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09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 1 Modélisation Le livre de la nature est écrit en caractères mathématiques Galilée (1564-1642)

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1 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 1 Modélisation Le livre de la nature est écrit en caractères mathématiques Galilée ( ) Mythe ou réalité? A quoi servent les mathématiques?

2 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 2 Plan de lexposé Présentation du socle commun Modélisation (lien)lien Rôle des mathématiques (lien)lien Exemples concrets de modélisation dans les sciences (lien)lien Modélisation en sciences (lien)lien Projet P3 : activité interdisciplinaire Annexes, Vocabulaire et bibliographie

3 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 3 Compétences visées la maîtrise de la langue française ; la pratique d'une langue vivante étrangère ; les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique ; la maîtrise des techniques usuelles de l'information et de la communication ; la culture humaniste ; les compétences sociales et civiques ; l'autonomie et initiative.

4 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 4 Socle commun en maths et sciences et techniques représentation cohérente du monde. compréhension de lenvironnement quotidien. la complexité peut être exprimée par des lois fondamentales. Manipuler pour comprendre. Acquérir rigueur intellectuelle seule constitutive du raisonnement scientifique.

5 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 5 Les Mathématiques Développement de la pensée logique, et de capacités d'abstraction. acquérir une vision dans le plan et dans l'espace. utilisation de formules, de modèles, de graphiques et de diagrammes. Développer le raisonnement logique et le goût de la démonstration.

6 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 6 Conditions dacquisition Résolution de problèmes, Ancrage dans la réalité notamment à partir de situations proches de cette réalité.

7 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 7 Connaissances Nombres et calcul. Gestion de données et fonctions. Géométrie plane et dans lespace. Grandeurs et mesures.

8 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 8 Attitudes On peut appréhender la réalité à partir de lois logiques Lenseignement des mathématiques doit permettre : rigueur et précision, respect de la vérité rationnellement établie, le goût du raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver.

9 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 9 Culture scientifique et technologique Comprendre et décrire : le monde réel, celui de la nature, celui construit par l'Homme, les changements induits par l'activité humaine. Distinguer : faits et hypothèses vérifiables et opinions et croyances.

10 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 10 Pour atteindre ces buts l'observation, le questionnement, la manipulation et l'expérimentation.

11 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 11 Capacités à développer dans les sciences expérimentales démarche scientifique observer, questionner, formuler une hypothèse et la valider, argumenter, modéliser de façon élémentaire

12 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 12 Mathématiques outil de modélisation Comprendre le lien entre les phénomènes de la nature et le langage mathématique qui s'y applique et aide à les décrire.

13 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 13 Manipuler et Expérimenter en éprouvant la résistance du réel Concevoir un protocole et le mettre en œuvre Utiliser les outils appropriés, y compris informatiques Développer des habiletés manuelles, être familiarisé avec certains gestes techniques Percevoir la différence entre réalité et simulation Comprendre qu'un effet peut avoir plusieurs causes agissant simultanément, de percevoir qu'il peut exister des causes non apparentes ou inconnues

14 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 14 Exprimer et exploiter les résultats d'une mesure ou d'une recherche utiliser les langages scientifiques à l'écrit et à l'oral, maîtriser les principales unités de mesure et savoir les associer aux grandeurs correspondantes, comprendre qu'à une mesure est associée une incertitude, comprendre la nature et la validité d'un résultat statistique.

15 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 15 Appréhender rationnellement les choses pour : développer les attitudes suivantes : le sens de l'observation, la curiosité pour la découverte des causes des phénomènes naturels, l'imagination raisonnée, l'ouverture d'esprit, l'esprit critique : distinction entre le prouvé, le probable ou l'incertain, la prédiction et la prévision, situation d'un résultat ou d'une information dans son contexte.

16 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 16 Éducation à la citoyenneté Développer : l'intérêt pour les progrès scientifiques et techniques, la conscience des implications éthiques de ces changements, l'observation des règles élémentaires de sécurité dans les domaines de la biologie, de la chimie et dans l'usage de l'électricité, la responsabilité face à l'environnement, au monde vivant, à la santé.

