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Animation pédagogique La résolution de problèmes Cycle 2 1 er décembre 2010 Circonscription du Port Valérie MOLETTE - CPC EPS et Anne-Laure VILANOU – SCERAR.

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1 Animation pédagogique La résolution de problèmes Cycle 2 1 er décembre 2010 Circonscription du Port Valérie MOLETTE - CPC EPS et Anne-Laure VILANOU – SCERAR Albius

2 SOMMAIRE 1 - Quest ce quun problème ? 2 - Pourquoi résoudre des problèmes ? 3 - Comment enseigner la résolution de problèmes ? les types de supports ? les catégories de problèmes ? La place de lécrit. Les débats et les mises en commun.( séance vidéo ) 4 - Comment aider les élèves à surmonter leurs difficultés ? Les types derreurs et de difficultés des élèves. Une gestion différenciée des apprentissages.

3 Dans un village dAfrique, une mère envoie son enfant à la Rivière en lui demandant de rapporter exactement trois litres deau. Elle lui donne un récipient de 4 litres et un récipient de 9 litres. Comment lenfant peut-il mesurer exactement 3 litres deau en ne se servant que des deux récipients et sans évaluer le contenu à vue dœil?

4 « Un problème est généralement défini comme une situation initiale, avec un but à atteindre, demandant au sujet délaborer une suite dactions ou dopérations pour atteindre ce but. Il ny a problème, dans un rapport sujet / situation, que si la solution nest pas disponible demblée, mais possible à construire. Cest dire aussi quun problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de développement intellectuel par exemple. » 1-QUEST-CE QUUN PROBLEME ?

5 Le rôle de la résolution de problèmes dans la construction des connaissances: Permet de donner du sens grâce à des actions finalisées mettant lélève en activité. 2 - POURQUOI RESOUDRE DES PROBLEMES ?

6 LES TEXTES OFFICIELS

7 En variant les supports 1- Des situations évoquant la vie quotidienne pour des problèmes concrets. 2- Des situations plus abstraites portant sur les nombres eux-mêmes qui proposent des problèmes que lon pourrait qualifier de « théoriques ». 3- Des situations de jeux; le ludique génère de la motivation dans les situations dentraînement. 3-COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ?

8 En mettant les élèves en activité activité # manipulation activité = permet danticiper sur laction concrète manipulation = permet un constat pas une anticipation 3-COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ?

9 Première classification: à partir des formes dénoncés Deuxième classification: à partir des notions mathématiques Troisième classification: à partir des objectifs pédagogiques En variant les catégories de problèmes 3-COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ?

10 A partir des formes dénoncés Texte écrit seul Texte accompagné dun tableau, dun diagramme… Texte et image(s) : la photo, le dessin, la BD… sont sources ou non dinformations pour la résolution de problèmes Texte et document(s) réel(s) : publicité, extrait de tarif… Lénoncé, donné à loral, en partie ou entièrement En variant les catégories de problèmes

11 Une fermière a 960 œufs quelle range dans les boîtes de 12 œufs chacune. Elle vendra chaque boîte 4. Combien dœufs a-t-elle cassés? Combien de boîtes a-t-elle remplies? Combien de boites lui reste-il?

12 Cécile achète un croissant quelle paie avec une pièce de 2. Combien la boulangère doit-elle lui rendre?

13 Cécile achète un croissant quelle paie avec une pièce de 2. Combien la boulangère doit-elle lui rendre? Ce problème est impossible à résoudre car: On ne sait pas combien de croissants elle achète. On ne connaît pas lâge de la boulangère. On ne connaît pas le prix dun croissant.

14 Dans une classe de 28 élèves, âgés de 11 à 12 ans, le maître distribue à chaque enfant 5 livres pesant en moyenne 450 grammes chacun. Calcule le nombre total de livres distribués. Dans ce problème, certains nombres sont inutiles. Ils ne servent pas à répondre à cette question. Entoure ces nombres: 28 élèves 11 à 12 ans 5 livres 450 grammes

15 Mes parents veulent acheter une table et un canapé. Pourront- ils acheter ces deux meubles? Mais ils ne veulent pas dépenser plus de 700. Ils ont choisi une table à 299 et un canapé à 499.

