrôle) Addition sous le double aspect Cardinal : réunion ou augmentation de quantités Ordinal : avancer sur une piste numérotée Multiplication sous un triple aspect Itération de quantités Organisation « rectangulaire » de quantités Addition itérée (fois) Roland Charnay 36 Possibilité de construire ou de retrouver des résultats inconnus ou oubliés

37 Répertorier et organiser aide à les mémoriser Rassembler des résultats en vrac (affiche) Chercher à les organiser Compléter avec ceux qui manquent Roland Charnay 37

38 Organisation sous forme de listes (CP, CE1) 5678… Roland Charnay 38

39 Organisation sous forme de tableau (à partir du CE2) Roland Charnay 39

40 Points dappui pour la mémorisation Commutativité Sappuyer sur des régularités ou des propriétés Ajouter ou soustraire 1 : dire le suivant ou le précédent De 3 en 3 dans la table de 3… Alternance de 0 et de 5 dans la table de 5 Sappuyer sur des résultats connus Doubles, compléments à 10… Voisins Roland Charnay 40

41 Etapes de la mémorisation (par zones numériques pour laddition) Roland Charnay 41

42 Etapes de la mémorisation (par tables pour la multiplication ) Tables de 2 et de 5 Tables de 4 et de 8 (doubles à partir de celle de 2) Tables de 3 et de 6 Table de 9 avec ses particularités 4 x 9 = = 9 Table de 7 (ne reste que 7 x 7 !) Roland Charnay

43 Autres conditions Sentraîner, répéter (jeux de calcul…) Savoir ce quon sait et ce qui reste à apprendre Lien entre conditions de mémorisation et possibilités de « rappel » éviter la récitation des tables Interroger sur sommes, différences, compléments, décompositions Roland Charnay 43

44 Roland Charnay 44 Le cas du calcul réfléchi

45 Octobre 2011 Roland Charnay Le calcul réfléchi se caractérise par… La diversité des procédures Exemple de = = = = = = – 1 = = = 41 Etc. 45

46 Octobre 2011 Roland Charnay Le calcul réfléchi se caractérise par… La recherche dune stratégie Réfléchir un calcul, c'est raisonner pour le remplacer par un calcul souvent plus long, mais plus simple, ce qui nécessite l'appui sur des connaissances. 46

47 Octobre 2011 Roland Charnay Exemple : calcul d'une différence 100 – 97 Remplacé par 97 pour aller à 100 ( Equivalence complément – soustraction) 100 – 3 Remplacé par "reculer de 3" (sens primitif de la soustraction) Utilisation de 10 – 3 (implicite : – 3) 47

48 Octobre 2011 Roland Charnay Le calcul réfléchi se caractérise par… Le fait qu'aucune procédure n'est à privilégier : le calcul réfléchi est un calcul personnel L'importance de l'explicitation et de l'échange 48

49 Octobre 2011 Roland Charnay Différents langages Le répertoire 49

50 Octobre 2011 Roland Charnay Au départ : même démarche Des problèmes vers le calcul Problème des tours (Cap maths, CE1) Combien de tours, toutes pareilles, peut-on construire avec ces 30 cubes ? Trouvez toutes les possibilités. Il faut utiliser chaque fois tous les cubes. Problème présenté oralement, les cubes sont présents dans une boîte, mais non disponibles

51 Octobre 2011 Roland Charnay Des procédures variées Recensement des réponses 3 tours de 10 cubes 5 tours de 6 cubes 10 tours de 3 cubes 15 tours de 2 cubes… Expression des procédures et contrôle des réponses Dessin Comptage de n en n Ecriture additive Expression avec « fois » 51

52 Octobre 2011 Roland Charnay L'écriture 3 x 10 est rattachée… À des réalisations "concrètes" (tours) À une expression orale significative avec le mot "fois", déjà installée Au comptage de 10 en 10 ou de 3 en 3 A l'addition répétée 52


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