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Larticulation statistique-probabilités Larticulation statistique-probabilités dans les programmes de mathématiques de la voie professionnelle Interacadémiques.

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1 Larticulation statistique-probabilités Larticulation statistique-probabilités dans les programmes de mathématiques de la voie professionnelle Interacadémiques lycées professionnels PARIS – 2 avril 2009

2 Le parti pris des programmes de la voie professionnelle est celui dune introduction progressive du formalisme du calcul des probabilités, fondée sur lexpérimentation statistique.

3 « De façon apparemment paradoxale, l'accumulation d'événements au hasard aboutit à une répartition parfaitement prévisible des résultats possibles. Le hasard n'est capricieux qu'au coup par coup. » M. SERRES et N. FAROUKI, « Le Trésor » - article loi des grands nombres.

4 Seconde professionnelle Expérimenter la « loi des grands nombres », du point de vue des fluctuations (à taille déchantillon fixée) et des probabilités (lorsque la taille de léchantillon augmente).

5 Fluctuations dune fréquence Létude des fluctuations dune fréquence développe lesprit critique du citoyen et du professionnel face à des résultats statistiques. Échantillon de taille n = 10 Fréquence des rouges f = 0,7 Fréquence des rouges dans la population p = 0,6

6 Expérimenter, dabord à laide de pièces, de dés ou durnes, puis à laide dune simulation informatique, la prise déchantillons aléatoires de taille n fixée, extraits dune population où la fréquence p dun caractère est connue.

7 Problème Suite aux élections de 2008, parmi les 20 mairies darrondissement à Paris, 5 maires sont des femmes et 15 des hommes. Peut-on considérer que cette répartition est uniquement due au hasard ? Avec une pièce de monnaie On peut observer si le hasard est une explication « raisonnable » en lançant 20 fois une pièce de monnaie. Avec le tableur On augmente le nombre dexpériences. 20 pile face.xls

8 Faire preuve desprit critique face à une situation aléatoire simple. (Fluctuations)

9 Exercice Exercice (PISA) Pour déterminer la cote de popularité dun candidat en vue dune élection, trois journaux ont mené leur propre sondage dont voici les résultats : * journal 1 : 37,5 % (sondage effectué sur un échantillon de 500 citoyens ayant le droit de vote, tirés au hasard) ; * journal 2 : 41,5 % (sondage effectué sur un échantillon de citoyens ayant le droit de vote, tirés au hasard) ; * journal 3 : 45 % (sondage effectué sur lecteurs qui ont appelé la rédaction pour voter). À quel journal peut-on le plus se fier pour prévoir le taux dopinions favorables à ce candidat, si lélection avait lieu le jour du sondage ?

10 Problème Problème (daprès G. Charpak et H. Broch, « Devenez sorcier, devenez savant »). Un « sourcier » prétend posséder des pouvoirs lui permettant de détecter la présence deau à laide dune baguette en bois. On met en place un dispositif permettant de tester les prétendus pouvoirs du sourcier. Cinq canalisations sont masquées dont une seule contient (aléatoirement) de leau. Le soucier doit désigner la canalisation contenant de leau. 1. Si le sourcier répond « au hasard », quelle probabilité p a-t-il de répondre correctement ?

11 2. Comme le sourcier ne prétend pas être infaillible, on fera 30 fois lexpérience. Si le sourcier répond au hasard, nous serons en présence dun échantillon aléatoire de réponses, de taille 30, extrait dune population où la fréquence de bonnes réponses est 0,2. Effectuer des simulations, puis répondre aux questions suivantes. a. Est-il rare, en répondant au hasard, dobtenir au moins 25 % de bonnes réponses ? b. Peut-on, en répondant au hasard, obtenir 40 % de bonnes réponses ? Si oui, est-ce rare ? 3. Le sourcier, sur les 30 expériences pratiquées, a obtenu 9 bonnes réponses. Doit-on penser quil possède un don ? Justifier. Essais sourcier.xls

12 Probabilités La compréhension de la notion mathématique de probabilité favorise une attitude rationnelle dans un environnement incertain (évaluation des risques, prise de décision). On augmente la taille n de léchantillon (prélevé avec remise) Fréquence des rouges dans la population p inconnue p ? …

13 Obtenir la probabilité dun événement dans le cas dune situation aléatoire simple.

14 Exercice Annie aime les bonbons rouges. Le sachet A contient 14 bonbons rouges et 6 bonbons jaunes. Le sachet B contient 6 bonbons rouges et 2 bonbons jaunes. Les sachets sont opaques et Annie ne peut prendre quun bonbon au hasard. Dans quel sachet la probabilité de prendre un bonbon rouge est la plus grande ?

15 Évaluer la probabilité dun événement à partir des fréquences (stabilisation relative des fréquences vers la probabilité de lévénement quand n augmente).

