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Lorsquune grandeur augmente et que lautre diminue proportionnellement, la proportion est indirecte. « Plus je vais vite, moins je mets de temps » Lorsquune.

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2 Lorsquune grandeur augmente et que lautre diminue proportionnellement, la proportion est indirecte. « Plus je vais vite, moins je mets de temps » Lorsquune grandeur augmente et que lautre augmente proportionnellement, la proportion est directe. « Plus je vais vite, plus je parcours de km »

3 Grandeurs directement proportionnelles Exemples de problèmes : Une douzaine doeufs coûte fr Combien coûtent 17 oeufs ? Un automobiliste valaisan part en vacances. Arrivé à Bulle, il voit « Kloten 220 km ». Combien de temps lui reste-il à rouler jusquà laéroport sachant quil a mis 70 minutes pour faire les 97 premiers km ? En une journée, 9 ouvriers ont creusé une galerie de 45 mètres. Combien douvriers fallait-il engager sur ce chantier pour réaliser une galerie de 65 mètres en une journée ?

4 Résumé : 1)12 oeufs valent fr oeufs valent fr. ? 2)70 minutes pour effectuer 97 km ? minutes pour effectuer 220 km 3)9 ouvriers creusent 45 mètres ? ouvriers creusent 65 mètres Constatation : Dans ces problèmes trois termes dune proportions sont connus, il sagit de déterminer le quatrième.

5 Méthode 1 - Le raisonnement - a)Rechercher la valeur dune unité b)Calculer la valeur pour le nombre dunités cherchées.

6 Raisonnement 12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? 1. Ramener la donnée à l'unité 2. Multiplier le nombre donné par la valeur de l'unité

7 Raisonnement 12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? 1. Ramener la donnée à l'unité 2. Multiplier le nombre donné par la valeur de l'unité 1 œuf = 6,50/12 = CHF œufs = x 17 = CHF 9.20

8 Méthode 2 - Le coefficient de proportionnalité - a)Quelle opération permet de passer de 12 à 6,5 ? b)Appliquer le coefficient à la valeur cherchée : 12 oeufs17 oeufs Fr. 6.50fr. ? : 1.846

9 Méthode 2 - Le coefficient de proportionnalité - a)Quelle opération permet de passer de 12 à 6,5 ? b)Appliquer le coefficient à la valeur cherchée : 12 oeufs17 oeufs Fr. 6.50fr. ? : 1.846x ou

10 Proportionnalité 12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? 1. Chercher le coefficient de proportionnalité 2. Appliquer ce coef. à la valeur donnée.

11 Proportionnalité 12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? 1. Chercher le coefficient de proportionnalité 2. Appliquer ce coef. à la valeur donnée. 12 oeufs17 oeufs CHF 6.50? X x = CHF 9.20

12 Méthode 3 - La règle de trois - Une proportion est légalité de deux rapports La proportion contient 4 termes : 3 est à 4 comme 15 est à 20 Le premier (ici) 3 et le quatrième (20) sont les extrêmes Le deuxième (4) et le troisième (15) sont les moyens

13 La règle de trois (suite) Règle : Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens 3 x 20 = 4 x 15

14 La règle de trois (suite) Dans les problèmes de proportionnalité il manque un carreau ! Trois termes sont connus, il faut déterminer le quatrième.

15 La règle de trois (suite) Calcul : 20 x ? = 4 x 15 Truc Le terme orphelin dun produit est le dénominateur

16 La règle de trois (suite) Reprenons notre exemple ! Une douzaine doeufs coûte fr Combien coûtent 17 oeufs ? ? ? La règle de trois, une histoire de carreau ! Réponse : 17 X lorphelin des produits croisés

17 La règle de trois (suite) Exercice 70 min 97 km 220 km ? ? Réponse : 70 X Un automobiliste valaisan part en vacances. Arrivé à Bulle, il voit « Kloten 220 km ». Combien de temps lui reste-il à rouler jusquà laéroport sachant quil a mis 70 minutes pour faire les 97 premiers km ? = 158 min

18 La règle de trois (suite) Exercice 9 ouv. 45 m. 65 m. ? ? Réponse : 9 X = 13 ouvriers En une journée, 9 ouvriers ont creusé une galerie de 45 mètres. Combien douvriers fallait-il engager sur ce chantier pour réaliser une galerie de 65 mètres en une journée ?

19 Traité d'arithmétique du feu Sieur Barrême (1780)

20 O b s e r v a t i o n s sur la Règle de Trois La Régle de Trois est si universelle, que par elle on résout les plus difficiles questions qui peuvent survenir sur les nombres et sur les affaires humaines; elle est facile est utile aux gens d'épée et de plume…

21 Règles de trois successives Voici un cas intéressant ! De lavoine canadienne est importée au prix dachat de $ 15.- le boisseau. Quel est le prix de revient en Suisse par quintal, sachant que les frais dachat sélèvent à 10% du prix dachat ? Renseignements : 1 $ can vaut Fr boisseau vaut 43 lb (livres Avoirdupoids) 1 lb pèse 453,6 grammes Réponse : Lavoine canadienne revient en Suisse à Fr le quintal.

