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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Moments de forces Moments de forces.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Moments de forces Moments de forces

2 Mise en situation Supposons que, dans lassemblage illustré, on suspend une masse. Celle-ci exerce alors une force dont leffet est une rotation de sens horaire de la tige horizontale par rapport au point O. F cos F sin En éloignant la masse sur la tige horizontale, on augmente la propension à la rotation de celle-ci. Pour équilibrer le système, on peut devoir ajouter un câble de soutien à lextrémité de la tige pour communiquer un effet de rotation de sens antihoraire. Si ce câble est attaché à la tige verticale, seule la composante verticale de la tension dans la corde (F sin ) aura un effet de rotation sur la tige puisque la composante horizontale passe par le point O. On constate que leffet de rotation dune force appliquée sur la tige dépend de sa distance à laxe de rotation et de langle quelle fait avec la tige.

3 Laxe de rotation est la ligne imaginaire autour de laquelle tourne lobjet. Dans lillustration, le point A représente laxe de rotation qui est perpendiculaire à lécran. Moment Définitions Moment dune force et axe de rotation M = r F, est le rayon vecteur qui va de laxe de rotation au point dapplication du vecteur oùr F., par rapport à un axe A, est la tendance à la rotation, par rapport à cet axe, que la force com- munique au corps sur lequel elle agit. Le moment dune force F Le moment est un vecteur noté :

4 Bras du moment Définition Bras du moment en utilisant des caractères gras pour les modules. est la distance entre laxe de rotation et la ligne daction de la force. Le bras du moment, d = || r || sin Lorsque les vecteurs r et F sont perpen- diculaires, le bras du moment est la longueur du vecteur r. MFr = sin ou M = rFsin, Elle est notée : Le bras du moment est mesuré en mètres (m) et la force est mesurée en newtons (N). Lintensité du moment est mesurée en newtons- mètres (N·m). Cette intensité est égale à laire du parallélogramme formé par les vecteurs retF.

5 Exemple S Trouver lintensité du moment de la force exercée par la masse de 250 N par rapport au point A dans le montage illustré ci-contre. Doù : M = r(Fsin ) = 13,6 (250 sin 53,97°) = N·m = 2,75 kN·m La distance entre la ligne daction et laxe de rotation est de 11 m et la force selon la ligne daction est de 250 N. On a donc : On peut également faire le produit de la longueur de la tige AB par la composante de la force perpendiculaire à la tige. S Cela donne : AB = ,6 m et arctan 53,97° 11 8 F sin S Remarque La force de 250 N a deux composantes. Lune est perpendiculaire à la barre rigide BA. Lautre est dans la direction de cette barre et est orientée de B vers A. Le moment de cette composante est nul par rapport au point A, puisque sa ligne daction passe par ce point. Nous avons utilisé une approche géométrique pour calculer le moment. On peut également le déterminer par le produit vectoriel de vecteurs algébriques. Il faut alors considérer les vecteurs dans lespace R 3, puisque le produit vectoriel nest défini que dans R 3. M = = N·m = 2, kN·m = 2,75 kN·m

6 Moment et composantes S Considérons la situation ci-contre où une force est appliquée à un bloc dont les dimensions sont données. Cette force agit dans le plan perpendiculaire à larête du bloc qui joue le rôle daxe de rotation. Considérons seulement les forces et intro- duisons un système daxes. Les vecteurs algébriques sont : S Le produit vectoriel donne alors : S r= (r x ; r y ; 0) = (0,36; 0,32; 0) et F= (F x ; F y ; 0) = (F cos 65°; F sin 65°; 0) = 0 ijk 0,360,320 F cos 65°F sin 65°0 M = ij – 0 k + (0,36 F sin 65 – 0,32 F cos 65°) Le coefficient de k est appelé moment algé- brique. Il peut être positif ou négatif, et le signe indique le sens de la rotation, positif dans le sens antihoraire et négatif dans le sens horaire. Lintensité du moment est le module du produit vectoriel, soit : M = 0,36 F sin 65° + 0,32 F cos 65° = 0, 19 F N·m

7 Principe des moments THÉORÈME de Varignon Tout vecteur peut sexprimer comme une somme de vecteurs et, en particulier, comme comme combinaison linéaire des vecteurs dune base. Le moment dune force par rapport à un point est égal à la somme des moments de ses composantes par rapport à ce point. Mathématiquement, le théorème de Varignon sexprime sous une forme plus générale, soit la distributivité du produit vectoriel sur laddition vectorielle : ) ru = rv ( + ) = ( w ) + ( v w rr Les situations qui viennent dêtre présentées illustrent le théorème de Varignon (ou principe des moments) qui sénonce comme suit :

