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6 octobre 2003 1 Mesure indirecte en dynamique Approche probabiliste pour cerner lincertitude Vers des applications en Sûreté-Supervision-Surveillance.

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1 6 octobre Mesure indirecte en dynamique Approche probabiliste pour cerner lincertitude Vers des applications en Sûreté-Supervision-Surveillance Présentation à lENSAM Hana BAILI

2 2 Définitions Système : réalité naturelle ou artificielle à étudier Mesure : quantité à observer au sein dun système (directe, indirecte) Observation : valeur effective dune mesure directe Modèle : description mathématique dun système : ensemble de relations entre certaines quantités (la mesure) Données dun modèle : quantités qui une fois fixées déterminent les autres

3 3 Définitions Contexte dynamique : la mesure évolue dans le temps et le modèle comporte au moins une relation dynamique Relation dynamique : comprend une dérivation ou une intégration par rapport au temps relation statique Incertitude : certaines données du modèle sont inconnues Information a priori sur une donnée inconnue : ensembliste moyenne, variance… empiriques

4 4 Ainsi dans un problème destimation (mesure indirecte), quand on est en présence dincertitude, la méthode destimation doit faire face au fait de propager lincertitude des données inconnues à la quantité dintérêt (la mesure)

5 5 Plan Exemples de problèmes de mesure indirecte en dynamique Modélisation Méthodes destimation dune DDP à partir du modèle sous forme dune EDS Conclusion

6 6 Exemple 1

7 7 Exemple 2

8 8 Applications traitées Dimensionnement dun micro-accéléromètre Reconstruction dun signal électrique distordu le long dune ligne de transmission Vers des applications en finance, en Sûreté- Supervision-Surveillance…

9 9 Modélisation Modèle sous forme canonique statistiquement indépendants entre eux de distribution de probabilité jointe connue et statistiquement indépendants des Dépendance de f et g directement de

10 10 Pourquoi la forme canonique ? On veut exploiter la théorie des équations différentielles stochastiques (EDS) EDS selon McShane

11 11 Pourquoi McShane ? Sa définition de lintégrale stochastique pose moins de restrictions sur les processus intégrateurs qui souvent, modélisent des perturbations, pourvu des hypothèses légèrement plus restrictives sur lintégrant, qui est connu.

12 12 Quel est le modèle sous forme dune EDS qui correspond au modèle sous forme canonique ? Dilemme brownien-lipschitzien Le processus le plus réaliste et le processus pertinent pour le calcul nont rien en commun

13 13 Qualités du modèle sous forme dune EDS Inclusivité : lEDS est définie (existence dune, et une seule solution) pour une famille de processus intégrateurs qui comprend les processus lipschitziens et les mouvements browniens. Consistance : la solution de lEDS calculée avec les deux types de processus a la même expression, comme fonction des processus intégrateurs.

14 14 Conditions sur les processus intégrateurs pour quune EDS soit définie en théorie de McShane Ces conditions sont vérifiées par les mouvements browniens et les processus lipschitziens sur [0, t ]. Ainsi, toute EDS définie, selon la théorie de McShane, possède la qualité dinclusivité en tant que modèle dun système donné.

15 15 Résultat sur la consistance Si légalité suivante est vérifiée et si les deux membres de légalité ne dépendent pas de t et de x, alors on doit rajouter le terme suivant au second membre de lEDS pour quelle devienne un modèle consistant.

16 16 Retour à la mesure 1. On raisonne sur une quantité scalaire à la fois mesure scalaire. 2. On construit un vecteur dit « mesure étendue » en remplaçant, dans x, une composante par la mesure. Cette composante est choisie de telle sorte que lapplication soit un homéomorphisme. 3. La formule de composition de McShane donne lEDS qui détermine la mesure étendue à partir de celle de x.

