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NAVIGATION ASTRONOMIQUE Coordonnées dun astre Partie I Patrick RUER

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1 NAVIGATION ASTRONOMIQUE Coordonnées dun astre Partie I Patrick RUER

2 2 Observateur M Zénith du lieu M Ligne dhorizon Soleil Nord vrai H méridien Z Par rapport à lobservateur M, le Soleil est positionné exactement par les 2 angles Z et H. Z = azimut (de 0° à 360°) H = hauteur (de 0° à 90°) Les coordonnées locales (dites horizontales) Terre V e r t i c a l d e l a s t r e Le vertical de lastre est le plan contenant lastre, lobservateur et le zénith. V e r t i c a l d u p ô l e n o r d Dz Dz = 90° – H (distance zénithale)

3 3 Soleil Sphère céleste Pied du soleil P G N S Axe des pôles célestes et terrestres (axe du monde) Méridien dorigine Les coordonnées horaires AHG, AHL et D C e r c l e h o r a i r e d u S o l e i l Terre AHG D O A

4 4 Dans cette représentation, la Terre est immobile et cest la sphère céleste qui tourne autour de laxe des pôles de EST en OUEST… La première coordonnée est langle horaire AHG (AHvo ou AHao) qui est langle entre le méridien dorigine et le cercle horaire de lastre. Le cercle horaire de lastre est le demi-cercle qui contient lastre et laxe du monde. AHG se mesure de 0° à 360° vers louest à partir du méridien dorigine. La seconde coordonnée D est la déclinaison de lastre. Cette déclinaison D correspondant à la latitude du point géographique du soleil P G. : L(P G ) = D La longitude G de ce point P G est calculée à partir de AHG : Si AHG < 180°, alors G(P G ) = AHG Si AHG > 180°, alors G(P G ) = AHG – 360° Par convention : Les longitudes sont positives si W, négatives si E. Les latitudes sont positives si N, négatives si S Vitesse du point PG : 1 mille en 4s !

5 5 Langle horaire local (AHL ou AHvg) est langle qui sépare le méridien de lobservateur du méridien contenant lastre. Méridien de Greenwich Observateur M Soleil PGPG Méridien de lobservateur AHL G AHG AHL = AHG – G Nord Sud Zénith du lieu Vertical de lastre Dz D Cercle horaire de lastre

6 6 Langle horaire local AHL se compte toujours depuis lobservateur vers lastre dans le sens des aiguilles dune montre. Il se mesure de 0° à 360°. Observateur M Pôle Nord Greenwich O Astre PGPG G AHL AHG AHL = AHG – G

7 7 Observateur M Pôle Nord Greenwich O Astre PGPG G AHG AHL AHL = AHG – G Ici, G est une longitude E, elle est donc négative…

8 8 EXEMPLES Exemple 1 Le 4 mai 2008 à 0H TU, donner la valeur de D et de AHL à 4H35min TU au lieu de longitude G = 5° 56 E. Extrait des éphémérides nautiques à 0H TU, année 2008 Le 4 mai 2008, on lit : AHvo = 180° 48,2 Var(AHvo) = 15,001 °/H Dec = 16° 0,8 N Var(Dec) = + 0,7/H A 4H 35 min : D = 16° 0,8 + 0,7 4H 35 min = AHvo = 180° 48,2 + 15,001 4H 35 min = = 249° 33,475 AHL = AHG – G = AHvo – G = = 255° 29,475 16,06681° = 16° 4 0,5 = 16° 4 N 249,55792° = 249° 33 28,5 249° 33, ° 56 = 255,49125° = 255° 29 28,5 Ou avec les éphémérides complètes du Bureau des Longitudes…

9 9 Exemple 1 Le 4 mai 2008 à 0H TU, donner la valeur de D et de AHL à 4H35min TU au lieu de longitude G = 5° 56 E. Ephémérides nautiques 2008, Bureau des longitudes Le 4 mai 2008 : AHvo = 240° 48,4 à 04H TU AHvo = 255° 48,5 à 05H TU Dec = 16° 03,7 N à 04H TU Var(Dec) = + 0,7/H A 4H 35 min : D = 16° 3,7 + 0,7 0H 35 min = 16,06847° = 16° 4 6,5 = 16° 4,11 N AHvo = 240° 48,4 + (255° 48,5 – 240° 48,4 ) 0H 35 min = 249,55764° = 249° 33 27,5 = 249° 33,46 AHL = AHG – G = AHvo – G = 249° 33,46 + 5° 56 = 255,491° = 255° 29 27,6 = 255° 29,46

10 10 Exemple 2 Trouver la valeur de AHG et de D du Soleil le 2 janvier 2009 à 8H 32min 55s Extrait des éphémérides nautiques à 0H TU, année 2008 Le 2 janvier 2009 : AHvo = 179° 1,5 Var(AHvo) = 14,995 °/H Dec = 22° 55,4 S Var(Dec) = + 0,2/H A 8H 32min 55s : AHG = 179° 1,5 + 14,995 8H 32min 55s = 307,21142° = 307° 12 41,12 = 307° 12,69 D = – 22° 55,4 + 0° 0,2 8H 32min 55s = – 22,89484° = – 22° 53 41,42 = – 22° 53,69 On peut utiliser également les petits programmes CASIO : DECLINAI pour calculer la déclinaison (la variation directement en ) AH LOCAL pour calculer AHG et AHL