22 Règle de trois 12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Règle : Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. 1. Poser les proportions 2. Multiplier les deux éléments de la diagonale complète et diviser par l'élément seul.

23 Règle de trois 12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Règle : Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. 1. Poser les proportions 2. Multiplier les deux éléments de la diagonale complète et diviser par l'élément seul. 17 x 6.50 = CHF

24 Méthode 4 - La conjointe - A utiliser lorsquil y a plusieurs règles de trois successives…

25 I N S T R U C T I O N Cette Règle de Trois conjointe s'appelle ainsi, parce que par elle on joint autant de Règles de Trois que l'on veut… …mais aussi elle est plus excellente et plus parfaite; parce que par elle on peut résoudre les Règles les plus difficiles qui peuvent survenir dans le grand Commerce…

26 La conjointe (suite) La conjointe est un procédé arithmétique (et non mathématique !!!) très utile lorsque plusieurs règles de trois successives sont nécessaires pour résoudre un problème. Elle se compose dune suite de rapports où les quantités de gauche sont appelées antécédents et cette de droite conséquents.

27 La conjointe (suite) 1) Poser la question du problème sous forme dégalité, le premier terme de la conjointe étant linconnue. Marche à suivre : 2) Lantécédent du deuxième rapport est de même espèce que le conséquent du premier rapport. 3) Lantécédent du troisième rapport est de même espèce que le conséquent du deuxième rapport, et ainsi de suite… 4) Le conséquent du dernier rapport est de même espèce que linconnue. 5) La valeur de linconnue sobtient en divisant le produit des conséquents par le produits des antécédents.

28 La conjointe (suite) 17 x Une douzaine doeufs coûte fr Combien coûtent 17 oeufs ?

29 La conjointe (suite) Une douzaine doeufs coûte CHF Combien coûtent 17 oeufs en Euros ? Renseignement : 1 vaut CHF x x 1.56 = 5.90

30 La conjointe (suite) Voici un cas intéressant ! De lavoine canadienne est importée au prix dachat de $ 15.- le boisseau. Quel est le prix de revient en Suisse par quintal, sachant que les frais dachat sélèvent à 10% du prix dachat ? Renseignements : 1 $ can vaut Fr boisseau vaut 43 lb (livres Avoirdupoids) 1 lb pèse 453,6 grammes

31 La conjointe (suite) 1) Poser la question du problème sous forme dégalité, le premier terme de la conjointe étant linconnue. Marche à suivre : 2) Lantécédent du deuxième rapport est de même espèce que le conséquent du premier rapport. 3) Lantécédent du troisième rapport est de même espèce que le conséquent du deuxième rapport, et ainsi de suite… 4) Le conséquent du dernier rapport est de même espèce que linconnue. 5) La valeur de linconnue sobtient en divisant le produit des conséquents par le produits des antécédents. De lavoine canadienne est importée au prix dachat de $ 15.- le boisseau. Quel est le prix en Suisse par quintal, sachant que les frais dachat sélèvent à 10% du prix dachat ? Renseignements : 1 $ can vaut Fr boisseau vaut 43 lb (livres Avoirdupoids) - 1 lb pèse 453,6 grammes Réponse : Lavoine canadienne revient en Suisse à Fr le quintal.

32 La conjointe (suite) 1) Poser la question du problème sous forme dégalité, le premier terme de la conjointe étant linconnue. Marche à suivre : 2) Lantécédent du deuxième rapport est de même espèce que le conséquent du premier rapport. 3) Lantécédent du troisième rapport est de même espèce que le conséquent du deuxième rapport, et ainsi de suite… 4) Le conséquent du dernier rapport est de même espèce que linconnue. 5) La valeur de linconnue sobtient en divisant le produit des conséquents par le produits des antécédents. De lavoine canadienne est importée au prix dachat de $ 15.- le boisseau. Quel est le prix en Suisse par quintal, sachant que les frais dachat sélèvent à 10% du prix dachat ? Renseignements : 1 $ can vaut Fr boisseau vaut 43 lb (livres Avoirdupoids) - 1 lb pèse 453,6 grammes Réponse : Lavoine canadienne revient en Suisse à Fr le quintal.

33 Conjointe 1. Poser la question sous forme d'égalité (correspondance) 2. Le terme de gauche de l'égalité suivante est de même nature que le terme de droite de l'égalité précédente… 12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ?

34 Conjointe 1. Poser la question sous forme d'égalité (correspondance) 2. Le terme de gauche de l'égalité suivante est de même nature que le terme de droite de l'égalité précédente… x CHF => 17 oeufs 12 oeufs => 6.50 CHF 17 x 6.50 = CHF œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ?

35 Méthode 5 - Lalgèbre - Cette méthode sera abordée en mathématiques…

36 X = prix d'un oeuf Equation : 12 X = 6.50 Calcul : 12 X = 6.50 X = 6.50/12 X = X = 9.20 Une douzaine doeufs coûte fr Combien coûtent 17 oeufs ?

37 Algèbre 1. Définir l'inconnue 2. Poser l'équation 3. Résoudre l'équation 12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ?

