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Contexte historique et religieux des mathématiques en Inde Trois grands mathématiciens de cette époque Les mathématiques indiennes (particulièrement étudiées.

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Présentation au sujet: "Contexte historique et religieux des mathématiques en Inde Trois grands mathématiciens de cette époque Les mathématiques indiennes (particulièrement étudiées."— Transcription de la présentation:

1 Contexte historique et religieux des mathématiques en Inde Trois grands mathématiciens de cette époque Les mathématiques indiennes (particulièrement étudiées par les religieux) se manifestent brillamment dès le V e siècle avec : Les mathématiques indiennes (particulièrement étudiées par les religieux) se manifestent brillamment dès le V e siècle avec : ARYABHATA ARYABHATA - affirmation de la rotation de la terre alors considérée immobile au centre de l'univers (Ptolémée/Aristote), - affirmation de la rotation de la terre alors considérée immobile au centre de l'univers (Ptolémée/Aristote), - extraction des racines carrées et cubiques, - extraction des racines carrées et cubiques, - résolution déquations diophantiennes, - résolution déquations diophantiennes, - utilisation dun système décimal positionnel où zéro apparaît implicitement ;(?) - utilisation dun système décimal positionnel où zéro apparaît implicitement ;(?) BRAHMAGUPTA BRAHMAGUPTA - invention du zéro liée à l'usage d'un système décimal positionnel, - invention du zéro liée à l'usage d'un système décimal positionnel, - règles des signes relatives à la multiplication ; - règles des signes relatives à la multiplication ; BHASKARA BHASKARA - a utilisé correctement le zéro, - a utilisé correctement le zéro, - a effectué des calculs avec l'infini et - a effectué des calculs avec l'infini et - a manié avec facilité les opérations sur les racines carrées. - a manié avec facilité les opérations sur les racines carrées.

2 Les mathématiques indiennes et BRAHMAGUPTA II.Classification des mathématiques indiennes A.Les mathématiques « pratiques » - construction régulière (carré, disque, trapèze, triangle, etc.); - construction régulière (carré, disque, trapèze, triangle, etc.); - quadrature du cercle, approximations de nombres irrationnels; - quadrature du cercle, approximations de nombres irrationnels; - triangles rectangles à côtés entiers (propriété de Pythagore). - triangles rectangles à côtés entiers (propriété de Pythagore). B.Les mathématiques « théoriques » B.Les mathématiques « théoriques » - calcul élémentaire; - calcul élémentaire; - études et résolution déquations; - études et résolution déquations; - calculs trigonométriques. - calculs trigonométriques.

3 Les mathématiques indiennes et BRAHMAGUPTA III.Qui est BRAHMAGUPTA ? IL est né dans le nord-ouest de l'Inde en 598 à Multan (Pakistan) (?) IL est né dans le nord-ouest de l'Inde en 598 à Multan (Pakistan) (?) Il dirigeait un observatoire astronomique à Ujjain. Il dirigeait un observatoire astronomique à Ujjain. Il a écrit deux livres : Il a écrit deux livres : Son premier livre « Brahma-sphuta-siddhanta », écrit en 628 à lâge de 30 ans, contient 25 chapitres de mathématiques. Son premier livre « Brahma-sphuta-siddhanta », écrit en 628 à lâge de 30 ans, contient 25 chapitres de mathématiques. – Définition du zéro = résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même, – Il explique la notion décimale de la position en utilisant les neuf chiffres et le zéro, – On trouve la règle des signes sur les biens (positifs), les dettes (négatifs) et le néant (zéro), – Il donne une méthode de calcul « la gomutrika », – Il généralise la formule de Héron dAlexandrie, – Il nous lègue une identité qui porte son nom, – Il a utilisé la barre de fraction et effectué des réductions au même dénominateur pour des sommes de fractions, – Il a commencé à utiliser la notion d'inconnue qu'il appelle « ya », (?) – Il étudie des équations diophantiennes, – Il a aussi utilisé une technique qui s'apparente à un logarithme de base 2, – Il a établi une règle d'interpolation que développera Newton plus tard, Son deuxième livre « Khandakhadyaka » a été écrit à lâge de 67 ans, Son deuxième livre « Khandakhadyaka » a été écrit à lâge de 67 ans, – Il avait poursuivi ainsi les travaux dARYABHATA ( ) sur des cas particuliers déquations dinconnues entières du type ax + by = c – Il explique que la terre fait le tour du soleil en 365 j, 6 h et 36 sec.

