Faculté de Sciences Sociales de Strasbourg – L1S – 2017 Séance 3

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1 Faculté de Sciences Sociales de Strasbourg – L1S2 2016 – 2017 Séance 3
Probabilités Faculté de Sciences Sociales de Strasbourg – L1S2 2016 – 2017 Séance 3

2 Previously in « Probabilité »
Loi de l’addition : 𝐴∪𝐵 𝑝 𝐴⋃𝐵 =𝑝 𝐴 +𝑝 𝐵 −𝑝 𝐴∩𝐵 Loi de Morgan : 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴∪𝐵 et 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴∩𝐵 Loi de la multiplication : 𝐴∩𝐵 Événements indépendants  𝒑 A∩B =𝒑 𝑨 ×𝒑 𝑩 Événements dépendants  𝒑 𝑨∩𝑩 = 𝒑 𝑨 𝑩 ×𝐩(𝐀)

3 Previously in « Probabilité »
Le principe multiplicatif 𝑝 𝐴∩𝐵∩𝐶 =𝑝 𝐴 ×𝑝 𝐵 ×𝑝 𝐶 𝑝 𝐴 ×𝑝 𝐵 ×𝑝 𝐶 = 𝐴 Ω × 𝐵 Ω × 𝐶 Ω 𝑝 𝐴 ×𝑝 𝐵 ×𝑝 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 Ω × Ω × Ω = 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 Ω 3

4 Previously in « Probabilité »
Formule de Bayes Si p(B)≠0 𝑝 𝐵 𝐴 = 𝑝 𝐴 𝐵 ×p(A) p(B)

5 Previously in « Probabilité »
Formule de Bayes, si on va plus loin On remarque que : 𝑝 𝐵 =𝑝 𝐴∩𝐵 +𝑝 𝐴 ∩𝐵 = 𝑝 𝐴 𝐵 ×𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐴 (𝐵)×𝑝( 𝐴 ) Alors : 𝑝 𝐵 𝐴 = 𝑝 𝐴 𝐵 ×p(A) 𝑝 𝐴 𝐵 ×𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐴 (𝐵)×𝑝( 𝐴 )

6 Previously in « Probabilité »
Toujours lire attentivement l’énoncé

7 Previously in « Probabilité »
Vous venez de passer un test pour le dépistage d’un cancer. Le médecin vous convoque et vous annonce que le résultat est positif. Ce type de cancer ne touche que 0.1% de la population. Patient, fébrile - Le test est-il fiable?  Médecin. -  Si vous avez ce cancer, le test sera positif dans 90% des cas ; alors que si vous ne l’avez pas, il sera négatif dans 97% des cas. Quelle est la probabilité que vous ayez ce cancer ?

8

9 Test Malade - M 𝑴 Total Positif - P 9 300 309 𝑷 1 9 690 9 691 10 9 990 10 000 Test Malade - M 𝑴 Total Positif - P 90 % 3 % 𝑷 10 % 97 % 100 % Fréquence en colonne : Test Malade - M 𝑴 Total Positif - P 2,9 % 97,1 % 100 % 𝑷 0,01 % 99,99 % 0,1 % 99,9 % Fréquence en ligne :

10 Previously in « Probabilité »
Sur les 309 personnes testées positives, 9 sont malades et 300 sont saines (faux positifs). Si vous êtes positif, vous n’avez que 2,9% (=9/309) de risque d’être malade et 97,1% (=300/309) de chance d’être un faux positif. Pourquoi ce résultat est-il contre-intuitif?

11 Previously in « Probabilité »
Soit l’événement M: « être malade » Soit l’événement P: « avoir un résultat positif au test » Confusion entre «  la probabilité d’être malade sachant que le test est positif » et « la probabilité d’être testé positif sachant que l’on est malade ».

12 Previously in « Probabilité »
Si vous êtes testé positif et que vous vous demandez si vous avez ce cancer, vous cherchez la probabilité suivante pP(M) : « la probabilité d’être malade sachant que le test est positif » Si le médecin vous dit que si vous avez ce cancer, le test sera positif dans 90% des cas, vous cherchez cette probabilité pM(P) : « la probabilité d’être testé positif sachant que l’on est malade »

13 Previously in « Probabilité » Comment passer de 𝑝 𝑃 𝑀 à 𝑝 𝑀 𝑃 ?
𝑝 𝑃 𝑀 = 𝑝 𝑀 𝑃 ∗𝑝(𝑀) 𝑝(𝑃) 𝑝 𝑃 𝑀 = 0,90∗0,001 0,0309 𝑝 𝑃 𝑀 =0,029=2,9% La probabilité d’être malade sachant que le test est positif 𝑝 𝑃 𝑀 = 2,9 % La probabilité d’être testé positif sachant que l’on est malade  𝑝 𝑀 𝑃 = 90%