16 Problème Un professeur construit un Q.C.M. de 20 questions indépendantes, proposant 3 réponses possibles à chaque question, une seule réponse étant exacte. Quelle est la probabilité dobtenir au moins 10 bonnes réponses, en répondant au hasard ? QCM 20 questions.xls

17 Faire preuve desprit critique face à une situation aléatoire simple. (Probabilités)

18 Exercice Exercice (PISA) Au loto, des boules numérotées sont tirées au hasard chaque semaine. Un journal publie les numéros gagnants de la semaine précédente, ainsi quune liste des numéros qui ne sont pas sortis depuis longtemps. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. A – Les informations publiées ne sont daucune utilité car toutes les combinaisons ont la même probabilité de sortie. B – Les numéros de la semaine précédente ont davantage de chances de sortir car ils sont « chauds ». C – Les numéros de la semaine précédente ont moins de chances de sortir car il est peu probable quun numéro sorte deux fois de suite. D – Les numéros qui ne sont plus sortis depuis longtemps ont davantage de chances de sortir.

19 Problème Problème (Daprès É. Janvresse et T. de la Rue, « La loi des séries, hasard ou fatalité ? ») En août 2005, on a dénombré cinq accidents aériens graves en lespace de 22 jours (les 2, 6, 14, 16 et 23 août). On parle alors dune « inquiétante série noire ». Un modèle aléatoire simple permet de relativiser le caractère prétendument exceptionnel de cette « série ». 1.On possède la statistique suivante : de 1995 à 2004, on compte 376 accidents aériens dimportance. Montrer que cela correspond à une moyenne denviron 0,1 accident par jour.

20 2. On considère une roulette dont le secteur rouge correspond à 10 % de la surface. Chacun des 365 jours dune année, on fait tourner la roulette et on sintéresse à la probabilité que celle-ci sarrête au moins 5 fois sur le secteur rouge durant une période quelconque de 22 jours. Effectuer plusieurs simulations. Daprès vos observations, cette probabilité : est inférieure à 0,01 ; est inférieure à 0,10 ; est comprise entre 0,10 et 0,80 ; est supérieure à 0, Doit-on considérer la série des 5 accidents de 2005 comme « extraordinaire » ? Serie noire.xls

21 Première professionnelle Quantifier la « loi des grands nombres » en mesurant les fluctuations en termes de probabilités.

22 Calculer le pourcentage des échantillons de taille n simulés, pour lesquels la fréquence relative au caractère étudié appartient à lintervalle donné [ p – 1/rac(n) ; p + 1/rac(n) ] et comparer à une probabilité de 0,95.

23 Problème Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20% de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on observe 25% de défauts. Faut-il sinquiéter ? carte de controle.xls

24 Exercer un regard critique sur des données statistiques en sappuyant sur la « variabilité naturelle » : la probabilité que la fréquence f dun échantillon de taille n se situe dans lintervalle [p – 1/rac(n) ; p + 1/rac(n)] est supérieure à 0,95.

25 Problème Une enquête a été menée dans la ville dUfa (Russie) auprès de personnes ayant été exposées à des pesticides contenant de la dioxine, dans une usine agrochimique, active de 1961 à À Ufa, comme ailleurs, il naît habituellement 105 garçons pour 100 filles, « en moyenne ». Quelle est la fréquence p des garçons qui correspond à ces valeurs ? 2. Les personnes exposées ont donné naissance à 227 enfants. Simuler le prélèvement aléatoire déchantillons de taille 227 dans une population denfants où la fréquence des garçons est 0,512. Observer la fréquence f des garçons sur les échantillons de taille 227. Pesticides Ufa.xls

26 3. a. Parmi les 227 enfants des personnes exposées aux pesticides à Ufa, 91 sont des garçons et 136 sont des filles. Quelle est, dans ce cas, la fréquence des garçons ? b. La fréquence obtenue à la question précédente est-elle inquiétante ? Justifier. Pesticides Ufa.xls

27 Terminale professionnelle Pratiquer, en situation, le formalisme du calcul des probabilités.

28 * Passer du langage probabiliste au langage courant et réciproquement. * Utiliser arbres, tableaux, diagrammes, pour organiser et dénombrer. * Utiliser les notations et les formules : ;.

29 Problème On considère un certain type de composant électronique dont la probabilité de défaillance durant la période de garantie est 0,125. On recherche la probabilité de défaillance, durant la période de garantie, dun système composé de deux composants de ce type, montés, soit en série, soit en parallèle.

30 Une situation aléatoire connue : On lance deux dés octaédriques équilibrés, un rouge et un bleu. On note A lévénement « le dé rouge tombe sur la face 8 ». On note B lévénement « le dé bleu tombe sur la face 8 ». Déterminer puis. Estimation par simulation : Calcul : Univers formé de 64 cas équiprobables. = 1/64 = 0, soit environ 1,6 %. = 1/8 + 1/8 – 1/64 = 15/64 = 0, soit environ 23,4 %. Retour au problème initial des montages en série ou en parallèle Serie-parallele.xls

31 Merci de votre attention !


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