17 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 17 Place de la modélisation dans la démarche scientifique

18 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 18 Modélisation : Pourquoi? On se pose une question dont la réponse nest pas évidente et lexpérimentation coûteuse ou impossible. Acquérir une représentation cohérente du monde reposant sur des connaissances. Se créer des images. Pour échanger avec les non spécialistes en ayant un langage commun. Pour modifier certains paramètres et ainsi prévoir, anticiper, simuler. Rigueur, précision.

19 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 19 Quest-ce quun modèle? Un assemblage de concepts représentant de manière simplifiée une chose réelle déjà existante (objet, phénomène, etc.), en vue de la comprendre, d'en prédire le comportement, Il allie les notions de ressemblance et de représentation. Cest une représentation d'une réalité qui doit coller à lexpérience.

20 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 20 Modèle mathématique Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques. Généralement, en sens inverse, la traduction des résultats obtenus permet de prédire et dopérer sur le monde réel. Un même modèle peut sappliquer dans des contextes différents.

21 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 21 Modèle un modèle est toujours lié à ce que l'on veut en faire, à une théorie. un modèle n'est jamais parfait ni totalement représentatif de la réalité. il y a toujours plusieurs modèles possibles. Cest utile pour traiter le réel, mais il ne faut pas le prendre pour le réel.

22 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 22 Des sortes de modèles modèles prédictifs pour anticiper des événements ou des situations modèles descriptifs Pour rendre compte, de manière interprétable, d'une masse d'informations Les deux modèles sont liés et souvent lun ne va pas sans lautre

23 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 23 Pertinence dun modèle Couvrir le champ du problème réel. Obtention du résultat escompté. Respect des délais souhaités. Il est souhaitable quil soit ré-utilisable. Une bonne modélisation permet de répondre à des questions complexes avec des calculs simples.

24 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 24 Comment Modéliser? Inspiration, imagination, analogie, rasoir dOccam et changement de point de vue. Il faut bien limiter le champ du problème. filtrer les données pour atteindre lessentiel. Introduire des paramètres manquants, éventuellement adopter une approche probabiliste. Bien décrire lensemble des règles ou équations. valider le modèle.

25 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 25 Force des mathématiques Fournir des idées Langage universel dexpression Généralité, richesse et puissance du langage Équations aux dérivées partielles analyse fonctionnelle : méthodes numériques Méthodes des éléments finis Algorithmes et méthodes approchées Traitement du signal Calcul stochastique, etc. Outil de dialogue et de prospection

26 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 26 Il faut toujours garder son esprit critique Il faut toujours avoir lesprit critique vis à vis du modèle et dautant plus sil contient des mathématiques (voir usage abusif de concepts mathématiques). Chercher la simplicité. Organiser une critique active et imaginative Rechercher des co-vérités ( en utilisant des changements de registre ) Fabriquer des contre-modèles. ( pour échapper aux interprétations dominantes : voir Copernic et les trajectoires des astres)

27 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 27 Quelques exemples détaillés Modèle proies-prédateurs (1er jour) Modélisation des forces de frottement (2ème jour) Loi logistique discrète (2ème jour) TPE sur la vache folle (2ème jour) Du bon usage du continu (2ème jour) La molécule de méthane (voir activité)

28 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 28 AnnéePourcentage de mauvais poisson , , , , , , , , ,7 Statistiques de pêche à Triestre

29 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 29 Proies-prédateurs Volterra ( ) Bons poissons (sardines) : x(t) Mauvais poissons (requins) : y(t) Variation du nombre de sardines : x(t) Si pas de requins : + ax(t) Si rencontre avec requins : - bx(t)y(t) Variation du nombre de requins : y(t) Si pas de sardines : - dy(t) Si rencontre avec sardines : + cx(t)y(t)

30 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 30 Système différentiel x(t) = a x(t) – b x(t)y(t) y(t) = - d y(t) + c x(t)y(t) Voir fichier : proie_predateur_différentielle.xls

31 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 31 De lintérêt de se parler (I) Approximation affine et usage dans les sciences Que penser dun exercice formulé ainsi? Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C il ne reste que 2,8l dans le récipient. La physique nous apprend que, entre 20°C et 40°C, laccroissement de volume est proportionnel à laccroissement de température. On note x la température. 1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide restant dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C. 2)En déduire le volume à 40°C.