4 Apports de BRAHMAGUPTA 1. Arithmétique des nombres négatifs et de zéro BRAHMAGUPTA est le premier à présenter, par des calculs de pertes et de profits, des règles sur les nombres négatifs. Ayant défini le zéro comme le résultat de la soustraction dun nombre par lui-même, il lui associe ces règles de calculs : - Zéro soustrait de zéro est zéro ; - Zéro soustrait dune dette est une dette ; - Zéro soustrait dune dette est une dette ; - Zéro soustrait dun bien est un bien ; - Zéro soustrait dun bien est un bien ; - Une dette soustraite de zéro est un bien ; - Une dette soustraite de zéro est un bien ; - Un bien soustrait de zéro est une dette ; - Un bien soustrait de zéro est une dette ; - Le produit de zéro multiplié par une dette ou un bien est zéro ; - Le produit de zéro multiplié par une dette ou un bien est zéro ; - Le produit ou le quotient de deux biens est un bien ; - Le produit ou le quotient de deux biens est un bien ; - Le produit de zéro multiplié par zéro est zéro ; - Le produit de zéro multiplié par zéro est zéro ; - Le produit ou le quotient de deux dettes est un bien ; - Le produit ou le quotient de deux dettes est un bien ; - Le produit ou le quotient d'une dette et dun bien est une dette ; - Le produit ou le quotient d'une dette et dun bien est une dette ; - Le produit ou le quotient dun bien et d'une dette est une dette. - Le produit ou le quotient dun bien et d'une dette est une dette. (?) Grâce à Al-Fazari qui avait traduit vers 771 louvrage de Brahmagupta en arabe, ces nouveaux concepts mathématiques auront une grande répercussion sur la science dans le monde musulman des VIII e et IX e siècle et par la suite dans le monde occidental. (?) Grâce à Al-Fazari qui avait traduit vers 771 louvrage de Brahmagupta en arabe, ces nouveaux concepts mathématiques auront une grande répercussion sur la science dans le monde musulman des VIII e et IX e siècle et par la suite dans le monde occidental.

5 Évolution des nombres négatifs (780 – 850) (?) Al Khawarizmi accepte les termes négatifs dans les équations mais sattache à sen débarrasser au plus vite. (780 – 850) (?) Al Khawarizmi accepte les termes négatifs dans les équations mais sattache à sen débarrasser au plus vite. ( ) Le français Nicolas Chuquet est un des premiers à isoler une valeur négative dans une équation avant le mathématicien italien Gerolamo Cardano ( ). ( ) Le français Nicolas Chuquet est un des premiers à isoler une valeur négative dans une équation avant le mathématicien italien Gerolamo Cardano ( ). 1591, François Viète ( ) avait aussi écarté les solutions négatives des équations. 1591, François Viète ( ) avait aussi écarté les solutions négatives des équations. 1629, Albert Girard avait admis lexistence de racines négatives ou imaginaires dans une équation. 1629, Albert Girard avait admis lexistence de racines négatives ou imaginaires dans une équation. 1637, René Descartes ( ) qualifie de « moindres que rien » de telles solutions (2). 1637, René Descartes ( ) qualifie de « moindres que rien » de telles solutions (2). 1715, Daniel Gabriel Fahrenheit ( ) avait conçu en 1715 un thermomètre pourvu dune graduation évitant les températures négatives. 1715, Daniel Gabriel Fahrenheit ( ) avait conçu en 1715 un thermomètre pourvu dune graduation évitant les températures négatives. 1742, Anders Celsius ( ) navait pas pris en compte les négatifs en mettant au point son thermomètre à mercure gradué entre 0 et 100 degrés. 1742, Anders Celsius ( ) navait pas pris en compte les négatifs en mettant au point son thermomètre à mercure gradué entre 0 et 100 degrés. Il a fallu attendre lécossais Colin Maclaurin ( ) puis le suisse Leonhard Euler ( ) pour voir apparaître des axes aux coordonnées positives et négatives. Il a fallu attendre lécossais Colin Maclaurin ( ) puis le suisse Leonhard Euler ( ) pour voir apparaître des axes aux coordonnées positives et négatives. 1746, le français Alexis Clairaut ( ) donne quelques-unes de ces règles et exprime la nuance entre le signe dun nombre et celui de lopération. 1746, le français Alexis Clairaut ( ) donne quelques-unes de ces règles et exprime la nuance entre le signe dun nombre et celui de lopération. 1821, Augustin Louis Cauchy ( ) dans son « Cours danalyse de lÉcole royale polytechnique » définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée dun signe + ou dun signe , Augustin Louis Cauchy ( ) dans son « Cours danalyse de lÉcole royale polytechnique » définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée dun signe + ou dun signe -. Enfin, lallemand Hermann Hankel ( ) donna aux nombres et en particulier aux nombres relatifs le statut dobjet formel obéissant à des règles préétablies. Enfin, lallemand Hermann Hankel ( ) donna aux nombres et en particulier aux nombres relatifs le statut dobjet formel obéissant à des règles préétablies.