16 Première classification: à partir des formes dénoncés Deuxième classification: à partir des notions mathématiques Troisième classification: à partir des objectifs pédagogiques En variant les catégories de problèmes 3-COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ?

17 A partir des notions mathématiques · Types de nombres · Opérations utilisées · Mesures · Objets géométriques En variant les catégories de problèmes

18 Avant la récréation, Jean avait des billes. Durant la récréation, Jean a perdu 67 billes. Après la récréation, Jean a 123 billes. Combien de billes avait Jean avant la récréation?

19 15 enfants jouent aux kaplas. Chaque enfant doit construire une tour avec 30 kaplas, le plus vite possible, quils viennent chercher dans une grosse boîte. Combien y avait-il de kaplas en tout dans la boite?

20 Première classification: à partir des formes dénoncés Deuxième classification: à partir des notions mathématiques Troisième classification: à partir des objectifs pédagogiques En variant les catégories de problèmes 3-COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ?

21 A partir des objectifs pédagogiques Un problème pour apprendre à chercher (un problème ouvert) Un problème pour apprendre (situation-problème) Un problème dapplication et de réinvestissement dune notion connue Un problème de transfert En variant les catégories de problèmes

22 Les différentes phases du processus dapprentissage: Approche Construction Reconnaissance des savoirs Entraînement, maîtrise, systématisation Réinvestissement, transfert

23 Je dois envoyer ces 18 images à trois enfants. Pour cela je vous ai donné 3 enveloppes. Vous devez écrire sur lenveloppe le nombre dimages que je devrais mettre dans lenveloppe. Attention, les trois enfants doivent recevoir le même nombre dimages. Vous avez une feuille blanche pour chercher.

24 Je pense à deux nombres qui se suivent. Je les additionne, je trouve 23. Quels sont ces deux nombres?

25 Typologie de problèmes arithmétiques simples, daprès G. Vergnaud. Quelles catégories de problèmes ?

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27 La répétition = indispensable pour stabiliser les connaissances de lenfant Entraînement positif si lenfant agit consciemment et volontairement. Quelles catégories de problèmes ? Le rôle de lentraînement et la nécessité des prises de conscience 3-COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ?

28 Entraînement Efficacité des procédures Du coût des tâches (allège la charge de travail) Lélève est disponible pour se concentrer sur autre chose. Le rôle de lentraînement et la nécessité des prises de conscience

29 Types décrits : · Les écrits de référence · Les écrits de recherche et de travail · Les rédactions de solutions La place de lécrit 3-COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ?

30 Ce que la mise en commun nest pas : Une présentation exhaustive et fastidieuse des productions Une correction La non-intervention Les débats, les mises en commun 3-COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ?

31 La fonction dune mise en commun dépend en partie de lobjectif de la situation proposée : 1.La situation est une situation de recherche ouverte et nouvelle : mettre laccent sur la richesse et la diversité des procédures. 2.La situation vise la stabilisation dune notion : institutionnaliser ce savoir. 3.Une situation entre les deux : focaliser lattention des élèves sur certaines procédures afin de les conscientiser. 4.Moment privilégié : aider à mettre en évidence les liens qui existent entre différentes procédures. Les débats, les mises en commun 3-COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ?

32 Moment déchange, dexplicitation… Grâce à la verbalisation (langage oral et écrit) Faire sienne une nouvelle procédure (dépersonnalisation) élargir le champ des possibles. Les débats, les mises en commun

33 Les rôles de chacun Phase 1 : mise en situation Le maître lit éventuellement le problème, sassure de la bonne compréhension de celui-ci (questions); Les élèves lisent le problème, le reformulent, répondent aux questions de compréhension à loral, se construisent une représentation du problème. Phase 2 : recherche Le maître passe dans les rangs, fait expliciter les démarches, étaye, aide les élèves les plus en difficulté ; Les élèves expliquent leur procédure au maître. Phase 3 : mise en commun Le maître incite à la verbalisation pour le collectif, gère les interventions des pairs ; Les élèves formulent leur procédure devant les pairs, expliquent et défendent leur choix ou débattent sur le résultat dun pair (validation).

