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Le calcul aux cycles 2 et 3 Animation pédagogique Septembre et Octobre 2010 Circonscription de Loudéac Olivier LE MERCIER – CPC - IEN de Loudéac Philippe.

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1 Le calcul aux cycles 2 et 3 Animation pédagogique Septembre et Octobre 2010 Circonscription de Loudéac Olivier LE MERCIER – CPC - IEN de Loudéac Philippe CHEVÉ – Maître E - RASED de Loudéac

2 Sommaire Jai lu pour vous : document Eduscol Les techniques opératoires Le calcul mental Conclusion - Synthèse

3 « Jai lu pour vous » Des idées fortes du document Eduscol du 8 septembre 2010 sur « Le nombre au cycle 2 »

4 Pourquoi ce document… Ce corpus de textes se propose daider les enseignants dans la mise en œuvre des programmes 2008 au cycle 2, en favorisant la continuité des apprentissages de la maternelle à lélémentaire. Dans chacun des articles, les auteurs apportent des éléments didactiques et pédagogiques et font des propositions concrètes de mise en œuvre. Le choix a été fait de commencer par les questions numériques au cycle 2, car une bonne approche du nombre à ce niveau est essentielle pour la suite des apprentissages en mathématiques mais aussi dans les autres domaines.

5 Les mathématiques, regard sur 50 ans de leur enseignement à lécole fin des années 50 et début des années 60, calcul et arithmétique (du CP au CEP) reposaient sur la parfaite maîtrise des quatre opérations, la connaissance opératoire du système métrique et la capacité à résoudre des problèmes parfois sophistiqués. en 1970, lapparition des mathématiques modernes. Le postulat sur lequel reposait la réforme était que, sous-jacentes aux activités cognitives et à leur développement, dont celles liées au calcul et à la résolution de problèmes, se situaient des savoirs et savoir-faire plus abstraits et plus fondamentaux relatifs à la logique. Depuis 1977, 1978 et 1980, (y compris ceux de 1985, 1995 et 2002) des programmes rédigés autour de deux axes centraux : les connaissances se construisent la notion de problème est centrale Les programmes 2008 marquent un tournant : Limportance de la mémoire et des automatismes dans lacquisition des savoirs et savoir-faire est soulignée.

6 De nouveaux savoirs scientifiques sur les difficultés que rencontrent les élèves en mathématiques 1 ère difficulté : Le passage au symbolique Apparemment, la perception des quantités et de leurs transformations, la possibilité de les comparer, constituent des capacités de base ne nécessitant pas dapprentissage. En revanche, la mise en correspondance de ces quantités avec des systèmes de symboles, quil sagisse de la suite orale des nombres, des configurations de doigts, des abaques ou des chiffres arabes pose problème à tous les enfants. La compréhension de la numération de position et sa mobilisation dans la résolution des opérations nécessitent un enseignement long sans doute jusquen fin de CE2.

7 De nouveaux savoirs scientifiques… 2 ème difficulté : Passage des transformations (analogiques) aux opérations (symboliques) Le fait que les enfants perçoivent et comprennent très précocement et facilement les effets des transformations affectant la quantité (ajout, retrait, partage…) laisse souvent à penser à tort quils maîtrisent ou au moins comprennent les opérations. Cette surestimation est dautant plus vraie lorsque lesdites opérations ne font que simuler le déroulement des opérations. Ex : Si Paul a 3 billes et que je lui en donne 4, le fait de transcrire = 7 nassure en rien que laddition est acquise ! Cest en variant les situations que lélève peut être amené à découvrir le sens des opérations élémentaires et en généraliser lutilisation en séloignant dune conception immature qui associe de manière sommaire des transformations et des opérations.

8 De nouveaux savoirs scientifiques… Il est établi que lefficacité de la résolution des opérations passe à la fois par lapprentissage et lexercice de procédures (par exemple en calcul mental) jusquà leur automatisation, ceci afin de réserver lattention aux activités qui ne peuvent être automatisées : compréhension des énoncés, raisonnement, rapport entre les unités dans les grandeurs et mesures … Et passe aussi par la mémorisation de connaissances telles que les tables.

