Information, Calcul, Communication

Présentation au sujet: "Information, Calcul, Communication"— Transcription de la présentation:

1 Information, Calcul, Communication
Ce videoclip produit par l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne fait partie de son cours d’introduction à l’information, à la communication, et au calcul. Il s’inscrit dans le 2e module du cours qui porte sur les notions d’échantillonnage et de reconstruction de signaux puis introduit les notions d’entropie et de compression de signaux. Information, Calcul, Communication 2. Information & Communication – Leçon 1: Echantillonnage Clip 6. Fréquence d’échantillonnage O. Lévêque, commentaire: P. Janson

2 Plan de la leçon 2.1 Signaux Fréquences, bande passante, spectre
Filtrage Echantillonnage Fréquence d’échantillonnage Le 5e et dernier clip de cette leçon concerne la fréquence d’échantillonnage d’un signal, dont le clip précédent a suggéré graphiquement qu’elle ne devait pas tomber en-dessous du double de la fréquence dominante du signal à échantillonner.

3 Echantillonnage d’une sinusoïde pure
X(t) = sin(2πt) (f = 1Hz) Te = 0.05 s Te = 0.1 s Te = 0.2 s Reprenons un signal sinusoïdal pur de fréquence 1 Hz et voyons comment l’échantillonner à différentes fréquences 1 Ce 1er graphique représente un échantillonnage tous les 5 centièmes de secondes. 2 Ce 2nd graphique représente un échantillonnage tous les dixièmes de secondes. 3 Le 3e graphique représente un échantillonnage tous les 2 dixièmes de secondes. 4 Le 4e graphique représente un échantillonnage tous les quarts de secondes. 5 Le 5e graphique représente un échantillonnage tous les tiers de secondes. 6 Ce 6e graphique représente un échantillonnage tous les 45 centièmes de secondes. Te = 0.25 s Te = 0.33 s Te = 0.45 s

4 Echantillonnage d’une sinusoïde pure: fréquence minimale
X(t) = sin(2πt) (f = 1Hz) => Pour pouvoir reconstruire la sinusoïde à partir de l’échantillon il est nécessaire que Te < 0.5 sec, autrement dit, que fe = 1/ Te > 2 Hz Dès qu’on échantillonne le signal au double de sa fréquence on perd toute notion de sa forme. Si on veut se faire la moindre idée sur la forme d’un signal sinusoïdal pour pouvoir le reconstruire il est absolument nécessaire de l’échantillonner au moins au double de sa fréquence, c.à.d. avec une période inférieure à la moitié de la période du signal lui-même. Te = 0.5 s

5 Fréquence d’échantillonnage minimale
De façon générale: pour pouvoir reconstruire une sinusoïde de fréquence f à partir d’une version échantillonnée à une fréquence fe il faut que fe > 2f Le théorème d’échantillonnage (voir vidéoclip 2.2.3) assure que: Cette condition est non seulement nécessaire mais aussi suffisante Elle s’applique à tous les signaux périodiques, pas juste aux sinusoïdes D’une façon générale, pour pouvoir reconstruire une sinusoïde de fréquence f à partir d’une version échantillonnée à une fréquence fe il faut que la fréquence d’échantillonnage fe soit supérieure à 2 x la fréquence f du signal. 1 Le théorème d’échantillonnage dont nous reparlerons dans le 3e vidéoclip de la 2e leçon de ce module assure que: Cette condition fe > 2f est non seulement nécessaire mais aussi suffisante. Elle s’applique d’ailleurs à tous les signaux périodiques et pas seulement aux sinusoïdes.

6 Application Sur un CD le son est échantillonné à une fréquence de 44.1 kHz parce que les sons d’une fréquence supérieure à 20 kHz ne sont (en général) pas perçus par l’oreille humaine (… donc il ne sert à rien de les échantillonner) C’est bien pour cette raison que sur un CD le son est échantillonné à une fréquence de 44.1 kHz En effet l’oreille humaine ne perçoit les sons que de ±20 Hz à ±20kHz. Les échantillonner à 44.1 kHz, soit un peu plus du double de 20kHz, c.à.d. un peu plus que toutes les 23 µs, est amplement suffisant. Les échantillonner plus fréquemment, p.ex. toutes les 20 µs demanderait plus d’espace de stockage ou de temps de transmission sans aucun avantage vu que personne n’entendrait la différence.

