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NAVIGATION ASTRONOMIQUE
La démonstration de l’équation fondamentale Patrick RUER
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z Le triangle ABC, formé de 3 arcs de grand cercle, est un triangle sphérique. La longueur de l’arc AB en milles est égal à l’angle c exprimé en minutes. C b A a Ĉ c B On fait les calculs dans le repère (Oxyz) R c O y Ĉ x Terre Les angles du triangle sphérique sont ceux que font les tangentes aux arcs à leurs points d’intersection, c’est-à-dire aux sommets.
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C z b a c A b B b a c a O y Ĉ x Rsina Rsinb cosĈ Rsinb sinĈ OB OA
OA Rsinb sinĈ a Rcosa Rcosb c A Rcosb b B b R Rcosa a c a O Rsinb sinĈ Rsinb cosĈ Rsinb Rsina y Ĉ x
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On fait le produit scalaire des deux vecteurs OA et OB de 2 façons différentes.
Rsinb cosĈ Rsina OA Rsinb sinĈ OB Rcosb Rcosa Donc : Soit :
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Autrement dit le 3e côté d’un triangle sphérique est parfaitement déterminé dès que l’on connaît les 2 autres côtés et l’angle qui les sépare. C b A Â a c B R c O Ĉ On a donc 2 autres formules obtenues par permutation circulaire. Exemple : la formule ci-dessous…
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