6 Apports de BRAHMAGUPTA 2. Sa méthode de calcul: Gomutrika 3. Aire dun quadrilatère inscrit dans un cercle 4.Identité de Brahmagupta 4. Identité de Brahmagupta 2. Méthode de calcul : la Gomutrika Dans son premier ouvrage, Brahmagupta avait présenté une méthode de calcul, quil avait nommée « Gomutrika » dont la traduction est la « trajectoire de lurine dune vache ». Cette dernière est semblable à celle que nous utilisons encore de nos jours.

7 Formule de Héron dAlexandrie Formule de Brahmagupta Formule de Brahmagupta Soit a, b et c les longueurs des côtés du triangle et p son demi périmètre tel que : p = (a + b + c) /2; p = (a + b + c) /2; alors laire du triangle est : Si a, b, c et d désignent les mesures des côtés et p = (a + b + c + d) /2 le demi périmètre, n peut vérifier ceci pour le carré et pour le rectangle (deux cas particuliers) : on peut vérifier ceci pour le carré et pour le rectangle (deux cas particuliers) : Le carré : b=c=d=a, p=2a et A = Le carré : b=c=d=a, p=2a et A =carré Le rectangle : a=b=L, c=d=l, p=L+l et Le rectangle : a=b=L, c=d=l, p=L+l etrectangle A = A = Aire dun quadrilatère inscriptible

8 4.Lidentité de Brahmagupta 4.Lidentité de Brahmagupta En mathématiques, l'identité de Brahmagupta dit que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Précisément : Cette identité peut facilement être vérifiée en développant les termes à gauche et à droite : Apports de BRAHMAGUPTA Elle est très utilisée pour les entiers.

9 Lidentité de Brahmagupta Par la suite Euler a élargi cette identité à lidentité des quatre carrés, énonçant que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même une somme de quatre carrés.

10 Apports de BRAHMAGUPTA 5.Le parcours du zéro Avant le zéro, quand un marchand d'esclaves achetait cinq esclaves qu'il revendait par la suite, il disait : il me reste cinq moins cinq esclaves. Avant le zéro, quand un marchand d'esclaves achetait cinq esclaves qu'il revendait par la suite, il disait : il me reste cinq moins cinq esclaves. On était incapable d'exprimer le nul, le rien, par un signe symbolique. On était incapable d'exprimer le nul, le rien, par un signe symbolique. Cest le chiffre qui est apparu en dernier. Celui-ci était nommé « sifr » en arabe qui signifiait « vide ». Cest le chiffre qui est apparu en dernier. Celui-ci était nommé « sifr » en arabe qui signifiait « vide ». On imagine difficilement la somme d'efforts qu'il a fallu déployer pour circonscrire le concept de zéro. Essayez donc de figurer « quelque chose » là où il n'y a « rien » ! On imagine difficilement la somme d'efforts qu'il a fallu déployer pour circonscrire le concept de zéro. Essayez donc de figurer « quelque chose » là où il n'y a « rien » ! Selon les Grecs, le nombre zéro est en quelque sorte un nombre associé au vide, au néant. Selon les Grecs, le nombre zéro est en quelque sorte un nombre associé au vide, au néant. C'est seulement au V e siècle après JC., que l'on voit apparaître, chez les Indiens, le zéro à la fois comme chiffre et comme nombre. C'est seulement au V e siècle après JC., que l'on voit apparaître, chez les Indiens, le zéro à la fois comme chiffre et comme nombre.