7 Sous-échantillonnage
Que se passe-t-il lorsque la fréquence d’échantillonnage fe est trop basse, c’est-à-dire lorsque le signal est sous-échantillonné ? Inversement on peut se poser la question de savoir ce qui advient des hautes fréquences quand la fréquence d’échantillonnage est trop basse, c.à.d. quand elles sont ce qu’on appelle sous-échantillonnées.

8 Sous-échantillonnage de sinusoïdes pures X(t)=sin(2πft)
Te = 0.09s => fe = 1/0.09 = Hz f = 1 Hz f = 5 Hz f = 12 Hz Prenons le cas d’un signal contenant des sinusoïdes de plusieurs fréquences. Imaginons que nous échantillonnons ce signal tous les 9 centièmes de seconde, c.à.d. à une fréquence réelle de Hz. 1 Une sinusoïde de f = 1 Hz serait raisonnablement échantillonnée. 2 Une sinusoïde de f = 2 Hz le serait également. 3 Plus la fréquence de la sinusoïde s’approche de la moitié de la fréquence d’échantillonnage de Hz, moins l’image qu’on peut se faire de la sinusoïde originale devient claire, Comme on le voit pour une composant sinusoïdale de f = 5 Hz 4 Pour une sinusoïde de f = 6 Hz on a dépassé le seuil et on voit clairement se développer l’image d’un signal en quelque sens «dédoublé». 5 Pour une sinusoïde de f = 12 Hz on voit en fait se développer l’image d’une sinusoïde qui n’a plus rien à voir avec le signal original. 6 Un tel phénomène est en fait déjà visible pour une sinusoïde de f = seulement 10.5 Hz. f = 10.5 Hz f = 2 Hz f = 6 Hz

9 Effet stroboscopique Dans les deux derniers cas on voit apparaître une sinusoïde de fréquence inférieure qui de plus part vers le bas => Ce phénomène appelé effet stroboscopique survient lorsqu’on sous-échantillonne un signal Dans ces deux derniers cas, on voit apparaître 1 non seulement des sinusoïdes de fréquences bien inférieures à celle du signal original 2 mais même des sinusoïdes qui, dans certains cas, peuvent partir dans le sens inverse du signal original. 3 Ceci est à la base de l’observation de phénomènes dits stroboscopiques, caractéristiques de la représentation de signaux physiques sous-échantillonnés. f = 12 Hz f = 10.5 Hz

10 Effet stroboscopique: exemples
De tels phénomènes nous sont en fait bien connus depuis l’invention du cinéma et des vidéos numérisées. Elles sont en effet numérisées pour capturer les mouvements dans un domaine raisonnable de vitesses. Mais certains mouvements naturels sortent de ce cadre «raisonnable» et sont donc sujet à des effets stroboscopiques. 1 Il en va ainsi de roues (de voitures ou autres) tournant à des fréquences supérieures à celles auxquelles il est raisonnable d’échantillonner le mouvement des véhicules eux-mêmes. 2 Il en va de même pour la rotation d’une hélice, ici d’un hélicoptère dont on dirait que les pales ne tournent pas … 3 ... ou d’un avion dont on dirait qu’il «produit» des pales sans fin comme un magicien produit des cartes.

11 Effet stroboscopique: exemples
Exemple sur une texture de mur de brique Sans même parler de mouvement on rencontre le phénomène même sur des photos statiques, des photos qui n’ont pas été échantillonnées avec une densité suffisante, de telle sorte qu’elles manquent de capturer correctement la fréquence répétitive présente dans un motif naturel et lui donnent faute de cela un aspect de moiré.

12 Résumé Tous les signaux périodiques sont des sommes de sinusoïdes
Le spectre d’un signal est la trace de l’ensemble des fréquences qu’il renferme La bande passante d’un signal désigne la plus haute fréquence qu’il renferme Le filtrage d’un signal sert à en éliminer des fréquences indésirables L’échantillonnage d’un signal le représente par une série de valeurs numériques La condition nécessaire et suffisante pour pouvoir reconstruire un signal à partir de ses valeurs échantillonnées est que fe > 2f En résumé donc, les 5 videoclips de cette leçon ont montré que: 1 Tous les signaux périodiques sont des sommes de sinusoïdes 2 Le spectre d’un signal est la trace de l’ensemble des fréquences qu’il renferme 3 La bande passante d’un signal désigne la plus haute fréquence qu’il renferme 4 Le filtrage d’un signal sert à en éliminer des fréquences indésirables 5 L’échantillonnage d’un signal le représente par une série de valeurs numériques 6 La condition nécessaire et suffisante pour pouvoir reconstruire un signal à partir de ses valeurs échantillonnées est que fe > 2f