14 Previously in « Probabilité » Le dénombrement
L’arrangement :  Disposition ordonnée de p éléments parmi n éléments Noté : 𝐴 𝑛 𝑝 lecture : « arrangement de p éléments parmi n » Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison

15 Previously in « Probabilité » Le dénombrement
Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 !

16 Previously in « Probabilité » Le dénombrement
Les factorielles : « ! » 𝑛!=𝑛∗ 𝑛−1 ∗ 𝑛−2 ∗…∗3∗2∗1 Exemple : 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 𝑛∗ 𝑛−1 !=𝑛! Exemple : 6 x 5! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! 1!=1 0!=1

17 Previously in « Probabilité » Le dénombrement
𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! n représente le nombre d'éléments dans l'ensemble p représente le nombre d'éléments sélectionnés dans l'ensemble

18 Previously in « Probabilité » Le dénombrement
Dans une association, on doit élire 1 président, 1 secrétaire et 1 trésorier parmi n candidat. Sachant que tous les candidats se présentent à tous les postes, combien y a-t-il de possibilités avec : n = 3 𝐴 3 3 = 3! 3−3 ! = 3! 0! = 3 × 2 ×1 1 =6 n = 6 𝐴 3 6 = 6! 6−3 ! = 6! 3! = 6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 3 ×2×1 = 6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 3 ×2×1 =6×5×4 = 120

19 Previously in « Probabilité » Le dénombrement
𝐴 3 10 = 10! 10−3 ! = 10! 7! = 10×9×8×7×6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 7×6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 = 10×9×8×7×6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 7×6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 = 10×9×8=720 n = 101 𝐴 = 101! 101−3 ! = 101! 98! =101×100×99=

20 Previously in « Probabilité » Le dénombrement
Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃 𝑛 =𝑛! Quand n=p  Permutation Définition : disposition ordonnée de tous les éléments d’un ensemble

21 Arrangement et permutation
Dans l’exercice précédent nous avions dit qu’avec n=3 𝐴 3 3 = 3! 3−3 ! = 3! 0! = 3 × 2 ×1 1 =6 Soit : 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 !  𝐴 𝑛 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑛 !  𝐴 𝑛 𝑛 = 𝑛! 0! = 𝑛! 1 =𝑛! On note quand n=p : 𝑷 𝒏 =𝒏!  𝑃 3 =3!=3×2=6 La permutation est une simplification de la formule de l’arrangement quand n=p

22 Tout va s’arranger Avec remise
Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃 𝑛 =𝑛! 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛 𝑝

23 Tout va s’arranger Avec remise
Nombre d’arrangements possibles avec remise 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛 𝑝 n représente le nombre d'éléments dans l'ensemble p représente le nombre d'éléments sélectionnés dans l'ensemble

24 Arrangement avec remise
1er evt ème evt Résultats D E F G DD DE DF DG ED EE EF EG FD FE FF FG GD GE GF GG EFG L’ordre compte : DE ≠ ED Les arrangements possibles sont (D,D),(D,E),(DF),(D,G), … (G,G) 16 arrangements possibles Soit 4 x 4 = 16 arrangements possibles

25 Tout va s’arranger Avec remise
Avec la formule n=4 et p=2 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛 𝑝 𝐴 4 2 = 4 2 =4×4=16 arrangements possibles

26 Tout va s’arranger Avec remise
Vous devez choisir un mot de passe de n caractères. Combien existe-t-il de mots de passe possibles si: Le mot de passe ne comporte que des voyelles en minuscule et fait 5 lettres. n = 6 (voyelles dans l’alphabet) p = 5 (lettres dans le mot de passe) 𝐴 6 5 = 6 5 =6×6×6×6×6=7 776

27 Tout va s’arranger Avec remise
Vous devez choisir un mot de passe de n caractères. Combien existe-t-il de mots de passe possibles si: b) Le mot de passe ne comporte que des voyelles en minuscule et fait 10 lettres. n = 6 (voyelles dans l’alphabet) p = 10 (lettres dans le mot de passe) 𝐴 6 10 = 6 10 =6×6×6×6×6×6×6×6×6×6= mots de passes différents possibles