17 17 Estimation de densité Équation de Fokker-Planck On considère lEDS modèle où les processus intégrateurs sont des mouvements browniens Conditions supplémentaires : 1. Les incréments de deux processus intégrateurs différents sont statistiquement indépendants 2. Les conditions initiales de lEDS sont statistiquement indépendantes des incréments des processus intégrateurs lien avec le modèle canonique p ( x ; t )

18 18 Estimation de densité Équation de Fokker-Planck Condition imposée à la solution de lEDP, relativement à la variable indépendante t du type « valeur initiale » : Objectif : résolution numérique Premier souci : les conditions imposées à la solution de lEDP, relativement aux variables indépendantes x i Elles doivent être de quel type pour garantir lexistence dune et une seule solution ? Type : « valeurs aux limites »

19 19 Estimation de densité Équation de Fokker-Planck La solution de lEDP est une DDP domaine relatif à x i absorbant Deuxième souci : résolution numérique stable La stabilité est liée aux variables qui correspondent à des conditions du type « valeur initiale »; il faut choisir des schémas numériques tels que léquation aux différences finale qui en résulte soit implicite par rapport à ces variables Choix : schéma de Crank-Nicholson Application à lexemple 2 (problème thermique)

20 20 Estimation de densité Méthode utilisant une technique MCMC On considère lEDS modèle où les processus intégrateurs sont des mouvements browniens On considère la discrétisation dEuler de lEDS sur lintervalle [0, t ] : Idée, cas n =1 et r =1 :

21 21 Estimation de densité Méthode utilisant une technique MCMC Ainsi on dispose dune expression explicite de la densité la simuler par une technique MCMC Algorithme de Hasting-Metropolis Choix de la densité instrumentale Application à lexemple 2

22 22 Estimation de densité Méthode utilisant une espérance généralisée On considère lEDS modèle où les processus intégrateurs sont des mouvements browniens On considère la discrétisation dEuler de lEDS sur lintervalle [0, t ] écrite sous forme vectorielle : Pour N =1, on une expression explicite de la densité Pour N >>1

23 23 Estimation de densité Méthode utilisant une espérance généralisée Ensemble de réalisations de Y N -1 à partir de lEDS discrétisée Moyenne empirique de p ( Y N -1, y ) Approximation de la DDP de la mesure étendue à linstant t Application au problème de reconstruction dun signal électrique distordu le long dune ligne de transmission

24 24 Illustration - Reconstruction dun signal électrique distordu le long dune ligne de transmission Modèle de connaissance

25 25 Illustration - Reconstruction dun signal électrique distordu le long dune ligne de transmission Modèle sous forme canonique Calcul opérationnel La dimension du modèle sous forme canonique est induite par lordre de troncature dune série de Taylor

26 26 Illustration - Reconstruction dun signal électrique distordu le long dune ligne de transmission Modèle sous forme dEDS

27 27 Illustration - Reconstruction dun signal électrique distordu le long dune ligne de transmission Estimation de densité Estimation de la DDP de m e à linstant t sachant lobservation O sur lintervalle [0, t ] Méthode utilisant une espérance généralisée Estimée de la DDP de la mesure La médiane approxime avec précision le valeur, sans bruit, de la mesure

28 28 Illustration – Problème thermique Modèle de connaissance

29 29 Illustration – Problème thermique Modèle sous forme canonique

30 30 Illustration – Problème thermique Modèle sous forme dEDS

31 31 Illustration – Problème thermique Estimation de densité Estimation de la DDP de m e à linstant t Résolution de léquation de Fokker-Planck Estimée de la DDP de la mesure Limitation : dimension du modèle

32 32 Illustration – Problème thermique Estimation de densité Estimation de la DDP de m e à linstant t Méthode utilisant une technique MCMC Estimée de la DDP de la mesure Compromis précision-mémoire

33 33 Ouverture Résolution de léquation de Fokker- Planck par découplage espace-temps et représentation DAF Cas où certaines quantités sont modélisées par des processus à réalisations discontinues (EDS plus générale)

34 34 Conclusion Approche probabiliste pour cerner lincertitude (modéliser et propager), traiter linformation dans la cadre dun problème destimation – une mesure indirecte, le contexte étant dynamique continu Approche fondée sur la théorie de McShane Erreur de troncature contrôlée


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