Analyse dynamique du mouvement

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1 Analyse dynamique du mouvement

2 Partie I Mouvements en translation

3 I - Principe de force

4 Principe de force : définitions
Définition : cause capable de mettre un corps en mouvement modifier le mouvement d’un corps déformer un corps Exemples : coup de pied dans un ballon rebond sur le sol appuyer sur un objet

5 Principe de force : définitions
Exprimée sous forme vectorielle direction sens norme = intensité point d’application Unité : le Newton

6 Principe de force : définitions
Nature des forces Forces de contact réaction (appui sur un support : saut en hauteur) tension fil/ressort sur un objet (lancer du marteau) frottement (eau sur une planche à voile)

7 Principe de force : définitions
Forces à distance gravitation (chute après un saut) magnétisme (aimant) électrostatique (règle en plastique) Forces d’inertie (uniquement pour des repères non galiléens) coriolis (tourbillon) entraînement (canoë dans une rivière)

8 Principe de force : définitions
Bilan des forces définir le système considéré classer les forces externes (provenant d’un corps étranger à S) internes (interaction d’une partie de S avec une autre) S : joueur Force externe : gravité Forces internes : forces musculaires

9 Principe de force : propriétés
Additivité des forces plusieurs actions mécaniques Ai agissent sur S

10 Principe de force : propriétés
Principe d’action/réaction ou 3ème loi de Newton Principe d’actions réciproques Exemple : poids et réaction du sol

11 Principe de force : exemple
Un système mécanique est un ensemble de « corps » en interaction

12 Principe de force : exemple
Le camion avance grâce à une force motrice La force exercée par la remorque sur le camion est égale à la somme des forces qui s’exercent sur la remorque (hormis celle exercée par le camion) Chaque roue est soumise à une force de frottement Le camion est soumis à une force de résistance à l’avancement de l’air

13 Principe de force : exemple

14 II - Relation Fondamentale de la Dynamique

15 Relation Fondamentale de la Dynamique
Quantité de mouvement Grandeur associée à la capacité d’un système à avancer, à la résistance (inertie) qu’il oppose lorsqu’on cherche à l’arrêter ! P (poids)  p (quantité de mouvement)

16 Relation Fondamentale de la Dynamique
Définition La RFD (2ème loi de Newton) exprime le lien qui existe naturellement entre les les causes du mouvement (forces) et ses conséquences (accélération, vitesse, etc.)

17 Relation Fondamentale de la Dynamique
Si m est constante Si m n’est pas constante Il vaut mieux être dans le premier cas et éviter les protocoles faisant varier une masse

18 Relation Fondamentale de la Dynamique
Objet isolé : Objet ne subissant aucune force externe Exemple : Solide en apesanteur sans contact Objet pseudo-isolé : Objet tel que la somme des forces externes qui s’y appliquent soit nulle Exemple : Solide statique sur le sol (Poids + Réaction du sol = 0)

19 Relation Fondamentale de la Dynamique
Principe de Conservation de l’Inertie (PCI, appelé aussi 1ère loi de Newton) : Un objet isolé ou pseudo-isolé est en mouvement rectiligne uniforme Explication :

20 III - Trajectographie

21 Trajectographie Trajet : Ensemble des points par lesquels passe un objet ponctuel en mouvement Trajectoire : Ensemble des points du trajet et des instants auxquels l’objet y passe A B A B t2 t3 t9 t1 t8 t0 t4 t7 t5 t6

22 Trajectographie Problème : Comment remonter à la trajectoire à partir d’une analyse mécanique ? 1) Bilan des forces 2) Application de la RFD 3) Accélération  Vitesse 4) Vitesse  Trajectoire

23 ! Trajectographie Problème : Position Vitesse Accélération
dérivation dérivation Position Vitesse Accélération intégration intégration Accélération Vitesse Position ! Problème : Une fonction n’a qu’une seule dérivée Une fonction a plusieurs intégrales

24 Trajectographie : exemple
Application au cas de la chute libre Bilan des forces : Seules forces : le poids P, le frottement f z y P O x

25 Trajectographie : exemple
RFD On néglige les frottements  Accélération

26 Trajectographie : exemple
Vitesse Position

27 V - Impulsion

28 Impulsion Intégration de la RFD Aire d’impulsion
est appelée aire dynamométrique et mesure la quantité de mouvement communiquée au corps par l’action musculaire (aire = effort multiplié par durée)

29 Impulsion Sachant que : donc : Cas particulier: On peut écrire :

30 (après - avant l ’impulsion)
Cas général: exemple d’une foulée Poids Réaction du sol Bilan des forces: Donc, On obtient en intégrant la RFD Variation de vitesse (après - avant l ’impulsion)

