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La théorie de lutilité espérée La fonction-objectif de Von Neumann et Morgenstern se définit par rapport à lutilité espérée : Max E(U(R)) Lorsquil y a.

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2 La théorie de lutilité espérée La fonction-objectif de Von Neumann et Morgenstern se définit par rapport à lutilité espérée : Max E(U(R)) Lorsquil y a N états de la nature, indicés par i et de probabilité p i et que le revenu associé à chaque état de la nature est R i, lutilité espérée sécrit : E(U(R)) = N i=1 p i U (R i )

3 La première loi de Gossen et laversion pour le risque U(R) U (5) U(E(R)) E(U(R)) E(R) 5 R La concavité de la fonction dutilité U(R) vient de la 1 ère loi de Gossen. Envisageons une loterie où lindividu a une chance sur deux de toucher un revenu de 5, et une chance sur deux de toucher un revenu nul. E(U(R)) représente lespérance dutilité de cette loterie. Lindividu serait plus satisfait de toucher avec certitude lespérance du gain de cette loterie ! En effet, on a U(E(R))>E(U(R))

4 Léquivalent-certain et la prime de risque U(R) U (5) E(U(R)) R EC E(R) 5 R prime de risque R EC est léquivalent-certain de cette loterie. Léquivalent-certain dune loterie est donc le revenu qui, obtenu avec certitude, procure à un individu le même niveau dutilité que la loterie. U(R EC ) = E(U(R)). La différence E(R) - R EC représente la prime de risque.

5 La concavité de la fonction dutilité et laversion pour le risque U(R) R La concavité de la fonction dutilité capte ainsi le degré daversion au risque. On a représenté ici les fonctions dutilité dindividus, du plus averse au moins averse. La droite correspond à la fonction dutilité dun individu neutre au risque. La courbe convexe en vert correspond à une fonction dutilité atypique : elle viole la 1 ère loi de Gossen. Elle correspond au cas dun individu risquophile

6 Laversion pour le risque se mesure par lindice dArrow-Pratt U(X) X Aussi on peut mesurer lintensité de laversion pour le risque par lindice dArrow-Pratt, qui vaut pour chaque point de la courbe : Cet indice est positif lorsque la fonction dutilité est concave, lorsque la 1 ère loi de Gossen est vérifiée. Plus il est élevé, plus la concavité de la fonction dutilité est prononcée, plus lindividu est averse au risque.

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