9 Les techniques opératoires Exemples de techniques Intérêts dune pratique régulière

10 Laddition Manipuler avec labaque

11 Manipuler pour mieux appréhender la technique et/ou la comprendre.

12 Laddition Avec un code couleur…

13 Des remarques éventuelles ?!

14 La soustraction Et sil y a des 0…

15 Cela pourrait être aussi… Cette technique est toute aussi valable, mais non conventionnelle (dailleurs, elle vient de nous). Son défaut est de présenter un résultat peu lisible. Elle permet davoir une rapide estimation et validation (au sens de « Est-elle possible ? ») du résultat.

16 La multiplication X X Lalignement, la formalisation du décalage, le code couleur, la place des retenues peuvent varier. Le choix des tables 7 et 8 rend lopération plus difficile.

17 La multiplication, cest aussi… x 2 8 =

18 La division

19 La division à langlaise… r 5 Avec un seul chiffre au diviseur, cest plus simple… r 6

20 Ce quil faut retenir… Il est souhaitable que du CP au CM2, léquipe pédagogique se mette daccord sur : la technique que lon va utiliser la présentation que lon va demander le code couleur que lon va adopter au départ Cette unité tout au long de lécole élémentaire sera particulièrement structurante, en particulier pour les élèves en difficulté. La pratique régulière des opérations de calcul permet de réinvestir et consolider des connaissances (les tables en particulier) et certaines compétences de calcul mental (exemple de la division). Elle permet également de mettre un grand nombre denfants en situation de réussite (rassurant).

21 Intérêts dune pratique régulière La pratique régulière du calcul posé permet : une consolidation des connaissances des tables, une amélioration de la connaissance des propriétés que les nombres entretiennent entre eux, de mettre les enfants en situation de réussite, de se libérer des problèmes de calcul lors de la résolution de problèmes,...

22 Le calcul mental

23 Si on commençait par un calcul ! Sans calcul posé, trouvez le résultat du calcul suivant : 87² = 7569

24 Quelle est la procédure ? 87² = ² avec = 100 et = 74

25 La démonstration 100x²y = 100 – 2a -a x² = (100 – a)² x² = 100² + a² - 200a x² = 100 (100 – 2a) + a² x² = 100 y + a²Cas où x = 87 : 87² = (100 x 74) + 13² Effectuer maintenant : 89²94²85² = 7 921= 8 836= 7 225

26 Pourquoi cet exercice ? Pour vous mettre dans la situation dun élève rencontrant un calcul dont la procédure lui est inconnue et lui semble à priori complexe. Cest pas facile !! Montrer que des pré-requis sont indispensables : carrés des nombres jusquà 15 (si x ou = à 85) compléments à 100 soustraction sur des nombres à 100 De même pour un élève, 54 x 9 : distributivité 54 x 9 = 54 x (10 – 1) décomposition de 54 en passage par la centaine inférieure 540 – 40 – 14 Montrer quun entraînement est nécessaire pour fixer la procédure Montrer que le calcul mental nécessite une attention soutenue. Il permet de recentrer le groupe-classe et permet à lenseignant de se poser comme expert devant les élèves. Vous : plaisir de savoir maintenant effectuer ce type de calcul, un certain plaisir intellectuel (peut-être pas pour tous !).

27 On pourrait aller plus loin… 987² Rem : Cest plus facile que 87² !! idem pour une séance avec des élèves : - 9 puis – 99 puis - 19 x 9 puis x 99 puis x 19 … = ² =

28 Point sur les différentes appellations rencontrées dans les programmes ou les différents types de calcul

29 Première distinction Les programmes distinguent: Calcul mental Aucun moyen de poser lopération et pas de calculatrice à disposition Calcul posé Calcul instrumenté Possibilité dutiliser une technique opératoire Calculatrice à disposition

30 Calcul mental Calcul automatisé Mémorisation de résultats. Aucun écrit intermédiaire Calcul réfléchi Résultat Approché Ordre de grandeur Contrôle dun résultat Résultat exact Mise en place de procédures Ecrits intermédiaires

31 Définitions du calcul mental Lexpression « calcul mental » signifie quentre lénoncé du problème et lénoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée (technique opératoire usuelle). Cela nimplique pas quaucun support écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du résultat voire même dans le cours du calcul. (doc daccompagnement des programmes) Cest un moment privilégié de lapprentissage pour : enrichir les conceptions numériques et leur domaine de disponibilité, accroître la familiarisation de lélève avec les nombres et les opérations, faire fonctionner et sapproprier les propriétés de ces dernières, enrichir, diversifier, étendre les procédures de calcul. (Denis Butlen et Monique Pézard) Le calcul mental nécessite une intuition des nombres ainsi quune part dinitiative et de choix. (doc daccompagnement des programmes)