31 Impulsion  comment déterminer ? tL Poids Réaction du sol t0 Poussée
Réception Décollage tL t0  comment déterminer ?

32 Impulsion Plate-forme de force
= mesure la force exercée sur la plate-forme En fait, (3ème loi de Newton)

33 Partie II Mouvements en rotation

34 I - Cinématique de la rotation

35 Cinématique de la rotation
Repérer un point dans l’espace 3 paramètres de position : X, Y, Z Repérer un solide dans l’espace 3 paramètres d’orientation : a, b, g Z Y X g b Z a X Y

36 Cinématique de la rotation
Exemple : Orientation d’un avion a : lacet b : tangage g : roulis a b g ! Importance de l’ordre des angles

37 Cinématique de la rotation
Vitesse angulaire : Définition : variation d’orientation d’un objet Dual de la vitesse linéaire (vitesse en translation) z M R  y O A x

38 Cinématique de la rotation
Lien entre vitesse angulaire et vitesse linéaire Cette relation est vraie pour n’importe quel couple de points du solide (pas seulement O et M)  est en rad/s V est en m/s OM est en m ! O M

39 Cinématique de la rotation
Mouvement d’un solide exprimé par : sa vitesse angulaire, identique pour tous les points la vitesse linéaire d’un point quelconque du solide en général, on choisit le centre de masse  la vitesse linéaire des autres points se retrouve grâce à la relation entre vitesse angulaire et vitesse linéaire

40 II - Moment de force

41 Moment de force Définition : effet d’une force suivant un axe
= la tendance qu’a une force à engendrer une rotation Force F agissant sur un corps en un point M. Le corps tourne autour du point O.  M F O

42 Moment de force Paramètres intervenant sur le moment de force force
axe de rotation distance entre point d’application et centre de rotation (plus c’est loin plus c’est facile) Résultat = vecteur direction : perpendiculaire au plan formé par le corps et la force sens : pour former un repère direct unité : Newton * mètres [N.m]

43 Moment de force Remarque :
pour un même moment, c’est la force appliquée le plus loin possible de l’axe de rotation qui est la plus faible (et donc la plus économique)  bras de levier M3 M2 M1 O OM1 < OM2 < OM3 F1 > F2 > F3 F3 F2 F1

44 Moment de force Calcul de la grandeur numérique + O d M  F
d est appelé bras de levier (perpendiculaire à la force passant par l’axe)

45 Moment de force Exemple des pompes On génère une force de 80N
L1=1.80m, L2=1.50m Quel est le meilleur positionnement des mains pour effectuer un mouvement de pompe ? L2 L1

46 Moment de force Cas 1 : L1  meilleure solution : Cas 2 : L2
plus grande tendance à tourner

47 Moment de force Équilibre en rotation Rappel en translation :
En rotation, s’il y a équilibre, il n ’y a pas de déplacements, donc : Donc, pour avoir un équilibre complet, il faut les deux équilibres (rotation + translation)

48 III - Moment cinétique

49 Moment cinétique Définition
Équivalent de la quantité de mouvement pour les rotations pour un point : unité : [m2.Kg.s-1] Remarques : définition d’un point matériel choix d’un repère R choix du point O

50 Moment cinétique Théorème du moment cinétique
Relation fondamentale de la dynamique En multipliant par OM les deux termes (attention à l ’ordre des termes) où F est la résultante des forces externes et p est la quantité de mouvement c’est à dire, par déf. (1)

51 Moment cinétique Par définition, En dérivant :
Or, la dérivée d’un produit (u.v)’=u’.v + u.v ’, d ’où

52 Moment cinétique (2) (1) Grâce à (1) et (2) :
Théorème du moment cinétique : Ce théorème est le pendant de la relation fondamentale de la dynamique pour les mouvements en rotation

53 Moment cinétique Utilisation du théorème du moment cinétique
S’il n ’y a pas de mouvement, Utilisé pour les calculs d ’impulsion en rotation (idem que pour la relation fondamentale de la dynamique) on retrouve donc le principe d ’équilibre en rotation :

54 Moment cinétique Un outil de calcul : le moment d’inertie  dual de la masse G G IG=mrG2 IP=md2+IG Pour un segment Généralisation à tout le corps

55 ! Moment cinétique Cas particulier du calcul du moment cinétique
Pour un segment rigide Où I est le moment d’inertie du segment ! Cas particulier du calcul du moment cinétique donc plus r est grand, plus I est important G donc, pour un L constant,  varie à l’inverse de I

56 Moment cinétique Exemple du plongeon en arrière sur tremplin
F (réaction tremplin) = 2700N durée impulsion = 0.087s d=0.6m I = 15 Kg.m2 t = 0, t+dt?

