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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Géométrie vectorielle Géométrie vectorielle.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Géométrie vectorielle Géométrie vectorielle

2 Introduction En géométrie vectorielle, nous nous intéressons, dans un premier volet, à la description par des équations de lieux géométriques dans R 2 et dans R 3. Ces lieux sont des droites ou des plans dont les caractéristiques géométriques sont données à laide de vecteurs et de points. Le troisième volet porte sur le calcul dangles et de distances dans le plan et dans lespace ainsi que sur la détermination du point dun lieu le plus rapproché dun point hors de ce lieu. Le deuxième volet est la détermination des positions relatives de ces lieux et de leur intersection. Il sagit essentiellement de résoudre des systèmes déquations et dinterpréter le résultat selon le contexte. Dans cette étude, nous utilisons les produits de vecteurs, produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte. Nous utilisons la description vectorielle dun lieu (droite ou plan) pour obtenir la description paramétrique de ce lieu.

3 Produits de vecteurs Dans cette première section, nous reverrons les trois produits de vecteurs et leur interprétation géométrique.

4 Cette interprétation géométrique permet de calculer langle entre deux vecteurs. En effet, en isolant cos, on obtient : Géométriquement, le produit scalaire de deux vecteurs est le produit des modules par le cosinus de langle entre les vecteurs. On peut également se servir de ce résultat pour calculer langle entre des droites et des plans. Produit scalaire

5 Projection et produit scalaire Cela permet de calculer des distances dans R 2 et dans R 3. Le produit scalaire de deux vecteurs donne le produit du module de lun des deux et de la longueur dirigée de la projection orthogonale du second sur le premier. Par conséquent, la longueur de la projection orthogonale dun vecteur sur lautre est donnée par :

6 Produit scalaire de vecteurs algébriques Nous utilisons cette façon de faire pour effectuer le produit scalaire de vecteurs algébriques dans R 2 et dans R 3 lorsquon veut calculer des angles ou des distances. Le produit scalaire de deux vecteurs algébriques de R 2 ou de R 3 peut être obtenu directement à partir des composantes. En effet, dans la base orthonormée usuelle, les composantes véhiculent linformation sur la direction, le sens et le module des vecteurs, donc sur langle entre ceux-ci.

7 Produit vectoriel Pour appliquer la règle de la main droite, on tend celle-ci dans le sens du vecteur à gauche du symbole dopération de telle sorte que lon puisse fermer la main en tournant vers le vecteur qui est à droite du symbole dopération. Le pouce indique le sens du produit vectoriel.

8 Module du produit vectoriel Dans le produit vectoriel, le module est égal au produit des modules et du sinus de langle entre ceux-ci.

9 Produit vectoriel de vecteurs algébriques En géométrie vectorielle, on utilise ce produit pour calculer la distance dun point à une droite. Le produit vectoriel de deux vecteurs algébriques de R 3 peut être obtenu directement à partir des composantes. En effet, dans la base orthonormée usuelle, les composantes véhiculent linformation sur la direction, le sens et le module des vecteurs, donc sur langle entre ceux-ci.

10 Produit mixte

11 On utilise le produit mixte pour déterminer léquation cartésienne dun plan dont on connaît deux vecteurs directeurs et un point ou léquation dun plan dont on connaît trois points. On lutilise également pour trouver la distance dun point à un plan en considérant que cette distance est la hauteur dun parallélépipède. Le produit mixte de trois vecteurs algébriques de R 3 peut être obtenu directement à partir des composantes dans la base orthonormée usuelle.

12 Produits nuls Le produit scalaire est nul si et seulement si les deux vecteurs sont perpendiculaires. En effet, cos 90° = 0. Le produit vectoriel est nul si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires. En effet, sin 0° = 0 et sin 180° = 0. Pour des vecteurs algébriques de R 3, cela se traduit par le fait que le déterminant comporte deux lignes proportionnelles. Le produit mixte est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires. Pour des vecteurs algébriques de R 3, cela se traduit par le fait que lune des lignes du déterminant est combinaison linéaire des deux autres. Produit scalaire nul Produit vectoriel nul Produit mixte nul

13 Équations cartésiennes Dans cette deuxième section, nous présentons les procédures pour trouver léquation cartésienne dune droite de R 2 et dun plan dans R 3.

14 Équation dune droite de R 2 Considérons une droite dont on connaît un point R(x 1 ; y 1 ) et un vecteur normal N = (a; b). Pour quun point P(x ; y) soit sur cette droite, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. N RP = (a ; b) (x – x 1 ; y – y 1 ) = 0, doù : ax + by – ax 1 – by 1 = 0. Un point et un vecteur normal sont donnés On doit donc avoir : Dans cette équation, –ax 1 – by 1 est une constante que lon désigne par c. On a donc une équation de la forme : Réciproquement, on peut prouver que ax + by + c = 0 est léquation dune droite perpendiculaire au vecteur N = (a; b). ax + by + c = 0 Remarque : Dans léquation cartésienne de la droite, les coefficients des variables donnent un vecteur normal à la droite.

