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1 Modélisation Bond Graph 2- Causalité PAG + FMEEA / Commande des systèmes industriels C : S 1 C : S 2 Sf : d 1 h1h1 0 h1h1 h1h1 d1d1 d2d2 d2- d1d2- d1.

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1 1 Modélisation Bond Graph 2- Causalité PAG + FMEEA / Commande des systèmes industriels C : S 1 C : S 2 Sf : d 1 h1h1 0 h1h1 h1h1 d1d1 d2d2 d2- d1d2- d1 R : R 1 1 d2d2 h1h1 R : R 2 h2h2 0 h2h2 h2h2 d2d2 d 2 -d 3 d3d3 R1R1 d 1 (t) h 1 (t) d 2 (t) h 2 (t) d 3 (t) S2S2 S1S1 R2R Notion de causalité 1-2- Affectation de la causalité 1-3- Propagation de la causalité 1-4- Cas particuliers 1-5- Exercices

2 2 Introduction BG2-1- Notion de causalité Notion fondamentale : - Définit les relations de cause à effet en vue de la commande - Structure les équations en vue de la résolution - Permet la détection derreurs de modélisation Γ u i Exemple : Moteur à courant continu Le moteur tourne car il est alimenté Lalimentation électrique du moteur est la cause et sa rotation la conséquence La causalité a un sens physique

3 3 2 cas possibles : - A impose leffort à B qui en retour impose le flux à A - A impose le flux à B qui en retour impose leffort à A La barre de causalité est du côté de lélément qui impose le flux ou à qui leffort est imposé barre de causalité f = φ(e) e = φ(f) AB e f AB e f Expression de la causalité dans les Bond Graph A B e f A B e f BG2-1- Notion de causalité

4 4 PFD: La masse acquiert de la vitesse car elle est soumise à une force est une causalité intégrale Il nexiste (à priori) pas de système physique à causalité dérivée est une causalité dérivée Cest la force qui est imposée causalité intégrale F V I : m m V F Exemple : Mise en mouvement dune masse Causalité intégrale, causalité dérivée BG2-1- Notion de causalité f = φ(e) ou

5 5 Résolution des équations Il est souhaitable dobtenir des équations sous la forme qui conduit à limplantation Recherche dune loi de commande Principe de linversion de modèle : puisquon connaît les effets dune cause, il suffit de choisir la bonne cause pour obtenir leffet désiré, à condition que le modèle respecte la causalité naturelle (intégrale)... BG2-1- Notion de causalité Cest une équation différentielle ordinaire (ODE), qui se résout avec les méthodes dintégration explicites comme celle de Runge Kutta Si certains éléments restent en causalité dérivée, il apparaîtra des équations algébro-différentielles de la forme Elles sont traitées par des méthodes dintégration implicites, plus délicates à utiliser Il faut privilégier la causalité intégrale Préférence à la causalité intégrale

6 6BG2-2- Affectation de la causalité Causalité des sources et de léléments R Se Sf Source deffort Source de flux e imposé par Se f imposé par Sf Causalité imposée Causalité indifférente e = R.f Elément R f = e/RR R Cas particulier : frottement sec Causalité flux Pour F donné, on ne connaît pas forcément v R F v

7 7BG2-2- Affectation de la causalité Causalité préférentielle = intégrale I Elément I C Elément C Dans le cas où il faudrait utiliser la causalité dérivée, les équations diffèrent : I C Causalité des éléments I et C

8 8BG2-2- Affectation de la causalité Restrictions de causalité Jonction 1 f 1 = f 2 = f 4 = f 3 e 3 = e 1 + e 2 - e 4 ici cest f 3 qui simpose : Egalité des flux un seul lien impose le flux à la jonction un seul lien sans trait causal près du 1 Jonction 0 e 2 = e 3 = e 4 = e 1 f 1 = -f 2 + f 3 + f 4 ici cest e 1 qui simpose : Egalité des efforts un seul lien impose leffort à la jonction un seul lien avec trait causal près du 0 Causalité des jonctions

9 9 Transformateur Gyrateur e 1 = m.e 2 f 2 = m.f 1 Pas de permutation de la nature énergétique même causalité en entrée et en sortie affectation symétrique de la causalité TF : m e 2 = 1/m.e 1 f 1 = 1/m.f 2 2 cas e 1 = r.f 2 e 2 = r.f 1 Permutation de la nature énergétique affectation antisymétrique de la causalité GY : r f 2 = 1/r.e 1 f 1 = 1/r.e 2 Restrictions de causalité (suite) BG2-2- Affectation de la causalité Causalité du transformateur et du gyrateur

10 10 Règles de propagation de la causalité BG2-3- Propagation de la causalité 1.Affecter les causalités imposées par les sources 2.Mettre les éléments I et C en causalité intégrale 3.Propager les causalités aux jonctions, transformateurs et gyrateurs 4.Affecter les causalités (de façon indifférente) aux éléments R Létape 2 peut amener des conflits de causalité. On peut alors : - accepter de changer une causalité intégrale en une causalité dérivée et reprendre en 3 (causalité mixte) - reprendre la modélisation en ajoutant des éléments qui auraient été négligés (par exemple en mécanique un élément C qui tient compte de la flexibilité dune pièce), ou à linverse en simplifiant le modèle (par exemple en mécanique en ramenant les inerties sur le même axe)

11 11BG2-3- Propagation de la causalité Exemple : Système masse ressort V1V1 V2V2 f F K2K2 K1K1 m1m1 m2m2 + I : m 1 Se : F I : m 2 C : 1/K 2 C : 1/K 1 R : f 1 : V 1 1 : V : V 3 Bond Graph simplifié du

12 12BG2-4- Cas particuliers Causalité non unique ou non définie Causalité non unique Il ny a pas toujours unicité dans laffectation de la causalité aux éléments R Ce degré de liberté peut créer des équations implicites problématiques pour la résolution numérique Causalité non définie Exemple : Charge dune batterie Se : Vg 1 : ISe : Vg conflit ! Solution : ajouter un élément R qui modélise la résistance du fil VgVb Se : Vg 1 : ISe : Vg R : R VgVb Chargeur Batterie

13 13 Causalité mixte Exemple : Bras de levier Solutions : - accepter une causalité mixte : mettre m 1 ou m 2 en causalité dérivée - réunir les 2 masses en une seule ayant une inertie équivalente - introduire une flexibilité du levier (ajoute une variable détat...) conflit ! Se : F I : m 2 C : 1/K 2 I : m 1 1 : V 1 1 : V 2 TF : b/a Cause : Traduction de la dépendance existant entre les vitesses des 2 masses K m2m2 m1m1 a b V1V1 V2V2 F V 2 / V 1 = b/a BG2-4- Cas particuliers

14 14 Exercices Se : C R : R 3 0 C : 1/K 1 I : J 1 : 1 1 : 2 1 : V 1 TF : D/2 1 : I 1 + I 2 0 : V Se : V e C : CR : R I : L BG2-5- Exercices VeVe VsVs R C L

15 15 Sf : V 12 I : M 1.r² 1 : 3 1 : V 45 1 : V 3 TF : -r 0 TF : 1/r 0 Se : – M 1.g I : M 1 C : 1/K 4 I : M 2 Se : – M 2.g BG2-5- Exercices Conflits de causalité à cause de la non prise en compte de K 2 K 3 relations entre les vitesses... K2K2 K3K3


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