28 Tout va s’arranger Avec remise
Vous devez choisir un mot de passe de n caractères. Combien existe-t-il de mots de passe possibles si: c) Le mot de passe fait 6 lettres et peut comporter chacune des 26 lettres de l'alphabet français. n = 26 (lettres dans l’alphabet) p = 6 (lettres dans le mot de passe) 𝐴 26 6 = 26 6 = mots de passes différents possibles

29 Tout va s’arranger Avec remise
Une personne veut entrer dans un ordinateur, il ne connait pas le mot de passe mais a vu le propriétaire le taper : il n’utilisait que les lettres du clavier et a frappé 6 fois sur le clavier. Quelle est la probabilité de trouver le mot de passe avec 10 essais ? Card (A) = 10 (essais) Card(Ω) = ?  Arrangement avec remise Card(Ω) = 𝑨 𝒏 𝒑 avec n=26 et p=6 Card(Ω)= 𝐴 26 6 = = p A = 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴) 𝐶𝑎𝑟𝑑 (Ω) = =0, Soit, en 10 essais, on a 0, % de chance de trouver le mot de passe

30 ? Ordonné ? Avec remise ? Arrangement Combinaison Oui Non
𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃 𝑛 =𝑛! 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛 𝑝 ?

31 La combine Un moyen astucieux
Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃 𝑛 =𝑛! 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛 𝑝 Disposition non ordonnée de p éléments parmi n éléments Oui Non 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑝!∗ 𝑛−𝑝 !

32 Combinaison Sans remise
𝑪 𝒏 𝒑 = 𝒏! 𝒑!× 𝒏−𝒑 ! 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′ 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

33 De l’arrangement à la combinaison
𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′ 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! 𝑝! 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! ∗ 1 𝑝! 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑝! 𝑛−𝑝 !

34 De l’arrangement à la combinaison - Illustration
On tire au hasard trois billes d'un sac contenant une bille rouge (R), une bille bleue (B), une bille jaune (J) et une bille verte (V). 24 arrangements possibles en tenant compte de l'ordre : (R, B, J), (R, B, V), (R, J, B), (R, J, V), (R, V, B), (R, V, J), (B, R, J), (B, R, V), (B, J, R), (B, J, V), (B, V, R), (B, V, J), (J, R, B), (J, R, V), (J, B, R), (J, B, V), (J, V, R), (J, V, B), (V, R, B), (V, R, J), (V, B, R), (V, B, J), (V, J, R), (V, J, B). 6 permutations possibles: 6 façons différentes de tirer trois billes de couleur si l'on tient compte de l'ordre 4 combinaisons possibles : (R, B, J), (R, B, V), (J, B, V), (J, V, R). Si l’on tient pas compte de l’ordre, RBJ=RJB=BRJ=BJR=JRB=JBR Donc on divise 24 par 6  4

35 De l’arrangement à la combinaison
Avec la formule p=3 billes choisies parmi n=4 billes 𝑪 𝒏 𝒑 = 𝒏! 𝒑! 𝒏−𝒑 ! 𝐶 4 3 = 4! 3! 4−3 ! 𝐶 4 3 = 4×3×2×1 3×2×1 ×1 𝐶 4 3 = 24 6 =4

36 C’est quoi la combine ? Dans un jeu de 32 cartes, combien de mains de 5 cartes peut-on recevoir ? Ordre ? Remise ?

37 C’est quoi la combine ? Dans un jeu de 32 cartes, combien de mains de 5 cartes peut-on recevoir ? Ordre ? NON Remise ? NON  Combinaison sans remise : 𝑪 𝒏 𝒑 = 𝒏! 𝒑! 𝒏−𝒑 !

38 C’est quoi la combine ? Dans un jeu de 32 cartes, combien de mains de 5 cartes peut-on recevoir ?  Combinaison sans remise : 𝑪 𝒏 𝒑 = 𝒏! 𝒑! 𝒏−𝒑 ! Avec p=5 cartes parmi n=32 𝐶 32 5 = 32! 5! 32−5 ! 𝐶 32 5 = 32×31×30×28×27! 5! × 27! = 32×31×30×29×28 5×4×3×2 = 𝑚𝑎𝑖𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

39 Ordonné ? Avec remise ? Arrangement Combinaison Oui Non
𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃 𝑛 =𝑛! 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛 𝑝 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑝!× 𝑛−𝑝 ! 𝑪 𝒏 𝒑 = (𝒏+𝒑−𝟏)! 𝒑!× 𝒏−𝟏 !