8 Composante et calcul du moment Procédure pour calculer lintensité du moment dune force par rapport à un axe (point A) 1.Construire un système daxes passant par laxe de rotation (point A). 3.Effectuer le produit vectoriel et déter- miner le moment algébrique. 4.Interpréter selon le contexte. 2.Déterminer, dans ce système daxes, les composantes des vecteurs retF. r F r cos r sin = (r x ; r y ; 0) = (r cos ; r sin ; 0) = (F x ; F y ; 0) = (F cos ; F sin ; 0) F cos F sin

9 Exemple S On applique une force de 250 N au bloc illustré ci-contre, perpendiculairement au milieu du côté de 0,4 m et faisant un angle de 53° avec lhorizontale. Calculer lintensité du moment de cette force par rapport à laxe A. Les vecteurs algébriques sont : S Le produit vectoriel donne alors : r= (r x ; r y ; 0) = (0,67; 0,22; 0) et F = (F x ; F y ; 0) = (250 cos 53°; 250 sin 53°; 0) = 0 ij k 0,360, cos 53°250 sin 53° 0 M = i j – 0 k + (167,5 F sin 53° – 55 cos 53°) = 0 i j + 0 k + 100,67... Lintensité du moment est donc 0, N·m = 0,10 k N·m et la rotation est de sens antihoraire.

10 Exemple SS Le produit vectoriel donne alors : r= (6; 3; 0) et F = (2; 7; 0) – (6; 3; 0) = (–4; 4; 0) = ( ) ijk 630 –440 M = Lintensité du moment est donc de 36 unités et la rotation est de sens antihoraire. Calculer le moment algébrique du vecteur par rapport à lorigine du système daxes. F En considérant un axe supplémentaire et en déterminant les vecteurs algébriques de R 3, on obtient : = 36 k k

11 Forces coplanaires non concourantes Lorsque plusieurs forces agissent sur un corps et que les lignes daction sont concourantes, leffet de la résultante est une translation, et il suffit de calculer les composantes de cette résultante pour décrire son effet. Lorsque plusieurs forces agissent sur un corps et que les lignes daction sont non concourantes, leffet de ces forces ne sera pas seulement une translation, mais également une rotation, ce qui signifie quil faut aussi calculer le moment de la résultante. Le système peut quand même être remplacé par un système plus simple, et la résultante des forces sobtient toujours en faisant la somme des composantes selon chacun des axes. Cependant, la ligne daction de cette résultante ne peut passer par le point de rencontre des lignes daction, puisquun tel point nexiste pas. Pour trouver cette ligne daction, nous servirons du théorème de Varignon.

12 Résultante de forces non concourantes Procédure pour trouver la résultante de forces coplanaires non concourantes 1.Déterminer la résultante dont les composantes sont : où n est le nombre de forces agissant en ce point. Calculer le module et largument du vecteur résultant. 2.Considérer un point O quelconque et faire la somme des moments des forces par rapport à ce point. 3.Trouver la distance algébrique d entre le point O choisi et la ligne daction de la résultante, de telle sorte que le moment algébrique de la résultante soit égal à la somme des moments : 4.Interpréter les résultats selon le contexte. Si d < 0, la rotation est de sens horaire. R R x = F ix i = 1 n R y = F iy i = 1 n et d = M i i = 1 n

13 Exemple S Trouver la résultante du système de vecteurs dont les caractéristiques apparaissent à la figure ci-contre et représenter graphiquement cette ré- sultante par un vecteur géométrique. Les vecteurs algébriques sont : S Les composantes de la résultante sont : F1F1 = (2; 4; 0), On connaît la grandeur, la direction et le sens du vecteur résultant, il faut maintenant en déterminer la ligne daction en prenant en considération le moment des forces. F2F2 = (–4; 2; 0) F3F3 = (3; –4; 0) Rx Rx = 2 – = 1 et Ry Ry = – 4 = 2 R (–2) 2 + (–5) 2 et = arctan 2 1 =, puisque le vecteur est dans le premier quadrant. =5 = = 63,43°

14 Exemple En déterminant les vecteurs algé- briques dans R 3 et en calculant les produits vectoriels, on obtient : ijk = 0 ij – 0 k + 12 r1r1 F1F1 = ijk = 0 ij – 0 k + 0 r2r2 F2F2 = ijk 500 3–40 = 0 ij – 0 k – 20 r3r3 F3F3 = Dans ce cas, la somme des moments est – 20 = –8. Cest la somme des composantes en k.