15 Équation cartésienne dun plan de R 3 doù : ax + by + cz – ax 1 – by 1 – cz 1 = 0 et léquation cartésienne est : Un point et un vecteur normal sont donnés On doit donc avoir : = (a ; b; c) (x – x 1 ; y – y 1 ; z – z 1 ) = 0, Considérons un plan dont on connaît un point R(x 1 ; y 1 ; z 1 ) et un vecteur normal N = (a; b; c). Pour quun point P(x ; y; z) soit dans ce plan, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N.N. ax + by + cz + d = 0, où d = – ax 1 – by 1 – cz 1 N RP Dans léquation cartésienne du plan, les coefficients des variables donnent un vecteur normal au plan. Remarque :

16 Équations vectorielles et équations paramétriques Dans cette troisième section, nous présentons les procédures pour trouver léquation vectorielle et les équations para- métriques dune droite de R 2, dune droite de R 3 et dun plan dans R 3. Mais tout dabord, nous rappelons comment situer un point dans un repère par un vecteur position.

17 Vecteur position Rappelons quun repère dune droite est constitué dun point de celle-ci et dun vecteur directeur. À partir dun point fixe considéré comme origine, on peut décrire chaque point de la droite par un vecteur position. En considérant que le domaine de variation du paramètre est R, on obtient alors une équation vectorielle de la droite, soit : Remarque : OX = OP + t D, où t est un nombre réel. Dans R 2, les vecteurs OX, OP et D sexpriment en fonction de la base. On utilisera la base orthonormée usuelle.

18 Équations paramétriques dune droite de R2R2 Considérons une droite dont on connaît un point R(x 1 ; y 1 ) et un vecteur directeur D = (a; b). Soit un point P(x; y) de cette droite, alors : (x; y) = (x 1 ; y 1 ) + t (a; b) = (x 1 + a t; y 1 + b t), où t est un nombre réel. Remarque : Dans une description paramétrique de la droite, les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite. Un point et un vecteur directeur sont donnés Cela donne léquation vectorielle : OP = OR + RP OP = OR + t D, où t est un nombre réel. Légalité des vecteurs donne la description paramétrique de la droite : : x = x 1 + a t y = y 1 + b t, où t est un nombre réel., doù :

19 Équations paramétriques dune droite de R 3 Considérons une droite dont on connaît un point R(x 1 ; y 1 ; z 1 ) et un vecteur direc- teur D = (a; b; c). Soit un point P(x; y; z) de cette droite, alors : (x; y; z) = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) + t (a; b; c) = (x 1 + a t; y 1 + b t; z 1 + c t), où t est un nombre réel. Remarque : Les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite. Un point et un vecteur directeur sont donnés Cela donne léquation vectorielle : OP = OR + t D, où t est un nombre réel. Doù lon tire : : x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t, où t est un nombre réel. OP = OR + RP, doù :

20 Équations paramétriques dun plan de R 3 Soit un point P(x; y; z) de ce plan, alors : (x; y; z) = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) + s (a; b; c) + t (d; e; f) Remarque : Dans la description paramétrique, les coefficients des paramètres donnent des vecteurs directeurs du plan et les constantes donnent un point du plan. Un point et deux vecteurs directeurs sont donnés Cela donne léquation vectorielle : OP = OR + RP Doù lon tire : : x = x 1 + a s + d t y = y 1 + b s + e t z = z 1 + c s + f t, où s et t R. Considérons un plan dont on connaît un point R(x 1 ; y 1 ; z 1 ) et deux vecteurs direc- teurs D 1 = (a; b; c) et D 2 = (d; e; f)., doù :, où s et t R. S S OP = OR + s D 1 + t D 2 = (x 1 + a s + d t; y 1 + b s + e t; z 1 + c s + f t), où s et t R.

21 Équation cartésienne dun plan de R 3 On peut trouver léquation cartésienne de ce plan de la façon suivante. Soit un point P(x; y; z) du plan. Remarque : Un point et deux vecteurs directeurs sont donnés Considérons un plan dont on connaît un point R(x 1 ; y 1 ; z 1 ) et deux vecteurs direc- teurs D 1 = (a; b; c) et D 2 = (d; e; f). On a donc : RP ( D 1 D 2 ) = 0, où RP = (x – x 1 ; y – y 1 ; z – z 1 ) Alors, les vecteurs RP, D 1 et D 2 sont coplanaires. On procède de façon analogue lorsquon connaît trois points A, B et C dun plan. À laide de ces points, on détermine deux vecteurs directeurs du plan, soit D 1 = AB et D 2 = AC. La contrainte pour quun point P(x; y; z) soit dans ce plan est alors que les vecteurs AB, AC et AP soient coplanaires. Leur produit mixte est donc nul.