57 Moment cinétique A partir du théorème du moment cinétique, on procède comme avec une impulsion « linéaire » Dans l’exemple du plongeon, on a un seul moment : celui lié à la force appliquée sur les pieds, à une distance d du centre de masse du plongeur

58 Moment cinétique

59 Moment cinétique

60 Etude mécanique de la rotation
Application au modèle polyarticulé humain : 14 segments solides Référentiel choisi = R* (référentiel barycentrique) Moment cinétique en R* = Pour un point matériel

61 Etude mécanique de la rotation
Pour un solide Si (Gi) Rotation du segment autour de son Gi Quantité de rotation du Gi du segment autour du G Gi Si G

62 Etude mécanique de la rotation
Modèle du corps humain = 14 segments Pour référentiel non barycentrique (Th. De Koenig) Interne Externe : ne concerne que G

63 Etude mécanique de la rotation
Remarques importantes le moment cinétique dans R* est indépendant du point où on le calcule dém. : si on remplace R par R* dans Koenig, le vecteur vitesse VG/R* est nul

64 Etude mécanique de la rotation
Si on suppose le système rigide, on peut simplifier l ’équation qui devient : car, comme le système est rigide, quelque soit i, on a

65 Etude mécanique de la rotation
Exemple du chat Comment fait le chat pour se retourner sans avoir d’impulsion en rotation au départ ? Pas d’impulsion 

66 Etude mécanique de la rotation
Équilibre en rotation dans le mouvement de course comment avoir une direction rectiligne alors que les forces de réaction au sol appliquent des moments sur le corps ?  Il y a donc une impulsion en rotation F

67 Etude mécanique de la rotation
Le corps est décomposé en deux parties : sup. et inf. si on ne veut pas tourner, il faut l’équilibre en rotation Le haut du corps doit tourner en sens opposé

68 Analyse énergétique du mouvement

69 I - Travail, Puissance

70 Travail d’une force Le travail d’une force quantifie la capacité à avoir généré un mouvement Le travail de F sur le trajet AB vaut : F est supposée constante pendant le déplacement du solide ponctuel de A vers B F A F B TF (AB) = F . AB

71 Travail d’une force Le travail d’une force est un scalaire
Il s’exprime en Joules (J) Il est maximum lorsque la force est dans le sens du déplacement Un travail négatif correspond à une force résistive pour le mouvement

72 Travail d’une force Le travail correspond à celui de la force utile
FU A F B F TF (AB) = F . AB = FU . AB

73 dt : durée élémentaire pour passer d’un point Ai au point suivant Ai+1
Travail d’une force Lorsque la force n’est pas constante F est supposée constante sur AA1 F F A An= B A1 Ai F F TF (AA1) = F . AA1 = F . VA dt dt : durée élémentaire pour passer d’un point Ai au point suivant Ai+1

74 Travail d’une force Pour l’ensemble du trajet AB :
Expression générale du travail : TF (AB) = TF (AA1) + TF (A1A2) + … + TF (An-1B) = F . VA dt + F . VA1 dt + … + F . VAn-1 dt TF (AB) = F(t) . V(t) dt

75 Puissance La puissance d’une force quantifie sa rapidité à exercer un travail Puissance moyenne : C’est un scalaire exprimé en Watt (W) (1 W = 1 J/s) tAB : durée du parcours de A vers B

76 Puissance Puissance instantanée en un point A du trajet :
C’est la dérivée du travail par le temps

77 Travail d’une force : cas du solide
Pour un solide il faut tenir compte de la rotation autour de son centre de gravité Travail d’une force : Travail d’un moment : TF = F(t) . VG(t) dt TM = MG(t) . w(t) dt

78 Puissance : cas du solide
Puissance instantanée d’une force sur un solide Puissance instantanée d’un moment sur un solide

79 II - Energie

80 Energie L’énergie est le résultat du travail
Elle s’exprime également en Joules (J) Elle est classée en deux types : énergie potentielle énergie cinétique

81 Energie potentielle Energie potentielle : c’est l’énergie accumulée par un solide soumis : - soit à la pesanteur soit à l’action d’un ressort La pesanteur et l’action d’un ressort sont des forces qui « dérivent d’un potentiel » Un niveau d’énergie potentielle correspond à une position donnée

82 Energie potentielle Energie potentielle de pesanteur Ep = m g h z h
Sol Ep = m g h

83 Energie potentielle Energie potentielle élastique Position de repos
Compression l K : constante de raideur

84 Energie cinétique C’est l’énergie acquise par le mouvement
Elle est liée à la vitesse du solide Pour un solide ponctuel : V est la vitesse calculée dans un repère galiléen