32 De limportance du calcul mental…

33 Pourquoi instaurer quotidiennement des séances de calcul mental ? Analyse de vos réponses Quelques pistes : les problèmes où lélève se débat avec les nombres au lieu de se focaliser sur son raisonnement, les résultats incohérents dus à une mauvaise maîtrise du nombre, amélioration de lhabileté intellectuelle, plaisir intellectuel, On peut, pour le calcul mental, distinguer deux fonctions : une fonction sociale une fonction pédagogique

34 Une fonction sociale Il est dabord un calcul dusage. Il sagit de mettre en place des moyens efficaces de calculer, utiles dans la vie courante, en labsence de supports ou dinstruments. Dans cette perspective, trois types dobjectifs peuvent être distingués : lautomatisation des calculs simples, orientée vers la production de résultats immédiatement disponibles : récupération en mémoire ou reconstruction instantanée, procédures automatisées. la diversification des stratégies de calcul complexe : calcul réfléchi ou raisonné. une première maîtrise du calcul approché, souvent utilisé dans la vie courante et dont lapprentissage doit se poursuivre au collège.

35 Une fonction pédagogique En mathématiques, il joue un rôle prépondérant car : Il permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels (relation additives, ou multiplicatives entre les nombres). La pratique du calcul réfléchi sappuie, le plus souvent implicitement, sur les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première compréhension. Les premiers maniements des notions mathématiques (ceux qui en permettent la compréhension initiale) sont le plus souvent fondés sur le recours au calcul mental (proportionnalité, fractions,…). Le calcul réfléchi nécessite lélaboration de procédures originales et, par là, contribue au développement des capacités de raisonnement. Le calcul mental apporte souvent une aide à la résolution de problèmes, en permettant de ramener un problème à un champ numérique dans lequel les opérations deviennent plus familières (essai avec des nombres plus petits).

36 Vive lesprit critique Utilisez-vous tous les mêmes techniques opératoires ? Effectuez les 4 opérations suivantes : 46 x 3457 x x x 37 Évidemment, un élève posera les 4 opérations. Par contre vous, adultes maîtrisant le calcul mental, vous navez pas été sans remarquer que 76 x 25 pouvait se calculer de tête ! 76 x 25 = (76 ÷ 4) x 100 = 19 x 100 = « Lexpérience atteste, depuis des dizaines dannées, que les enfants ont tendance à calculer mentalement en appliquant les algorithmes écrits. Ceci est dû très probablement à un établissement insuffisant du calcul mental. » (doc daccomp. des programmes)

37 On peut en conclure : Que le temps passé à faire du calcul mental est du temps de gagné dans de nombreuses autres activités mathématiques !

38 Quelle est la différence entre calcul mental et calcul posé ? Calcul posé : travail sur les chiffres des nombres Calcul mental : travail sur les nombres, et donc sur la connaissance des nombres exemple : Certains élèves vont trouver un résultat à 4 chiffres sans que cela leur pose un problème. Si on demande à cet élève de revoir son calcul, il va très souvent dabord réinterroger sa technique opératoire. Il vérifiera dabord la pertinence de chaque chiffre du résultat et non le résultat lui-même. Or, le résultat est bien 384 ( nombre ) et non ( suite de chiffres )

39 Des constats dans les pratiques de classe Daprès le rapport IGEN de 2006 (maths au cycle 3) : Le temps consacré au calcul mental en France est massivement inférieur à une heure par semaine. Lors des observations de lInspection générale, seule une séance sur trois démarre par un temps de calcul mental. De plus : Des séances plutôt consacrées au calcul automatisé. Quelques séances consacrées au calcul réfléchi (peu de structuration des procédures). Très peu de travail autour du calcul approché.