38 Algèbre 1. Définir l'inconnue 2. Poser l'équation 3. Résoudre l'équation x = prix d'un oeuf 12 x = 6.50 x = x = œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ?

39 Méthode 6 - Les parties aliquotes - Méthode obsolète… Du temps où les calculettes n'existaient pas, on cherchait des astuces pour simplifier les calculs oraux. aliquote aliquote [alik ɔ t] adjectif et nom féminin [ARITHM. ] Vx. Partie aliquote d'un nombre, diviseur d'un nombre autre que lui-même. Le Petit Larousse illustré © Larousse, 1998.

40 9 ouvriers = 45 mètres 1 ouvrier = 5 mètres 3 ouvriers = 15 mètres 13 ouvriers = 65 mètres En une journée, 9 ouvriers ont creusé une galerie de 45 mètres. Combien douvriers fallait-il engager sur ce chantier pour réaliser une galerie de 65 mètres en une journée ?

41 Parties aliquotes 1. Décomposer un nombre en parties entières 2. Additionner les valeurs correspondantes 12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ?

42 Parties aliquotes 1. Décomposer un nombre en parties entières 2. Additionner les valeurs correspondantes 12= = = = œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ?

43 Jean a des fils. Son fils aîné a 1 fois et demi l'âge du second. Le second a quatre ans de plus que le dernier. Le dernier a exactement la moitié de l' âge de l' aîné. Question: Quel âge ont ses fils? X = âge du dernier X + 4 = âge du second 1,5(X + 4) = âge de l'aîné Equation : 2 X = 1,5(X + 4) Calcul : 2 X = 1,5(X + 4) 2 X = 1,5X + 6 0,5 X = 6 X = 12 Aîné = 24 Second = 16Dernier = 12

44 - Combinaison de proportions (1) - Dans une bergerie, 5 bergers ont tondu 3150 kg de laine en travaillant 8h3/4 par jour pendant 6 jours. Combien d'heures par jour 4 bergers devraient-ils travailler pour produire 2280 kg en 5 jours ?

45 Plus il y a de bergers, plus ils produisent. Proportion directe Plus il y a de kg, plus il faut travailler d'heures par jour. Proportion directe Plus on travaille d'heures par jour, moins il faut de jours. Proportion inverse 9.5 heures Calcul : 5 x 2280 x 8.75 x 6 4 x 3150 x 5 = Dans une bergerie, 5 bergers ont tondu 3150 kg de Laine en travaillant 8h3/4 par jour pendant 6 jours. Combien d'heures par jour 4 bergers devraient-ils travailler pour produire 2280 kg en 5 jours ?

46 - Combinaison de proportions (2) - Une compagnie de taxis dispose de 8 voitures, qui roulent 15 heures par jour et sont conduites par 12 chauffeurs. Elle désire : supprimer un véhicule; augmenter la durée de service de chaque véhicule de 3 heures ; diminuer la durée du travail de chaque chauffeur de 1 heure. Combien devra-elle engager de nouveaux employés ?

47 Plus il y a de voitures, moins elles doivent rouler d'heures. Proportion inverse Plus il y a de voitures, plus il faut de chauffeurs. Proportion directe Plus il y a de chauffeurs, moins ils doivent travailler d'heures. Proportion inverse 14 chauffeurs Calcul : 7 x 18 x 12 x 10 8 x 15 x 9 = 8 voitures – 15 h/j – 12 chauffeurs qui travaillent (8 x 15 / 12) soit 10 h/j. 7 voitures – 18 h/j – x chauffeurs qui travaillent 10-1 h/j. Il faut en engager 2

48 - Quand ça se complique !!! - Il faut réfléchir …

49 Un chevalier voulait se rendre au château d'une princesse. Il devait arriver à 17h00 exactement. Habile en mathématiques, il calcula s'il voyageait 15 kilomètres par heure, il arriverait une heure trop tôt. S'il voyageait 10 kilomètres par heure, il arriverait une heure trop tard. Questions : 1- Quelle est l' heure de son départ? 2- Quelle distance voyagea-t-il? 3- À quelle vitesse voyageait-il?

50 Raisonnement sur le temps : Pour faire 10 km, il faut 60 min. à 10 km/h et 40 min. à 15 km/h. Ecart = 10 km par 20 minutes. Donc 60 km pour 2 heures d'écart. 16 h 17 h 18 h 15 km/h 10 km/h 2 heures et 20 km Raisonnement sur la distance : Après 1h. il y a 5 km d'écart. L'écart de 20 km s'est creusé en 4 h. Donc départ à 12 heures. Vitesse : Il faut faire 60 km en 5 heures. Donc 12 km/h Raisonnement sur le temps : Pour faire 10 km, il faut Raisonnement sur la distance : Après 1h. il y a … km d'écart. Vitesse : Il faut faire 60 km en … heures.

51 …et que la proportionnalité ne tempêche pas de dormir ! © Y. Péguiron

52 © Y. Péguiron Les proportions Trois exemples Raisonnement Coefficient de proportionnalité Règle de trois Solution exemple Ex. avoine Conjointe Solution avoine Algèbre Autres problèmes Ça se compliqueÇa se complique Fin


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