32 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 32 Proposition de modification -lexercice ne doit pas induire de mauvaises images chez lélève -il doit permettre à lélève dutiliser le modèle fonction affine et proportionnalité des « écarts » avec un support tiré des sciences comment noter la variable? x ou t? EX : Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C le volume dans le récipient est de 4,8l. On a constaté expérimentalement que pour ce liquide, entre 20°C et 40°C, laccroissement de volume est proportionnel à laccroissement de température. On note x la température. 1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C. 2)En déduire le volume à 40°C.

33 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 33 De lintérêt de se parler (II) Approximation affine et usage dans les sciences Que peut-on faire pour améliorer la cohérence avec les enseignements de mathématiques? Extrait dun ex de physique : On présente le spectre dune étoile Markab, dont on cherche à extraire la présence déléments chimiques dans la couche superficielle. On place en dessous le spectre du fer, dont on connaît les longueurs donde des raies. Les 8 raies du spectre du fer, à partir de la raie origine (404,4 nm), coïncident avec certaines raies du spectre de létoile. Question : mesurer la distance dx entre chacune des 8 raies et la raie origine. Calculer la différence de longueur donde dL entre chacune de ces raies et la raie origine. Calculer dx/dL pour chaque raie. Montrer que dx est proportionnel à dL.

34 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 34 Du bon usage de la continuité Premier exemple : Deux mobiles reliés par une ficelle de longueur h vont de A à B sur 2 routes différentes, dintersection vide sans casser la ficelle. Deux sphères de rayon h lune partant de A et lautre de B peuvent-elles aller lune de A vers B et lautre de B vers A sans se rencontrer?

35 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 35 Du bon usage de la continuité Deuxième exemple : A une élection on vote pour A ou pour B. Peut-on, avant le scrutin faire une prédiction qui ne sera pas démentie par les faits? H Simons (prix Nobel déconomie) pense que oui et argumente : Soit p une prédiction (%de suffrages pour A) Soit f(p) le résultat du scrutin. On fait lhypothèse que f est continue. Alors la courbe de f coupe forcément la droite déquation y=x. Donc il existe bien p telle que : p = f(p).

36 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 36 Le pendule simple Pendule simple : fil inextensible, et sans masse, longueur L, masse ponctuelle m. Angle avec la verticale : a(t) Newton : d²a(t)/dt² = -g/L sin (a(t)) avec a(0) = ao et a(0) = 0

37 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 37 Des mathématiques aseptisées aux Mathématiques Tout Terrain Exemples Beaucoup de problèmes concrets échappent aux mathématiques classiques. Pourtant les maths ont leur rôle à jouer mais différemment : Utilisation de linformatique : discrétisation des problèmes et modélisation. Analyse non standard

38 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 38 Qu'est une véritable activité mathématique? introduction aux programmes de collège (BO n° 4 du 4 avril 2004) identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution.

39 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 39 Méthode des tangentes parallèles pour la détermination du point d'équivalence E

40 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 40 Autre méthode : méthode du pic de la dérivée

41 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 41 Projet P3 projet interdisciplinaire maîtrise de la langue française par les élèves, éducation à lenvironnement ou au développement durable, éducation à la santé, thème de convergence, TPE, IDD, PPCP,….). Préparer une séquence denseignement Le travail doit être guidé par une problématique pluridisciplinaire Il doit y avoir articulation entre plusieurs disciplines et une approche théorique On prépare une séquence pédagogique