40 Notre avis sur lapprentissage des tables Un élève de CM1 ne devrait pas avoir à compter systématiquement sur ses doigts (même quand les doigts sont virtuels) pour un résultat appartenant à la table daddition. Les tables doivent être totalement automatisées afin que lélève puisse entrer de manière aisée dans des procédures de calcul plus complexes. La table dite de Pythagore (terme quon emploie un peu abusivement pour nommer également la table daddition) est un très bon outil de repérage et de manipulation, mais pas un outil dapprentissage « par cœur » des tables daddition et de multiplication. Pour la mémorisation des tables, ce nest pas faire œuvre de passéisme pédagogique que de passer par des comptines de tables chantées ou chantonnées.

41 Voici un exemple de table de Pythagore qui essaie de respecter un semblant de proportionnalité. Les résultats posant le plus de problèmes de mémorisation sont écrits en grands, et sont ainsi mis en valeur dans la table.

42 Résultats assez faciles à retenir Résultats plus difficiles à retenir Résultats plus difficiles à retenir Résultats posant souvent des difficultés de mémorisation aux élèves

43 Le paradoxe de lautomatisation Lenseignement du calcul mental, selon Denis Butlen dans le document Eduscol 2010, est paradoxal : Trop peu dautomatismes (au sens de trop peu de procédures automatisées) peuvent renforcer lautomatisme (au sens de comportement automatisé, sans adaptabilité (NDLR)), Exemple : recours systématique de certains élèves à un algorithme écrit pour rechercher des résultats dopérations mentales. Davantage dautomatismes peuvent donc permettre déchapper à lautomatisme.

44 Automatisation et adaptabilité Augmenter le capital de procédures de calcul automatisées permet de mettre en œuvre ou daméliorer ladaptabilité de lélève face à un calcul. Exemple : ou ou ou – 4 ou … Mais : ou ou ou – 1 ou …

45 La mémoire ou plutôt les mémoires On peut en distinguer deux : la mémoire à court terme ou mémoire de travail la mémoire à long terme Si elles sont puissantes, elles ne sont pas élastiques !

46 La mémoire à court terme Jeu : « le train des nombres » (de 0 à 9) une personne du groupe dit un nombre une deuxième répète ce nombre puis en dit un autre (de façon aléatoire) …et ainsi de suite, jusquà la première erreur Elle a une capacité limitée ( jusquà 7 unités environ ) Jeu : redire la dernière suite de nombres proposée Logiquement, échec ! La mémoire de travail est volatile (3 à 30 s)

47 La mémoire à long terme Jeu : mémorisez la suite de nombres suivants : Cette suite dépasse la capacité de travail. Quelquun a-t-il mémorisé cette suite ? Comment as-tu fait ? Cest la suite des nombres premiers démarrant à 13 ! Dans la mémoire de travail, divisée en 7 « cellules », seule la première est utilisée pour conserver le nombre 13. La mémoire de travail va chercher linformation dans la mémoire à long terme qui connaît les « premiers » nombres premiers ou qui peut reconstruire cette suite. On a intérêt à développer la mémoire à long terme afin déviter la surcharge de la mémoire de travail. Rem : certains phénomènes sont capables de mémoriser des dizaines de pages de chiffres ! (construction dun réseau de relation entre les nombres ; nombres deviennent des images mentales…)

48 Linstinct « grégaire » des nombres Abus de langage ? Toujours est-il que la notion de nombre nexiste que si lélève a mis en place des relations entre les nombres. Plus le réseau de relations est dense, plus lélève a dhabiletés dans la manipulation du nombre. Par exemple : Quart de 100 moitié de 50 Carré de impair Double de 12,5 … Peut-être ! 25

49 Construire une séance type dun calcul procédural nouveau

50 Une proposition de séance pour aborder une nouvelle procédure Échauffement rapide : Activation pré- requis Proposition dun nouveau calcul (exemple : x 9) Dans un premier temps, laisser les élèves explorer différentes procédures personnelles. Récolement de plusieurs procédures à expliciter par les élèves. Retenir la plus efficiente. Application : apprendre à utiliser la procédure retenue. Synthèse : garder une trace écrite. Langages littéral ET mathématique Exemple : Multiplier un nombre par 9, cest multiplier le nombre par 10 puis enlever une fois le nombre. 17 x 9 = (17 x 10) – (17 x 1) Trace écrite sur un affichage mural, dans un cahier de calcul procédural… Faire émerger oralement par les élèves la trace à conserver. Rôle du maître Les différentes étapes de la séance Mais ce nest pas tout….