40 Combinaison Avec remise
Nombre de combinaisons possibles avec remise 𝑪 𝒏 𝒑 = (𝒏+𝒑−𝟏)! 𝒑!× 𝒏−𝟏 ! n représente le nombre d'éléments dans l'ensemble p représente le nombre d'éléments sélectionnés dans l'ensemble

41 Combinaison Avec remise
Dans un festival, vous avez 5 tickets boisson. Le bar peut vous servir 8 boissons différentes pour 1 ticket… Combien de possibilités avez-vous ? Ordre ? Remise ?

42 Combinaison Avec remise
On tire au hasard trois billes dans une urnes qui contient 1 bille rouge, 2 billes violettes distinctes, et 3 billes kaki distinctes. Combien existe-t-il de combinaisons possibles si l’on effectue les tirages avec répétition ? Ordre ? Non, Remise ? Oui  Combinaison avec remise : 𝑪 𝒏 𝒑 = (𝒏+𝒑−𝟏)! 𝒑!× 𝒏−𝟏 ! Avec p=3 billes choisies parmi n=8 billes 𝐶 7 3 = (7+3−1)! 3! 7−1 ! = 9! 3!∗6! 𝐶 7 3 = 9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 3∗2∗1∗6∗5∗4∗3∗2∗1 = =84 combinaisons possibles

43 Combinaison Avec remise
On peut aussi passer par la formule de la combinaison sans répétition en remplaçant n par n+p-1 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑝! 𝑛−𝑝 ! 𝐶 7+3−1 3 = 𝐶 9 3 𝐶 7+3−1 3 = 9! 3! 9−3 ! 𝐶 7+3−1 3 =84

44 S’arranger avec nos combinaisons
Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃 𝑛 =𝑛! 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛 𝑝 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑝!× 𝑛−𝑝 ! 𝐶 𝑛 𝑝 = (𝑛+𝑝−1)! 𝑝!× 𝑛−1 !

45 Quelques illustrations pour digérer

46 Vers l’infini et l’au-delà !
1er semestre Statistique descriptive 2ème semestre Probabilités 3ème et 4ème semestres Statistiques inférentielles

47 Statistiques inférentielles ? Variable aléatoire
Définition : Variable qui prend différentes valeurs numériques selon le résultat d’une expérience aléatoire Grandeur numérique dont la valeur dépend du résultat de l’expérience aléatoire

48 Variable aléatoire Illustrons !
On lance un dé à 6 faces. Si le résultat est pair, le joueur gagne le double du résultat. Si le résultat est impair, le joueur perd le double du résultat. Soit X, la variable aléatoire, qui est égale au gain du joueur. Quelles sont les valeurs possibles de X? Quelle est la loi de probabilité de X?

49 Variable aléatoire Illustrons !
Quelles sont les valeurs possibles de X? Intérêt du tableau : lister toutes les valeurs de X sans en oublier Plus petite valeur: -10 Plus grande valeur: 12 Résultats 1 2 3 4 5 6 Valeur de X -2 -6 8 -10 12

50 Variable aléatoire Illustrons !
Quelle est la loi de probabilité de X ? La loi de probabilité d’une variable aléatoire (v. a.) X est donnée par le tableau suivant: aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Somme des probabilités est égale à 1 : 𝑖=1 𝑛 𝑝𝑖 =1 Valeurs de X xi x1 x2 x3 … xn Probabilités pi p(X=x1) p1 p(X=x2) p2 p(X=x3) p3 p(X=xn) pn Notation abrégée

51 Variable aléatoire Illustrons !
Exemple du dé : Résultats 5 3 1 2 4 6 Valeurs de X xi -10 -6 -2 8 12 Probabilités pi 1/6

52 Variable aléatoire Illustrons !
Exemple du dé :  𝑝𝑖 =1 Valeurs de X xi -10 -6 -2 4 8 12 Probabilités pi 1/6

53 Variable aléatoire et loi de probabilité
La loi de probabilité d’une variable aléatoire est l’ensemble des valeurs possibles de X (xi) et les probabilités associées (pi) Lister toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X xi Pour chaque valeur de X, calculer la probabilité qu’elle soit obtenue pi

54 A retenir ! Ordonné ? Avec remise ? Arrangement Combinaison Oui Non
𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃 𝑛 =𝑛! 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛 𝑝 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑝!× 𝑛−𝑝 ! 𝐶 𝑛 𝑝 = (𝑛+𝑝−1)! 𝑝!× 𝑛−1 !

55 A retenir ! Variable aléatoire Loi de probabilité
Variable qui prend différentes valeurs numériques selon le résultat d’une expérience aléatoire Majuscule pour la variable aléatoire (v. a.), minuscule pour les valeurs prises par la v. a. Loi de probabilité Ensemble des valeurs possibles de X et des probabilités associées 𝑝𝑖 =1