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Présentation dun exercice sur les matrices Par Julien Tison.

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2 Présentation dun exercice sur les matrices Par Julien Tison

3 Énoncé : Deux briques de longueur 4 et de hauteur 2 sont disposées comme sur le schéma. Quelle est la hauteur du sommet supérieur de la brique inclinée?

4 Nous devons tout dabord fixer des axes sur notre schéma afin de déterminer les coordonnées des sommets des deux rectangles. Lexercice est donc de calculer lordonnée du sommet supérieur du rectangle incliné.

5 Nous remarquons que le rectangle incliné est en fait le résultat de la rotation dun rectangle (vert), identique au rectangle horizontal de départ mais décalé de 1.5 vers la gauche sur laxe des abscisses. Le point recherché est donc la rotation par un angle B du sommet supérieur droit du rectangle vert.

6 Nous allons donc appliquer la matrice de rotation au point (4 ; 2). Or la matrice de rotation dangle B est :

7 Nous allons maintenant calculer cos B et sin B à partir du triangle formé par les deux rectangles.

8 Le cosinus dun angle, dans un triangle rectangle, est le quotient du côté adjacent de langle sur lhypoténuse. Or lhypoténuse dans ce cas est égale à 2,5 (Pythagore). Le sinus dun angle, dans un triangle rectangle, est le quotient du côté opposé de langle sur lhypoténuse. La matrice de cette rotation est donc :

9 Appliquons cette matrice de rotation au point (4;2) cest à dire, faire le produit matriciel :

10 Le point recherché a donc pour coordonnées : (4/5 ; 22/5) La hauteur de la brique est 22/5.


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