34 Description rapide Il sagit de chercher combien dimages vont pouvoir être affichées en utilisant des aimants : le nombre total des aimants à utiliser est fixé et le nombre daimants par images varier selon la grandeur des images. Objectifs spécifiques Faire des essais et contrôler ses essais par rapport au but. Rechercher plusieurs solutions (la recherche systématique de toutes les solutions nest pas un objectif du CE1). Enoncé « Je veux afficher des images dans la classe. Pour les petites images, jai besoin de 4 aimants ; pour les grandes, jen ai besoin de 6. Je dispose de 36 aimants. » Les aimants (Ermel CE1 : P96, 97).

35 DEROULEMENT La calculette est disponible pendant tout le déroulement de lactivité. Etape 1 : appropriation de la situation Le texte de lénoncé est écrit au tableau. La lecture est suivie dune explication des données qui peut amener les enfants à poser des questions telles que : « Est-ce quon ne met que des petites images ? Que des grandes ? » « Est-ce quon met des grandes et des petites ? » Cest cette dernière question qui fera lobjet de la première recherche en précisant que lon souhaite utiliser tous les aimants.

36 Etape 2 : recherche individuelle Le maître aide les enfants en leur demandant de tenir compte des essais effectués. Il est évident que les procédures sappuyant sur le calcul sont plus faciles à gérer. Toutefois, lobjectif de cette situation nest pas dinstitutionnaliser une procédure mais de faire prendre conscience aux élèves quil faut tenir compte de toutes les données de lénoncé, en particulier le nombre daimants, et des essais effectués pour progresser dans la recherche.

37 Procédures observables : Représentation des 36 aimants par des croix, traits, ronds, etc... : construction de paquets de 4 et dénombrement de paquets ; construction de paquets de 6 ; construction de paquets de 4 e de 6 en alternance. Représentation des images : progressivement, en plaçant les aimants et en contrôlant au fur et à mesure : « Il me reste des aimants, je peux encore placer une image ». (On retrouve les trois cas évoqués précédemment.) ; en dessinant demblée plusieurs images puis en plaçant les aimants sur les images représentées. (On retrouve les trois cas évoqués précédemment). Lélève peut être confronté à un problème de manque ou de reste. Production décritures : additives : contrôlées au fur et à mesure (du type = 8, = 12 …) réitérées sans contrôle du nombre ditérations, calculées ensuite et comparées à 36 ; décomposition de 36 : 36 = ou 36 = ou ou 6 x x 3 ou 4 x x 2.

38 Obstacles rencontrés par les enfants : en cours de procédure : Comment faire à la fois des paquets de 4 et des paquets de 6 ? Comment modifier la production quand il y a un reste ? en fin de période : Comment interpréter une écriture par rapport à la question posée ? Où lire la réponse, dans les dessins ou calculs produits ? Etape 3 : mise en commun Les différents types de procédures (calculs, dessins) sont confrontés et validés. Cest au cours de cette phase collective que les obstacles rencontrés par certains enfants sont discutés et levés, que des réponses sont apportées et que les procédures utilisant des dessins sont « traduites » par le calcul.

39 Etape 4 : nouvelle recherche Il sagit de rechercher des réponses à dautres questions : « Combien peut-on afficher de petites images ? » « Combien peut-on afficher de grandes images ? » Ces questions permettent à certains élèves de commencer par des procédures utilisant le calcul. PROLONGEMENT Reprise de lactivité avec dautres nombres. On pourra choisir plus particulièrement des valeurs pour lesquelles tous les aimants ne peuvent pas être utilisés.

40 Pb1 : Je possède 137 billes, jen ai 42 de plus que mon frère. Combien mon frère en possède-t-il? – Réponse de lélève : = 179 Il possède 179 billes. Les types derreurs et de difficultés des élèves 4-COMMENT AIDER LES ELEVES A SURMONTER LEURS DIFFICULTES ?