42 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 42 Compétences évaluées Exercer lexpression écrite et orale des élèves Connaître le socle commun Mettre en œuvre des approches pluridisciplinaires Maîtriser les TICE Travailler en équipe pluridisciplinaire Se former et innover

43 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 43 Contenu du dossier présentation de la problématique et éléments théoriques inter-disciplines (deux pages) objectifs de la séquence et choix effectués (une page) Calendrier, analyse à priori et à posteriori (3 pages) choix de productions délèves représentatifs (1 page) synthèse et propositions alternative ou prolongements possibles (1 page)

44 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 44 Améliorer lexpression chez les élèves (Savoir utiliser un langage pour décrire une situation) Enrichir lemploi de la langue Approfondir la pratique de largumentation Fournir des mots nouveaux pour sexprimer Exemples : Résolution par traduction (analytique) Décrire en français un algorithme non commenté Fournir une bonne approximation, bien définie, dune fonction dexpression analytique inconnue. ( chaque élève construit son modèle propre proposé aux autres ) Analyse mathématique de textes scientifiques

45 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 45 Inter, pluri, trans disciplinarité L interdisciplinarité fait appel aux spécificités de diverses disciplines qui convergent par nécessité pour résoudre un problème. La pluridisciplinarité exploite une situation, à travers certaines disciplines, de façon élégante et opportune, sans chercher des liens et sans obligation. La transdisciplinarité relie les disciplines sans obligation, de manière à atteindre les mêmes objectifs à travers des activités très variés.

46 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 46 Exemple de façon de travailler avec les élèves Après analyse du problème répartir les élèves en groupes thématiques. Chaque groupe est chargé dune mission précise et devra produire un texte, rendant compte du travail accompli. Une synthèse est alors organisée sous forme de débat ou chaque groupe apporte sa contribution.

47 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 47 Références bibliographiques (I) Jacques Istas : Introduction aux modélisations mathématiques pour les sciences du vivant. Springer-Verlag, Berlin Istas,J. (2005). Mathematical Modeling for the Life Sciences, Springer. James Gleick : La théorie du chaos. (Champs- Flammarion) T35 : E.J.Aubert (Mathematical intelligencer Vol 6 no 3) Leçons de calcul infinitesimal. Deledicq-Diener 1989.

48 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 48 Références bibliographiques (II) Cherruault Y. (1998), Modèles et méthodes mathématiques pour les sciences du vivant, Presses universitaires de France, (ISBN )ISBN

49 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 49 Vocabulaire Conjecture : Émettre une conjecture, cest résumer dans un énoncé précis une idée que lon pense universellement vraie (Legrand 2000). Explication : Proposer une explication, cest réaliser un discours dont l'objectif est de communiquer à d'autres le caractère de vérité d'un énoncé mathématique.

50 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 50 Vocabulaire Preuve : Faire une preuve cest proposer une explication acceptée relativement à la vérité dun énoncé par une communauté de pensée à un moment donné. Il y a : les preuves pragmatiques, les preuves intellectuelles, les preuves formelles, la démonstration. (Balacheff) Une démonstration est tout raisonnement valide permettant détablir quun énoncé est vrai ou faux à lintérieur dun système théorique. Elle a : un statut social, et deux fonctions : une fonction de validation dans le but de réduire le doute et une fonction explicative du pourquoi

51 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 51 Preuve et démonstration ? Quelle différence? Démonstration : a finite number of logical steps from what is known to a conclusion using accepted rules of inference. (Hanna and Barbeau, p. 38) un nombre fini d'étapes logiques à partir de ce qui est connu vers une conclusion en utilisant des règles d'inférence connues. La démonstration souligne le raisonnement et donc la forme, alors que la preuve ne souligne que la finalité...