15 Exemple Le vecteur résultant R 5 63,43° = doit avoir le même moment algé- brique que le système de vecteurs. On doit donc avoir : 5 d = – 8, doù d = –8 = –3,58 5 On obtient | d | = 3,58. La ligne daction de la résultante est donc à une distance de 3,58 unités du point (0; 0). De plus, la somme des moments est négative. La rotation est donc de sens horaire. La ligne daction est une tangente au cercle de rayon 3,58 centré au point (0; 0), faisant un angle de 63,43° avec lhorizontale. 63,43° 153,43°

16 Résultante de forces non concourantes Procédure pour représenter la résultante de forces non concourantes par un vecteur géométrique 1.Trouver le bras du moment de la résultante. 2.Tracer la droite porteuse de d (le bras du moment de la résultante). Cette droite passe à lorigine et fait avec lhorizontale un angle de 90° +, où est largument de la résultante. 3.Tracer le cercle centré à lorigine et de rayon | d |. 4.Trouver le point dappui du vecteur. (Cest un des points dintersection de la droite porteuse et du cercle de rayon | d |. Il faut tenir compte du sens de la rotation et du sens de la résultante.) 5.Tracer la droite support du vecteur (elle passe par le point dappui et est perpendiculaire à la droite porteuse), tracer le vecteur en plaçant son origine au point dappui et en tenant compte de son sens.

17 Systèmes en équilibre Lorsque le poids dune barre nest pas négli- geable, laction de la barre sur son appui ne sera pas horizontale. Ainsi, dans la figure ci- contre, le poids de la barre sexerce vers le bas. En fait, la barre exerce, sur lappui A, une forces qui a une composante verticale et une composante horizontale. Il en est de même pour les réactions de ces appuis. Dans les situations mettant en cause des barres pesantes (ou chargées ailleurs quaux extré- mités), on ne pourra faire le schéma des forces en isolant seulement un point. Il faudra plutôt faire le schéma des forces en isolant la barre en entier. Au point B, la réaction est léquilibrante de la tension dans le câble.

18 Système en équilibre Procédure pour analyser les forces sur un corps rigide 1.Faire le schéma des forces en isolant un objet entier qui se déforme peu, appelé corps rigide. 2.Appliquer la condition déquilibre de rotation aux forces que subit le corps rigide, soit : 3.Appliquer la condition déquilibre de translation aux forces que subit le corps rigide, soit : 4.Résoudre les équations obtenues. 5.Interpréter les résultats selon le contexte. M 0 = F 0 =

19 Exemple La poutre de la situation illustrée ci-contre pèse 800 N. Déterminer, par une approche géomé- trique, la tension dans le câble BC et les composantes de la réaction de lappui en A. Faisons le diagramme des forces agissant sur la barre rigide. r1r1 P1P1 sin 90° + r2r2 P2P2 sin 90° = rTrT T sin 150° Le système étant en équilibre la somme des moments de sens horaire doit égaler la somme des moments de sens antihoraire, ce qui donne : Cela donne : = 6 T sin 150° Doù : T = sin 150° = La tension dans le câble est donc de N. S F x = 0 F y = 0 Ax Ax = Tcos 30°Ay Ay + Tsin 30° = Ax Ax = 0,866...TAy Ay + 0,5 T = 1400 Ax Ax = 0,866… Ay Ay = 1400 – 0, Ax Ax = N Ay Ay = 400 N Les réactions de lappui en A sont de N à lhorizontale et de 400 N à la verticale. Le système étant en équilibre de translation, on a : 30°

20 Exemple La poutre de la situation illustrée ci-contre pèse 800 N. Déterminer, par une approche algé- brique, la tension dans le câble BC et les composantes de la réaction de lappui en A. Considérons le diagramme des forces agissant sur la barre rigide dans un système daxes tridimensionnel et déterminons les vecteurs algébriques. ijk 300 0–8000 ijk 600 0–6000 ijk 600 TxTx TyTy 0 + La condition déquilibre de rotation donne : r1r1 P1P1 + r2r2 P2P2 + FTFT rTrT = 0 + –2 400 – T y = 0 et, puisque T y = T sin 150°, on trouve : S F x = 0 F y = 0 Ax Ax + Tx Tx = 0Ay Ay + T y + P1y P1y + P 2y = 0 Ax Ax + Tcos 150° = 0Ay Ay + Tsin 150° – 1400 = 0 Ax Ax – ,866 = 0 Ay Ay ,5 – 1400 = 0 Ax Ax = N Ay Ay = 400 N Les réactions de lappui en A sont de N à lhorizontale et de 400 N à la verticale. Le système étant en équilibre de translation, on a : (T x ; T y ; 0) 150° ) T = N

21 Conclusion Le produit vectoriel de deux vecteurs donne un vecteur dont le module est égal au produit des modules et du sinus de langle entre ceux-ci, sa direction est perpendiculaire au plan défini par les deux vecteurs et son sens est donné par la règle de la main droite. Lorsque les vecteurs sont donnés dans la base orthonormée usuelle, on peut trouver ce vecteur, exprimé dans cette même base, en effectuant le calcul dun déterminant. Le module du produit vectoriel donne laire du parallélogramme construit sur ceux-ci.

22 Lecture Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.4, p. 286 à 288. Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.3, p. 273 à 281.


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