22 Calcul dangles Dans cette quatrième section, nous présentons les procédures pour trouver langle entre deux droites de R 2, langle entre deux plans de R 3, langle entre deux droites de R 3 et langle entre une droite et un plan de R 3.

23 Angle entre deux droites dans R 2 Pour calculer langle entre deux droites dans R 2, on doit déterminer des vecteurs, normaux ou directeurs, à partir des équations et calculer langle entre ceux-ci. S Rappelons que langle entre deux droites est toujours le plus petit des deux. Il est donc compris entre 0° et 90° alors que langle entre deux vecteurs est compris entre 0° et 180°. On peut rencontrer différents cas. Dans ces deux cas, langle entre les vecteurs est langle entre les droites. On a donc = Vecteurs normaux faisant un angle aigu Vecteurs directeurs faisant un angle aiguVecteurs normaux faisant un angle obtusVecteurs directeurs faisant un angle obtus Langle entre les vecteurs est langle supplémentaire de celui entre les droites. On a donc = 180° – Un vecteur directeur et un vecteur normal faisant un angle aiguUn vecteur directeur et un vecteur normal faisant un angle obtus SS Soit, langle entre les vecteurs (normaux ou directeurs), langle entre les droites est donné par : =, si 0° 90° = 180° –, si 90° 180° Pour obtenir directement langle (entre 0° et 90°), on prend la valeur absolue avant de calculer larccosinus. SS Langle entre les droites est le complémentaire de langle aigu entre les vecteurs. On a donc = 90° – Langle entre les droites est = – 90° Dans les deux cas, langle entre les droites est le complémentaire de langle aigu obtenu en prenant la valeur absolue avant de calculer larccosinus. On prend ensuite = 90° –

24 Angle entre deux plans dans R 3 Pour calculer langle entre deux plans dans R 3, on doit déterminer des vecteurs normaux à partir des équations et calculer langle entre ceux-ci. Langle entre deux plans est toujours compris entre 0° et 90° alors que langle entre les vecteurs peut être aigu ou obtus. Si est langle entre les vecteurs normaux, langle entre les plans est donné par : Pour obtenir directement langle cherché, on prend la valeur absolue avant de calculer larccosinus. =, si 0° 90° = 180° –, si 90° 180°

25 Angle entre deux droites dans R 3 Pour calculer langle entre deux droites 1 et 2 dans R 3, on doit déterminer des vecteurs directeurs à partir des équations et calculer langle entre ceux-ci. Dans R 3, deux droites coplanaires, peuvent être concourantes ou parallèles. Langle entre deux droites est toujours compris entre 0° et 90°, on peut donc prendre la valeur absolue avant de calculer larccosinus. Des droites non-coplanaires, sont appelées droites gauches. Langle entre deux droites est défini même si les droites sont gauches, et cest langle aigu formé par les vecteurs directeurs de ces droites.

26 Angle entre une droite et un plan dans R 3 Pour calculer langle entre un plan et une droite dans R 3, on doit déterminer un vecteur normal au plan et un vecteur directeur de la droite à partir des équations et calculer langle entre ceux-ci. On prend la valeur absolue avant de calculer larccosinus pour obtenir langle compris entre 0° et 90°. Langle entre le plan et la droite est langle complémentaire de, soit : 90° –

27 Calcul de distances Dans cette cinquième section, nous présentons les procédures pour calculer des distances dans R 2 et dans R 3.

28 Distances dans R 2 Distance dun point Q à une droite dont on connaît un vecteur normal. On détermine un point P sur la droite ainsi que le vecteur PQ. La distance cherchée est alors la longueur de la projection du vecteur PQ sur le vecteur normal N. Distance entre deux droites parallèles dont on connaît un vecteur normal. On détermine un point P sur une des droites et un point Q sur lautre. On détermine alors le vecteur PQ. La distance cherchée est la longueur de la projection du vecteur PQ sur le vecteur N normal aux deux droites.

29 Conclusion Les produits de vecteurs constituent des outils très performants en géométrie vectorielle. Cest à laide des produits que lon détermine les équations de lieux géométriques dans R 2 et dans R 3. On les utilise également pour calculer des angles, des distances et pour déterminer le point dun lieu géométrique le plus près dun point hors de ce lieu.

30 Lecture et exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Chapitres 9, 10, 11 et 12. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Chapitres 8, 9 et 10.


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