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Voyage vers linfiniment fractale Hélène Carlier, Alice Rouvez, Pierre Duflot, Hessam Iranmanesh, Guillaume Rossillon.

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1 Voyage vers linfiniment fractale Hélène Carlier, Alice Rouvez, Pierre Duflot, Hessam Iranmanesh, Guillaume Rossillon

2 Plan de la présentation Introduction Caractéristiques de fractales Les mathématiques des fractales Lensemble de Mandelbrot Dimension fractale Les math-fractales

3 La découverte des fractales Ensemble de Julia Gaston Julia

4 Ensemble de Mandelbrot Ensemble de Mandelbrot Benoît Mandelbrot

5 Les caractéristiques des fractales Principe ditération Principe dautosimilarité Les dimensions fractales

6 Principe ditérations

7 Flocon de Von Koch

8 Principe dautosimilarité

9 Dimension fractale Eponge de Menger- SierpinskiTriangle de Sierpinski

10 Corps Humain – Yeux – Battements du cœur – Intestins – Poumons Les fractales dans la nature

11 Corps Humain Plantes – Fougères – Choux-Fleurs Les fractales dans la nature

12 Les mathématiques des fractales Aires, périmètres et volumes des fractales Lensemble de Mandelbrot et le chaos La dimension fractale

13 Un carré un peu spécial

14 Laire Coté 1 er carré = 1 A=1 A = ¼ A = ¼ /16 A = ¼ / /64 … A n = 1+4. (3 0. (¼) ( ¼ ) 2 +…+3 n-1.( ¼ ) n ) A n = 1+ 4/3. ((3/4) 1 + (3/4) 2 +…+ (3/4) n ) A n = 1+4. (1- (¾) n ) lim A n = 1+4. (1-0)= 5 n ->

15 Le périmètre P 0 = 4 P 1 = 4+4. (3/2- ½) P 2 = 4+4. (3/2- ½) (3/4 – ¼) P 3 = 4+4. (3/2- ½) (3/4 – ¼) (3/8 - 1/8) … P n = 4+4. ((3/2) 0 + (3/2) 1 + (3/2) 2 +…+ (3/2) n-1 ) lim P n = ((3/2) -1)= Un périmètre infini pour une aire finie n ->

16 Léponge de Menger/Sierpinski

17 Le volume Chaque étape enlève 7 cubes sur les 27 de base Côté du 1 er cube= 1 V 0 = 1 V 1 = 1. 20/27 V 2 = 20/27. 20/27= (20/27) 2 V n = (20/27) n lim V n =0 n ->

18 Laire A n = C n. (1/9) n C n = A n. 9 n C n+1 = C n n A n+1 =C n+1. (1/9) n+1 A n+1 = (C n n ). (1/9) n+1 A n+1 = ((A n. 9 n ) n ). (1/9) n+1 A n+1 = 8/9. A n + 24/9. (20/9) n

19 La formule et sa démonstration A n+1 = (2.20 n n+1 )/(9 n+1 ) ; avec A 0 =6 A 1 = ( )/9= 8 A n+1 = 8/9. A n + 24/9. (20/9) n or A n = (2.20 n n )/(9 n ) A n+1 = ( n n n )/(9 n+1 ) A n+1 = ( n n+1 )/(9 n+1 ) A n+1 = (2. 20 n n+1 )/(9 n+1 ) lim A n =(2. (20/9) n +4. (8/9) n )= ++0= + n ->

20 Application: murs anti-bruit Réduction de 3 dB par rapport à un mur classique

21 Quest ce que le Chaos? Le figuier, un comportement pas si prévisible Lensemble de Mandelbrot et son intérêt Ensemble de Mandelbrot le Chaos

22 Le Figuier, un calcul simple? Prenons un réel entre -1 et 1 Elevons ce réel au carré Retirons 1 Et recommençons du début X n+1 = (X n ) X n+1 0

23 Pas vraiment si simple… X n+1 = k. (X n ) 2 -1 OrdreChaos

24 Lensemble de Mandelbrot X n+1 = k. (X n ) 2 -1; avec k=a+ b. i= c et X n = a n a n+1 = c. (a n ) 2 -1 c. a n+1 = c 2. (a n ) 2 –c Z n+1 = (Z n ) 2 – c

25 La dimension fractale Généralisation La poussière de Cantor Le flocon de Von Koch Léponge de Menger/Sierpinski

26 Généralisation 1/n= rapport dhomothétie, m= le nombre de figures d= log n m d= log m/log n

27 La poussière de Cantor Le nombre segment double à chaque étape M=2 Le rapport dhomothétie vaut 1/3= 1/n n=3 d= log2/log3 0,63 0< d< 1

28 Le flocon de Von Koch Le nombre de segments quadruple à chaque étape M=4 Le rapport dhomothétie vaut 1/3= 1/n n=3 d= log4/log3 1,26 1< d< 2

29 Léponge de Menger/Sierpinski Le nombre de cubes est multiplié par 20 à chaque étape M=20 Le rapport dhomothétie vaut 1/3= 1/n n=3 d= log20/log3 2,73 2< d< 3

30 La math-fractale Le nombre dor Les propriétés de φ La spirale et la suite de Fibonacci Le triangle de Pascal Les matrices Pythagore

31 Le nombre dor 1, φ 2 = φ+1 φ-1= 1/φ

32 Première propriété φ 2 = φ+1 φ= (1+φ) φ= 1+ (1+φ) φ= 1+ 1+( (1+φ) φ= (1+φ)

33 Deuxième propriété φ-1= 1/φ φ=1+ 1/φ φ=1+ 1/(1+ 1/φ) … φ=1+ 1/(1+1/(1+1/(1+ 1/(1+1/(1+1/(1+ 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/φ)))))))))))

34 La suite de Fibonacci = Restent/Grandissent = Engendrent

35 La Spirale de Fibonacci

36 Le Triangle de Pascal

37 Les Matrices Et encore une fractale… ( )

38 Pythagore a 2 =b 2 +c 2

39 Conclusion


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