51 Il faudra… Les jours suivants, sentraîner pour systématiser la nouvelle procédure jusquà son acquisition : Procédé dit La Martinière Calculs rapides écrits Jeux mathématiques Logiciels de mathématiques… Programmer des séances de consolidation ou de rappel. Les mois suivants, pensez à réactiver la procédure qui aura pu être oubliée. Pour favoriser la mémorisation, prévoir un court moment de rappel dès le premier soir (5 min.)

52 Recommandations horaires du document Eduscol Type dactivitéFréquenceDuréeProcédé Entraînement - Consolidation - Systématisation chaque jour 10 à 15 min La Martinière Découverte ou explicitation dune procédure une fois par semaine 30 min Voir diapos précédentes

53 Quelques exemples dactivités pour la systématisation Nous avons choisi de vous proposer des exercices ou des jeux qui permettent de développer : des connaissances de calcul des compétences de calcul mental des propriétés des nombres et les relations qui les lient Toutefois, le calcul mental ne peut pas se limiter à des jeux. Ceux-ci viennent en appui de lentraînement quotidien.

54 Les cartons-éclairs

55 La fiche de calcul rapide traditionnelle …

56 Le tableau des propriétés 12est le double de est la moitié de10 est plus grand que est le quart de 12,537,5 20,4est le triple de ¼est le seizième de est le quadruple de 100 est le tiers de 6,8 4

57 Le recto-verso Préparer des cartes portant au verso un nombre et au dos son complément à 10 ou à 100 ou à Les élèves doivent deviner le nombre figurant au dos de la carte. Ce jeu peut être proposé en atelier ou mené en grand groupe.

58 Faire 20 Préparer des carrés semblables à celui ci-dessous en variant les nombres utilisés. Le jeu consiste à associer des côtés de deux carrés de façon à ce que la somme des deux nombres soit égale à 20. On peut modifier la valeur à trouver en fonction des nombres inscrits. Ce jeu peut être proposé de sous deux formes : Seul, essayer de construire la figure la plus complète possible. A plusieurs, utiliser le jeu comme des dominos.

59 Cascades Les nombres noirs étant donnés, il faut trouver les cases vides (nombres jaunes) en sachant que le nombre figurant dans la case est égal à la somme des deux se trouvant au-dessus. Les règles de construction peuvent varier (soustraction, produit).

60 Le nombre mystère Un nombre est écrit derrière le tableau, les enfants doivent le deviner en posant des questions. Plusieurs règles peuvent être proposées : En proposant des nombres successifs (travail sur l'encadrement). En recherchant indépendamment le chiffre des unités, puis celui des dizaines par des questions, mais sans proposer une valeur, (nombres pairs, plus grand que..., plus petit...).

61 Les devinettes Faire deviner le nombre à partir de devinettes posées par le maître : exemple : « Je suis un nombre qui a 2 chiffres. Mon chiffre des unités est pair et plus petit que 5. Mon chiffre des dizaines est le double des unités et supérieur à 5. » Je suis 84. On peut aussi proposer à un élève de faire deviner un nombre. Nb : Le travail sur le lexique spécifique est alors important.

62 Les nombres pairs Le chemin de ce labyrinthe est fait de nombres pairs. Pour passer d'une case à l'autre, il faut un nombre pair plus grand que le précédent. Commencer à gauche case 22 et finir en bas à droite case 488. Tracer le bon chemin. (le même jeu peut être proposé avec des nombres impairs)

63 Le jeu des pastilles

64 Labyrinthes additionner ou soustraire Trouve le chemin qui mène à la sortie : pour passer d'une case à l'autre, il faut ajouter 2. La sortie du labyrinthe se trouve dans la case en bas à droite. Le même exercice peut être effectué avec des soustractions.