41 Lecture de lénoncé Recherche dune procédure Instanciation de la procédure Exécution de la procédure Communication de la réponse

42 Pb2 : Mr Rivière est chargé de ranger 80 bouteilles dans des casiers. Chaque casier peut contenir 6 bouteilles. Combien de casiers seront nécessaires pour que Mr Rivière puisse ranger toutes les bouteilles? – Réponse de lélève : 80 x 6 = 480 Sont nécessaires 480 casiers. Analyse derreurs 4-COMMENT AIDER LES ELEVES A SURMONTER LEURS DIFFICULTES ?

43 Pb3 : Julie a acheté pour un goûter : deux tablettes de chocolat à 3 chacune, quatre bouteilles de limonade à 2 chacune, un sac de brioches. Elle a payé 18. Quel est le prix du sac de brioches? – Réponse de lélève : 3 x 2 = 6 Le prix du sac de brioches est 12. Analyse derreurs 4-COMMENT AIDER LES ELEVES A SURMONTER LEURS DIFFICULTES ?

44 Difficultés à construire une représentation du problème : Prégnance de certaines règles du contrat didactique Prégnance des mots inducteurs La surcharge de la mémoire de travail Le contexte est éloigné du vécu de lélève Analyse des difficultés 4-COMMENT AIDER LES ELEVES A SURMONTER LEURS DIFFICULTES ?

45 Quand on demande de placer les nombres 367, 582, 309 dans la suite numérique suivante: Si lélève met deux nombres par case, il répond à la question. Si lélève met un nombre par case, il répond à la personne qui a fait lénoncé.

46 Difficultés à élaborer une procédure correcte : Des blocages psychologiques La faible richesse des réseaux de connaissances stockés en mémoire à long terme La non maîtrise de certaines techniques opératoires Analyse des difficultés 4-COMMENT AIDER LES ELEVES A SURMONTER LEURS DIFFICULTES ?

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48 · Difficultés à exécuter la procédure de résolution · Difficultés à contrôler la représentation du problème, la procédure de résolution ou le résultat · Difficultés à lire le problème ; à communiquer le résultat Analyse des difficultés 4-COMMENT AIDER LES ELEVES A SURMONTER LEURS DIFFICULTES ?

49 Une gestion différenciée des apprentissages 4-COMMENT AIDER LES ELEVES A SURMONTER LEURS DIFFICULTES ? Comment différencier ? · La différenciation par procédure. · La différenciation par les ressources disponibles et les contraintes imposées. · La différenciation par les rôles. · La différenciation par la tâche

50 · La différenciation par procédure. · La différenciation par les ressources disponibles et les contraintes imposées. Une gestion différenciée des apprentissages 4-COMMENT AIDER LES ELEVES A SURMONTER LEURS DIFFICULTES ? Comment différencier ?

51 Il y a 60 places sur un bateau. Le bateau est plein. Il y a 25 adultes, tous les autres sont des enfants.,. Combien y-a-t-il denfants sur ce bateau? Procédure A: schématisation Procédure B: … et compter ceux qui ont été ajoutés. Procédure C: 25+5=30+30= =35 Procédure D: 25 +____ 60 Procédure E: 60-25=35

52 · La différenciation par les rôles. · La différenciation par la tâche. Ateliers : - de soutien, - de besoins, - de choix, - dentraînement, - dapprofondissement. Une gestion différenciée des apprentissages COMMENT AIDER LES ELEVES A SURMONTER LEURS DIFFICULTES ? Comment différencier ?

53 Cest lévaluation formative qui permettra de prendre en compte les savoirs et savoir-faire pour réguler lenseignement et savoir où en est chaque élève. LEVALUATION

54 Résoudre des problèmes permet donc : de donner du sens aux apprentissages, en rendant lélève acteur et en confrontant ses connaissances. CONCLUSION

55 Références Bibliographie · ERMEL – Cycle 2 – Apprentissages numériques et résolution de problèmes. Hatier. · Comment les enfants apprennent à calculer – Rémi Brissiaud – Retz (chapitre 8 sur résolution de problèmes) Quelques sites internet : · : 60 problèmes ouverts pour le cycle 2 · Site de lIUFM – documents de lIREM :. · Document du groupe académique EVALUATION – sur le site de la circonscription du Port 1. Mathématiques Cycle 2.


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