52 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 52 Démonstration et Argumentation? Quelle différence? Le raisonnement déductif est décrit par une structure ternaire : les pas sont connectés selon un processus de recyclage, cest-à-dire, la conclusion du premier pas devient la donnée du pas suivant. (la validité est contrôlée ) Au contraire, dans largumentation, les inférences sont reliées par connexion intrinsèque en prenant en compte le contenu. (on ne peut qu en évaluer la pertinence )

53 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 53 Démonstration et Argumentation La démonstration fournit des preuves contraignantes, Elle est dans le champ de la vérité formelle largumentation, elle, ne fait que préciser les raisons en faveur ou contre une thèse déterminée. Elle est dans lordre de la vérité matérielle

54 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 54 Argumentation mathématique Justification rationnelle ayant pour objectif la recherche de la vérité dune proposition mathématique, avec validation ou bien réfutation de conjectures par contre-exemple, passant ainsi par létablissement du faux. (Douaire 1999)

55 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 55 Les types de raisonnement mathématique Raisonnement par enchaînements déductifs (modus ponens ) Lutilisation de contre-exemple Le raisonnement par disjonction de cas Le raisonnement par contra posée, Le raisonnement par labsurde Le raisonnement par récurrence

56 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 56 Modèles en Sciences Ce qui est donné pour servir de référence (souches…) Ce qui est représentatif dune catégorie (type de volcan…) Reproduction à échelle différente (cellule, temps géologiques…) Structure utilisée pour rendre compte de phénomènes non reproductibles ou non visibles…

57 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences Les modèles animaux Permettent dutiliser des animaux possédant certaines particularités anatomiques ou physiologiques Permettent détudier les animaux sur plusieurs générations Peuvent être soumis à des tests ou expérimentations Transposition à lhomme ultérieurement

58 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 58 Drosophile Antennapedia

59 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 59 Vibrio harveyi

60 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 60 2 – Les modèles analogiques Analogues géométriques, mécaniques ou électriques dobjets biologiques Définis par linvariance du rapport de certaines grandeurs ou propriétés homologues

61 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 61 Le cœur est une pompe Il met en mouvement un fluide dans un circuit fermé Le circuit est en parallèle et non en série utilex/rev_card/rev_card.htm utilex/rev_card/rev_card.htm

62 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 62 3 – Les modèles de simulation par ordinateur Simulation de la pression sanguine sur la paroi dun anévrisme : =c_8694&portal=j_97&printView=tr ue =c_8694&portal=j_97&printView=tr ue Simulation des ondes sismiques : besancon.fr/svt/act_ped/svt_lyc/pr em/sismologie/activites/college/me xico/mexico.htm besancon.fr/svt/act_ped/svt_lyc/pr em/sismologie/activites/college/me xico/mexico.htm

63 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 63 Rôles des modèles Expliquer Ex : remontée du magma Prévoir Ex : anévrisme Visualiser Ex : faille de San Andréa

64 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 64 Modèle, outil didactique Objet de substitution, il aide à la construction des connaissances Support concret, il demande un effort intellectuel moindre (surtout pour les plus jeunes) Moyen de transmission de connaissances, cest une forme de langage

65 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 65 Forces de frottement fluide On lâche un tube à hémolyse lesté dans un fluide. On cherche à estimer les forces de frottement fluide qui interviennent. On va comparer plusieurs modèles. Relation fondamentale de la dynamique : mg – ρVg – f f = m dV/dt. Dou : g – ρVg/m – f f /m = dV/dt On pose A = g – ρVg/m dou A-f/m = dV/dt

66 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 66 Modèles Proportionnel à la vitesse : A-Bv = dV/dt au carré de la vitesse : A-Cv² = dV/dt Combiné des deux : A- Bv -Cv² = dV/dt

67 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 67 Expérimentalement la vitesse semble avoir une limite finie quand t tend vers linfini. A la limite dV/dt = 0 dou : 1er cas : A –B vlim= 0 2ème cas : A –C (vlim)² = 0 3 ème cas : A –B Vlim –C (Vlim)² =0 A est connu en fonction des données A = g – ρVg/m. On en déduit B ou C en fonction des données expérimentales. Dans le 3ème cas on exprime lun des paramètres B ou C en fonction de lautre

68 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 68


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