85 Energie cinétique Pour un solide, il faut tenir compte de la rotation
Energie cinétique de translation : Energie cinétique de rotation :

86 Energie cinétique Pour un ensemble S de solides ponctuels Si :
Or, on a : D’où :

87 Energie cinétique Le premier terme représente l’énergie cinétique de S vu comme un seul point, son centre de masse Le second représente l’énergie cinétique par rapport au centre de masse C’est l’énergie cinétique interne

88 Energie cinétique Pour un système de solides rigides :
Energie cinétique « externe » Energie cinétique « interne » ou de gesticulation

89 L’énergie mécanique d’un système isolé reste constante
Energie mécanique L’énergie mécanique d’un système est la somme de ses énergies potentielle et cinétique : Théorème de conservation de l’énergie mécanique L’énergie mécanique d’un système isolé reste constante

90 Energie mécanique

91 Théorème de l’énergie cinétique
La variation d’énergie cinétique d’un système entre deux instants est la somme du travail des forces internes et du travail des forces externes dans le même intervalle de temps

92 Théorème de l’énergie cinétique
Cas où les forces externes sont uniquement le poids P et la réaction du sol R : Le théorème de l’énergie cinétique se réduit à :

93 Théorème de l’énergie cinétique
Etude du salto arrière

94 Rendement énergétique
Le travail des forces et moments internes correspond à l’énergie mécanique fournie par le « moteur métabolique » : Travail des forces et moments internes Energie métabolique produite R =

95 Rendement énergétique
Méthode globale d’évaluation de TFint Problème : pour un mouvement en « régime stationnaire » (Ex: course à vitesse constante) l’énergie cinétique est (à peu près) constante  Travail des forces internes nul !

96 Rendement énergétique
Méthode locale : calcul des puissances à chaque articulation TFint = En apparence plus rigoureux, mais en pratique très difficile (voire impossible) à calculer Les puissances Pi peuvent être négatives. On peut donc (en théorie) arriver à un travail des efforts internes négatif ou nul

97 Rendement énergétique
Proposition : tout effort, qu’il soit résistif ou effectivement moteur correspond à un flux d’énergie métabolique (positive par définition) Il suffit donc de ne pas sommer les puissances Pi mais leurs valeurs absolues pour obtenir l’énergie mécanique totale consommée : Tcumulé Fint =

98 Rendement énergétique
Problème : ça n’explique pas du tout en quoi un flux d’énergie (positive) correspond à un travail négatif Il doit y avoir une erreur dans le calcul des puissances : si elles sont motrices elles ne peuvent être que positives! Question primordiale : d’où viennent les erreurs ?

99 Rendement énergétique
Les erreurs viennent des approximations Premier exemple : Le cycliste qui arrête de pédaler (sur terrain plat) Cas idéal : sa vitesse reste constante  pas de variations de l’énergie cinétique, ni de l’énergie potentielle On retrouve un travail des efforts internes nul correspondant à la variation nulle d’énergie cinétique

100 Rendement énergétique
Cas réel : sa vitesse reste diminue  variation négative de l’énergie cinétique Par application directe de la méthode globale, on trouve un travail des efforts internes négatif Ce qu’on néglige c’est l’action des forces de frottements de l’air Le travail associé à ces forces est négatif et correspond à la variation d’énergie cinétique  On retombe sur un travail des efforts internes nuls

101 Rendement énergétique
Deuxième exemple : Un athlète qui court à vitesse constante sur un tapis horizontal L’énergie cinétique est invariante (ou presque) On peut négliger les frottements de l’air car sa vitesse par rapport à l’air est nulle (ou presque)  Le travail des efforts internes est nul !

102 Rendement énergétique
Ce qui est négligé c’est la déperdition d’énergie lors des chocs qui correspond au travail des efforts internes Le théorème de l’énergie cinétique n’est valable que pour un système fermé du point de vue mécanique Energie cinétique Travail des efforts internes Déperdition A cause de l’interaction avec le sol, le coureur n’est pas un système mécaniquement fermé

103 Bilan

104 + Analyse dynamique Relation Fondamentale de la Dynamique Généralisée
Mise en relation : des causes (Forces, Moments) des conséquences (Accélération, Variation de la quantité de rotation)

105 Théorème de l’énergie cinétique
Analyse énergétique Théorème de l’énergie cinétique Mise en relation : des causes (Travail des forces et des moments) des conséquences (Variation de l’énergie cinétique)