11 11 Exemple 3 Trouver la valeur de AHL et de D le 9 septembre 2008 à 9H 22min 12s Position : L = 3° 27,25 S G = 8° 8,32 W Extrait des éphémérides nautiques à 0H TU, année 2008 Le 9 septembre 2008 : AHvo = 180° 39,8 Var(AHvo) = 15,004 °/H Dec = 5° 15,3 N Var(Dec) = – 0,9/H En utilisant les programme AH LOCAL et DECLINAI, on trouve : AHG = 321,25081° = 321° 15 2,93 AHL = 313,11215° = 313° 6 43,73 D = 5,11445° = 5° 6 52,02

12 12 Exemple 4 Trouver la valeur de AHL et de D le 24 septembre 2008 à 18H 15min 17s Position : L = 42° 6,8 N G = 6° 31,8 E Extrait des éphémérides nautiques à 0H TU, année 2008 Le 24 septembre 2008 : AHvo = 181° 59,6 Var(AHvo) = 15,004 °/H Dec = 0° 31,4 S Var(Dec) = – 1/H En utilisant les programme AH LOCAL et DECLINAI, on trouve : AHG = 455,88719° = 455° 53 13,87 AHL = 462,41719° = 102,41719° = 102° 25 1,87 D = 5,11445° = 5° 6 52,02

13 13 Relations entre coordonnées locales et coordonnées horaires Les coordonnées du Soleil sont parfaitement connues à lavance et à chaque instant. Coordonnées horaires AHG et D + Coordonnées géographiques L et G Par le calcul… Coordonnées horizontales H et Z

14 14 TERRE Observateur M Zénith Horizon H Dz = 90° – H PGPG Dz = 90° – H Dz = distance zénithale Exprimée en minutes, elle donne la distance en milles qui sépare lobservateur du pied de lastre.

15 15 Méridien de Greenwich Observateur M Soleil PGPG Méridien de lobservateur AHL G AHG Nord Sud Zénith du lieu Vertical de lastre Dz = 90 – H D Cercle horaire de lastre Le côté (P G M) du triangle sphérique NordP G M est parfaitement déterminé car on connaît les 2 autres côtés P G Nord et MNord de ce triangle ainsi que langle qui les sépare (AHL).

16 16 Méridien de Greenwich Observateur M Soleil PGPG AHL G AHG Nord Zénith du lieu Vertical de lastre Dz D Cercle horaire de lastre 90° – D 90° – H L 90° – L La formule fondamentale de la trigonométrie sphérique donne : cos(90 – H) = cos(90 – D)cos(90 – L) + sin(90 – D)sin(90 – L)cosAHL AHL

17 17 cos(90 – H) = cos(90 – D)cos(90 – L) + sin(90 – D)sin(90 – L)cosAHL Soit : sin H = sinD sinL + cosD cosL cosAHL La hauteur de lastre par le calcul dépend de la date et de la position et est donnée par la formule : Hc = sin -1 (sinD sinL + cosD cosL cosAHL) Remarque : Si les points M et PG étaient inversés, langle entre les 2 côtés du triangle sphérique ne serait plus AHL mais 360 – AHL, ce qui ne change rien pour le cosinus… Par permutation circulaire, on en déduit la formule qui donne le côté (90 – D) et qui fait donc intervenir langle Zc entre les deux autres côtés. Si le Soleil est à lOuest de lobservateur (cas de la figure, PM ou 180° < AHL < 360°), alors lazimut du Soleil est Z = 360 – Zc. Si le Soleil se trouve à lEst de lobservateur (AM ou 0° < AHL < 180°), alors Z = Zc

18 18 Méridien de Greenwich Observateur M Soleil PGPG AHL G AHG Nord Zénith du lieu Vertical de lastre Dz D Cercle horaire de lastre 90° – D 90° – H L 90° – L La formule fondamentale de la trigonométrie sphérique donne : cos(90 – D) = cos(90 – H)cos(90 – L) + sin(90 – H)sin(90 – L)cosZc Zc 360 – Zc

19 19 cos(90 – D) = cos(90 – H)cos(90 – L) + sin(90 – H)sin(90 – L)cosZc Soit : sinD = sinH sinL + cosH cosL cosZc sinH sinL + cosH cosL cosZc = sinD cosH cosL cosZc = sinD – sinH sinL Si heure locale AM, Z = Si heure locale PM, Z = Zc 360 – Zc

20 20 Exemple Trouver la hauteur du Soleil H et son azimut Z le 24 septembre 2008 à 16H 15min 17s heure locale. Position (Nouméa, Anse Vata) : L = 22° 18 13S G = 166° 26 28E Extrait des éphémérides nautiques à 0H TU, année 2008 Le 24 septembre 2008 : AHvo = 181° 59,6 Var(AHvo) = 15,004 °/H Dec = 0° 31,4 S Var(Dec) = – 1/H Heure TU = 5H 15min 17s H = sin -1 (sinD sinL + cosD cosL cosAHL) D = – 0,61091° = – 0° 36 39,28 AHL = 427,27630° = 67,27630° = 67° 16 34,67 H = sin -1 (sin(– 0° 36 39,28) sin(– 22° 18 13) + cos(–0° 36 39,28) cos(– 22° 18 13) cos(67° 16 34,67)) H = 21,18706° = 21° 11 13,42

21 21 Zc = 81,56768° = 81° 34 3,65 AHL < 180° donc PM Z = 360 – Zc Z = 360 – 81° 34 3,65 Z = 278,43232° = 278° 25 56,35 En utilisant le programme « HC ET AZ », on obtient directement : H = 21,18706° = 21° 11 13,42 Z = 278,43232° = 278° 25 56,35


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