65 Le quinze vainc Chaque joueur dispose de 3 pions, bleus pour lun, rouges pour lautre. Chacun pose à son tour un pion pour essayer datteindre 15 en additionnant les nombres associés à ses 3 pions. Si tous les pions sont posés, chaque joueur, à tour de rôle, déplace un pion vers une case libre. Le gagnant est celui qui réalise le total de 15. Variables : le nombre à atteindre (15). le nombre de joueurs (prévoir dans ce cas plus de cases). la valeur des cases (il paraît intéressant dutiliser également les décimaux)

66 Des jeux de calcul proposés par François Boule Dans cet ouvrage paru en 1994, François Boule propose de « rendre attrayants et ludiques les exercices de mathématiques pour éviter la lassitude des exercices scolaires peu motivants ». Trois niveaux de jeux sont en général proposés : CE, CM et CM-6 ème

67 Carrés emboîtés

68 Carrés de…

69 Mais aussi des carrés plus compliqués…

70 Les parcelles Toutes les parcelles sont carrées. Trouver la dimension des côtés, ainsi que les dimensions du cadre extérieur

71 Opérations à trous

72 Les séries

73 Carrés magiques Comment savoir à quelle somme en lignes et en colonnes doivent aboutir les carrés magiques de 16 cases avec des nombres de 1 à 16 ? On calcule la moyenne des bornes (1 et 16) que lon multiplie par 4. (16 + 1) : 2 = 8,5 8,5 x 4 = 34

74 Opérations imaginaires Il sagit de découvrir une opération imaginaire : cest-à-dire une règle qui aux deux premiers nombres, associe le troisième. Règle : Produit des 2 nombres diminué de 1 35 Règle : 2 x (somme) PS : la présentation sous forme dopération peut induire la recherche dun opérateur. Il est préférable selon nous décrire : 1 2 1

75 Opérations codées = 3 = 5 = 1 = 7 = 5

76 Tables codées = 1 = 5 = 7 = 3

77 Dautres propositions faites par le groupe Ermel dans le module « savoir calculer » Remarque : certaines propositions ont déjà été présentées dans ce diaporama.

78 Le golf Partant dun nombre de départ, un nombre-cible est à atteindre en appliquant des règles dajout et/ou de retrait. exemple : « Je vous donne le nombre de départ : 15, et la cible, 42. Pour aller de 15 à 42, vous devez ajouter des 7 et soustraire des 2. » (CE2, 2 ème période) La solution consiste dans cet exemple, à faire 5 additions de 7 et 4 soustractions de 2 (peu importe lordre). Il y a une infinité de solutions : 7 additions et 11 soustractions, …. Attention, un choix dopérations et de cibles pris au hasard peut parfois se révéler très difficile.

79 Les calculs que lon peut faire mentalement Le maître dicte des calculs en les écrivant au fur et à mesure au tableau. Les élèves doivent écrire le résultat au fur et à mesure uniquement dans le cas où ils peuvent le trouver mentalement. exemple de suite de calculs (CE2, période 3 et 4) : 759 – – – – – – – – – 639 Dautres façons de procéder sont envisageables.

80 Le compte est bon mutualisation doutils

81 Un compte est bon… x 8 = = x 3 = 639 Au CM, proposer également des résultats approchés. Exemple ici : 638

82 Les objectifs spécifiques Développer et expliciter les procédures de calcul. Développer les relations et les propriétés quentretiennent les nombres entre eux Prévoir lordre de grandeur du résultat dune opération. Traduire un calcul par une écriture en ligne avec éventuellement lusage des parenthèses. Effectuer des essais, triturer les nombres pour tenter dapprocher le résultat juste. Faire des mathématiques sous un aspect ludique.

83 Le travail de mutualisation A partir dun tableau précisant des compétences de calcul mental par niveau de classe, nous vous proposons de construire des grilles de « compte est bon ». Pour chaque « compte est bon », il sagit de proposer des nombres qui favoriseront lutilisation sur une des opérations au moins, dune compétence cible que lon se fixe. On pourra aussi, construire des grilles, adaptés au niveau des élèves, où les compétences de calcul à utiliser sont aléatoires. Des grilles pourraient aussi être construites dans les classes par les élèves.

84 Conclusion – Synthèse

85 1.Laspect cumulatif des mathématiques nécessite une programmation et une cohérence décidées par lensemble de léquipe pédagogique, de la maternelle au CM2. 2.Une systématisation des connaissances et des procédures permet à lélève de réussir des traitements de base en mobilisant le minimum dattention et de mémoire, de sorte quil puisse consacrer ces ressources aux activités les plus complexes. 3.Le calcul (technique opératoire et calcul mental) est une activité à pratiquer de façon quotidienne.

86 Deux ouvrages à conseiller


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