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Intégration numérique Présentement, nous avons deux façons dévaluer laire dune région comprise entre laxe des x, la courbe y = f(x) et les droites x =

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1 Intégration numérique Présentement, nous avons deux façons dévaluer laire dune région comprise entre laxe des x, la courbe y = f(x) et les droites x = a et x = b, soit par le calcul de la limite dune somme de Riemann ou par lapplication du théorème fondamental du calcul. Pour évaluer les intégrales définies des fonctions nayant pas de primitives, nous devons utiliser des méthodes numériques. Nous savons déjà évaluer approximativement une intégrale définie en utilisant les sommes daires de rectangles (inscrits ou circonscrits). Nous verrons deux autres méthodes qui donnent plus de précision sur la valeur approchée de lintégrale définie en utilisant le même nombre fini de sous-intervalles, il sagit de la méthode des trapèzes et de la méthode de Simpson. Nous verrons également le lien entre ces méthodes et celles utilisant les rectangles.,

2 Introduction Dans la méthode des trapèzes, larc de courbe de f sur le sous-intervalle [x i-1, x i ] est remplacé par un segment de droite reliant les points Dans la méthode de Simpson, cet arc de courbe est remplacé par un arc de parabole passant par les points où m i est le milieu du sous intervalle [x i-1, x i ]. x y f x i-1 x i Méthode des trapèzes x x i-1 m i x i y f Méthode de Simpson

3 Calcul de laire exacte dune fonction ayant une primitive Pour illustrer nos différentes méthodes (des rectangles, des trapèzes et de Simpson), nous utiliserons la fonction pour laquelle nous connaissons la primitive afin de pouvoir comparer nos méthodes avec la valeur exacte de laire calculée à laide du théorème fondamental du calcul. Calculons laire de la région délimitée par la courbe de f, laxe des x et entre les droites x=1 et x=4. La valeur exacte de cette aire est donnée par :

4 Somme de gauche La méthode « Somme de gauche » consiste à approximer laire sous une courbe à laide des sommes daires de rectangles dont les hauteurs sont calculées en utilisant les extrémités gauches des sous-intervalles. x y yyyyy n-1 … xxxxx Pour chaque sous-intervalle de la forme [x i 1, x i ], nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à f(x i-1 ). x y x i-1 x i f (x i-1 ) f (x i ) La somme de gauche est la somme des aires de tous les rectangles ainsi construits. Nous lécrivons ainsi : Pour simplifier lécriture, nous pouvons écrire : doù

5 Exemple de calcul dune somme de gauche Reprenons notre exemple de laire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4 Découpons lintervalle [1,4] en 3 sous-intervalles égaux, donc x = 1. Nous avons alors x 0 =1, x 1 =2, x 2 =3 doù La somme de gauche est alors donnée par :

6 Somme de droite La méthode « Somme de droite » consiste à approximer laire sous une courbe à laide des sommes daires de rectangles dont les hauteurs sont calculées en utilisant les extrémités droites des sous-intervalles. Pour chaque sous-intervalle de la forme [x i 1, x i ], nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à f(x i ). y x x i-1 x i f (x i-1 ) f (x i ) x y yyyy n …… xxxxx n La somme de droite est la somme des aires de tous les rectangles ainsi construits. Nous lécrivons ainsi :

7 Exemple de calcul dune somme de droite Reprenons notre exemple de laire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4 Découpons lintervalle [1,4] en 3 sous-intervalles égaux, donc x = 1. Nous avons alors x 1 =2, x 2 =3, x 3 =4 doù La somme de droite est alors donnée par :

8 Somme du milieu La méthode « Somme du milieu » consiste à approximer laire sous une courbe à laide des sommes daires de rectangles dont les hauteurs sont calculées en utilisant les milieux m i des sous- intervalles. Pour chaque sous-intervalle de la forme [x i 1, x i ], nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à f(m i ). x y x i-1 m i x i f (m i ) x y mmmm n f ( m 1 ) f ( m 2 ) f ( m 3 ) f ( m n ) La somme du milieu est la somme des aires de tous les rectangles ainsi construits. Nous lécrivons ainsi :

9 Exemple de calcul dune somme du milieu Reprenons notre exemple de laire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4 Découpons lintervalle [1, 4] en 3 sous-intervalles égaux, donc x = 1. Nous avons alors m 1 =1,5, m 2 =2,5 et m 3 =3,5 doù La somme du milieu est alors donnée par :

10 M éthode des trapèzes La méthode « des trapèzes » consiste à approximer laire sous une courbe à laide des sommes daires de trapèzes. Si A i est laire du i e trapèze, la hauteur de chacun des trapèzes est donnée par x et les bases sont données par y i-1, et y i, nous aurons alors : Une approximation de laire totale par la somme des trapèzes sera donc : x y yyyyy n …… xxxxx n

11 Exemple de calcul dune somme daires de trapèzes Reprenons notre exemple de laire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4 Découpons lintervalle [1, 4] en 3 sous-intervalles égaux, donc x = 1. La somme des aires des trapèzes est alors donnée par : Comme nous avons déjà calculé les sommes de gauches et de droite, nous allons les utiliser pour calculer la somme des trapèzes. Regardons les erreurs commises sur les approximations :

12 De quoi dépendent les erreurs? Sommes de gauche et de droite Pour les sommes de gauche et de droite, nous observons que lerreur est dautant plus grande si la pente de f est très prononcée, cest-à-dire si la valeur de f est grande. Illustrons ceci par les graphes suivants : Erreur liée à la somme de gauche Erreur liée à la somme de droite valeur de f grande plus grande erreur Erreur liée à la somme de gauche Erreur liée à la somme de droite valeur de f petite faible erreur

13 De quoi dépendent les erreurs? Sommes du milieu et des trapèzes Pour les sommes du milieu et des trapèzes, nous observons que lerreur est dautant plus grande si la concavité de f est très prononcée, cest-à-dire si la valeur de f est grande. Illustrons ceci par les graphes suivants : Erreur liée à la somme des trapèzes valeur de f grande plus grande erreur valeur de f petite faible erreur Erreur liée à la somme des trapèzes Erreur liée à la somme du milieu

14 Méthode de Simpson Léquation de cet arc de parabole est : ax 2 + bx + c. y y i-1 yiyi f(m i ) x -hh0 Larc de courbe est remplacé par un arc de parabole passant par les points : Doù vient cette formule? y i-1 yiyi f(m i ) x x i-1 xixi mimi En intégrant léquation de larc de parabole sur lintervalle [-h, h], nous obtenons laire sous cet arc de parabole soit : Nous devons calculer laire sous cet arc de parabole. Pour simplifier la tâche, plaçons un système daxes afin que laxe des y soit au centre de la figure. Nous obtenons : x i-1 = -h, m i = 0 et x i = h

15 Calcul de laire sous un arc de parabole Exprimons ce dernier résultat en fonction de Δx, en fonction de y i-1, y i, f(m i ). Pour ce faire, évaluons les ordonnées Doù y i-1 + y i = 2ah 2 + 2c et afin dobtenir 2ah 2 + 6c, il nous manque 4c qui correspond à 4 f(m i ). y y i-1 yiyi f(m i ) x -hh0

16 Formule de Simpson

17 Exemple de calcul à laide de la méthode de Simpson Reprenons notre exemple de laire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4 Découpons lintervalle [1, 4] en 3 sous-intervalles égaux, donc x = 1. La somme des aires de Simpson est alors donnée par : Comme nous avons déjà calculé les sommes de trapèzes et du milieu, nous allons les utiliser pour calculer la somme des aires de Simpson.


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