11 Le parcours du zéro 5.1. Repère chronologique La première étape nous mène à Babylone, au III e siècle av. J.-C. Apparition du premier zéro de l'histoire dans la numérotation positionnelle sexagésimale babylonienne. Il n'est cependant pas conçu comme un nombre, il sert simplement à exprimer l'absence d'unités d'un certain ordre. Le zéro maya était représenté comme ceci. Il était considéré comme un signe permettant d'indiquer l'absence d'unités d'un certain ordre. Les Indiens redécouvrent ensuite vers le V e siècle de notre ère, la numérotation de position. Le zéro de position, qui était matérialisé par une encoche à Babylone, est ici marqué d'un point. Il évoluera bientôt pour prendre la forme d'un rond et était nommé « Sunya » qui signifie « vide » en langue indienne (le sanskrit).Traduit en arabe, Sunya, devient « Sifr » (vide). En 628, son apparition en Inde, tout particulièrement dans lœuvre de Brahmagupta, est un pas de géant en algèbre, il est alors défini comme le résultat d'un nombre entier soustrait à lui-même, Brahmagupta énonça des règles pour opérer sur trois sortes de nombres appelés « biens », « dettes » et « zéro ». Les Indiens redécouvrent ensuite vers le V e siècle de notre ère, la numérotation de position. Le zéro de position, qui était matérialisé par une encoche à Babylone, est ici marqué d'un point. Il évoluera bientôt pour prendre la forme d'un rond et était nommé « Sunya » qui signifie « vide » en langue indienne (le sanskrit).Traduit en arabe, Sunya, devient « Sifr » (vide). En 628, son apparition en Inde, tout particulièrement dans lœuvre de Brahmagupta, est un pas de géant en algèbre, il est alors défini comme le résultat d'un nombre entier soustrait à lui-même, Brahmagupta énonça des règles pour opérer sur trois sortes de nombres appelés « biens », « dettes » et « zéro ».

12 Repère chronologique Il a fallu attendre le VIII e siècle pour voir le zéro apparaître dans le monde arabe. Il fut introduit par un astronome indien à la cour du calif Al-Mansur, à Bagdad en même temps que tout le système de numération indien. Ce n'est quà partir du XII e siècle que le zéro commença à se répandre en Occident, grâce notamment à la traduction du livre d'arithmétique publié en 820 par le grand mathématicien El-Khawarizmi. Mais, durant tout le Moyen-Âge on discuta encore en Occident pour savoir si le zéro était seulement un chiffre ou pouvait être considéré comme un nombre. Finalement, son statut de nombre fut admis par tous. Et l'on ajouta le zéro à ce que l'on appelle les entiers naturels. Avant d'être considéré comme un chiffre, il avait en effet pour but de remplir les vides.

13 Apports de BRAHMAGUPTA 6. ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES Un des premiers mathématiciens à avoir considéré ce genre de question est Diophante dAlexandrie (325–409). La traduction, par Bachet de Méziriac (1581–1638) de la partie de ses œuvres qui était parvenue dans le monde occidental grâce aux mathématiciens arabes a été la source dinspiration de Fermat (1601–1665). Léquation diophantienne y 2 - dx 2 = 1; dont les inconnues x et y sont dans Z, où d est un entier positif qui nest pas un carré, porte le nom de Pell–Fermat, mais c'est une erreur due à Euler qui lui attribua faussement son étude. Pourtant elles ont été étudiées par le mathématicien indien Brahmagupta (598–670) bien avant Pell (1611–1685) et Fermat. Ce mathématicien indien sest attaqué dabord aux équations du type Nx 2 + k = y 2 et a donné une manière dobtenir des solutions à partir dun couple de solutions connu. Il a trouvé la plus petite solution en entiers positifs de léquation x 292y 2 = 1, qui est (x, y) = (1 151, 120) x 292y 2 = 1, qui est (x, y) = (1 151, 120)

14 Au XII e siècle Bhaskara ( indien) a trouvé pour léquation Au XII e siècle Bhaskara ( indien) a trouvé pour léquation x 261y 2 = 1 (qui sera plus tard considérée par Fermat) la solution (x, y) = ( , ). ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES Plus tard Narayana (~1340– ~1400), qui est aussi dorigine indienne, a obtenu pour x 2103y 2 = 1 la solution (x, y) = ( , ). Plus tard Narayana (~1340– ~1400), qui est aussi dorigine indienne, a obtenu pour x 2103y 2 = 1 la solution (x, y) = ( , ). Ses résultats étaient totalement inconnus des mathématiciens européens du XVII e siècle, et c'est Fermat qui remit cette équation au goût du jour, conjecturant qu'elle avait toujours une infinité de solutions. Ses résultats étaient totalement inconnus des mathématiciens européens du XVII e siècle, et c'est Fermat qui remit cette équation au goût du jour, conjecturant qu'elle avait toujours une infinité de solutions. Il fallut attendre Lagrange, un siècle plus tard, qui utilisera pour résoudre cette équation la théorie des fractions continues pour obtenir une nouvelle preuve totalement rigoureuse de ce fait ! Il fallut attendre Lagrange, un siècle plus tard, qui utilisera pour résoudre cette équation la théorie des fractions continues pour obtenir une nouvelle preuve totalement rigoureuse de ce fait !


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