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Le problème dIsis De l Égypte antique au 21 e siècle ! Dirk De Bock Hogeschool-Universiteit Brussel et K.U.Leuven.

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1 Le problème dIsis De l Égypte antique au 21 e siècle ! Dirk De Bock Hogeschool-Universiteit Brussel et K.U.Leuven

2 Le problème dIsis Quels rectangles, avec des nombres entiers comme côtés (mesurés avec une unité donnée), possèdent la propriété que leur aire et leur périmètre (considérés comme nombres) sont égaux ?

3 Le problème dIsis 7 5 Périmètre : 24 Aire : 35

4 Le problème dIsis 1. Déterminer tous les rectangles de côtés entiers dont aire = périmètre 2. Démontrer que les solutions trouvées sont les seules possibles 3. Essayer de trouver plus quune démonstration AU TRAVAIL !!!

5 Solutions 4 4 Périmètre : 16 Aire : Périmètre : 18 Aire : 18

6 The Egyptians relate that the death of Osiris occurred on the seventeenth (of the month), when the full moon is most obviously waning. Therefore the Pythagoreans call this day the "barricading" and they entirely abominate this number. For the number seventeen, intervening between the square number sixteen and the rectangular number eighteen, two numbers which alone of plane numbers have their perimeters equal to the areas enclosed by them, bars, discretes, and separates them one from another... ( Plutarch, quoted by Davis and Hersh, 1981)

7 Après un peu de calcul … 28 / 17= Différence e= % 77 / 17= phi / 10= % Osiris est mort le 17 ème jour du 3 ème mois, après 28 ans de règne 77 : 2 × = 77 ème jour de lannée 28 : nombre de la lune e : nombre de croissance e : root of new growth Phi : nombre dor Pourquoi certains trouvent ce problème particulièrement intéressant ?

8 Quest-ce qui rend ce problème intéressant POUR NOUS ? Les solutions sont faciles. Mais une démonstration aussi peut être très facile. démonstrations diverses / types de raisonnements possibles Balance entre lexpertise routinière et la créativité Accessible aux élèves dâges divers et de connaissances techniques diverses en mathématiques Lien avec la dimensionnalité Extensions intéressantes

9 Notre étude - Stratégies de groupes divers (avec des compétences différentes en mathématiques) - Tension entre routine et créativité - Jugements dappréciation de différentes types de démonstration / arguments

10 Structure de latelier - Introduction - Au travail 1 : trouvez des démonstrations - Intermède - Au travail 2 : évaluez des démonstrations - Discussion des solutions - Extensions du problème - Dimensionnalité - Résultats de létude

11 Structure de latelier - Introduction - Au travail 1 : trouvez des démonstrations - Intermède - Au travail 2 : évaluez des démonstrations - Discussion des solutions - Extensions du problème - Dimensionnalité - Résultats de létude

12 Évaluez des démonstrations Recueil de 5 démonstrations - Étudier - Les classer à base de la qualité, de la meilleure (= 1) à la pire (= 5)

13 Structure de latelier - Introduction - Au travail 1 : trouvez des démonstrations - Intermède - Au travail 2 : évaluez des démonstrations - Discussion des solutions - Extensions du problème - Dimensionnalité - Résultats de létude

14 Exploration empirique Avec du papier quadrillé Jeunes enfants peuvent explorer le problème en cherchant des exemples.

15 Même de très jeunes enfants pourraient expérimenter avec des carrés en carton et des bâtons de même longueur que les côtés, cherchant des rectangles dont le nombre de carrés est égale au nombre de bâtons.

16 Une élaboration plus systématique de lapproche empirique et un marchepied vers une démonstration par un tableau « aire – périmètre »

17 longueur largeur

18 yy 1xx Aire augmente de y Périmètre augmente de 2 Aire - Périmètre augmente de y - 2

19 longueur largeur

20 Le tableau Montre les 3 solutions Est riche en patrons (« patterns ») Peut être la base dune démonstration rigoureuse que les solutions trouvées sont les seules bonnes Suggère que xy accroît plus vite que 2x + 2y, ce qui est un principe fondamental concernant la dimensionnalité

21 Donc, de jeunes enfants peuvent explorer le problème, et peu à peu plus systématiquement découvrir des patrons comprendre quune aire accroît plus vite quun périmètre construire une notion de ce qui est une démonstration

22 Solutions algébriques Qui possède quelques notions dalgèbre décrira sans doute spontanément léquation : xy = 2x + 2y Mais alors ? Lexpression doit être réécrite afin de trouver des solutions entières.

23 De façon routinière, on peut : Possibilité 1. Exprimer une variable en fonction de lautre : y = 2x / (x-2) ou encore y = 2 + 4/(x-2) Quelqu'un peut reconnaître léquation dune hyperbole. Alors, on peut trouver rapidement les solutions, et aussi la démonstration…

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25 Possibilité 2. Mettre tout au membre gauche : xy - 2x - 2y = 0 Mais alors ? Ici, par analogie avec « compléter le carré », on pourrait penser à « compléter le rectangle » : xy - 2x - 2y + 4 = 4

26 Après factorisation, ça donne: (x - 2)(y - 2) = 4 Maintenant on voit que x - 2 doit être un diviseur de 4 (ce qui réduit le nombre de cas à contrôler) Démonstration par épuisement ou « exhaustion ».

27 xy = 2x + 2y y = 2 + 4/(x - 2) (x - 2)(y - 2) = 4 xy - 2x - 2y = 0

28 Il existe une infinité de façons de réécrire xy = 2x + 2y Le truc, cest de trouver la forme (équivalente) qui soit utile dans la situation donnée. Par exemple : Quelle est lutilité de réécrire ainsi : yx + xy = 4x + 4y

29 Si on pense flexiblement que y en yx et x en xy soient des coefficients et non pas des variables, à partir de léquation yx + xy = 4x + 4y il devient clair que x et y ne peuvent pas être en même temps plus grands que 4 … et comme ça on peut commencer à démontrer

30 Ou alors …. La moyenne harmonique de x et y égale 4 x et y chacune 4 Lune delle > 4 et lautre < 4 un nombre restreint de possibilités à contrôler xy = 2x + 2y = 4 1/x + 1/y 2

31 Ou …. xy = 2x + 2y 1/x + 1/y = 1/2

32 Cette forme en fractions unitaires montre que Ou bien 1/x et 1/y chacune = ¼ Ou bien lune delle > ¼ et lautre < ¼. Il reste donc quelques cas à étudier !

33 Si x = y, on démontre facilement – à partir de xy = 2x + 2y – que x = y = 4 est lunique solution. Si x y on suppose – sans perte de généralité – que y < x. Puisque xy = 2x + 2y et y < x, il sensuit que xy < 2x + 2x et donc que y < 4. Il reste donc trois cas à controler ; cest donc encore une démonstration par épuisement.

34 1/x + 1/y = 1/2 xy = 2x + 2y y = 2 + 4/(x - 2) (x - 2)(y - 2) = 4 xy - 2x - 2y = 0 = 4 1/x + 1/y 2 yx + xy = 4x + 4y

35 Démonstrations géométriques Idée : partager une figure en triangles et carrés contribuant autant à laire quau périmètre de la figure.

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37

38 x y

39 Et maintenant notre favori personnel !

40 périmètre épais

41 Aire = G + B Peri. = G + 4 Si aire = peri. B = 4

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43 Structure de latelier - Introduction - Au travail 1 : trouvez des démonstrations - Intermède - Au travail 2 : évaluez des démonstrations - Rétroaction - Extensions du problème - Dimensionnalité - Résultats de létude

44 Extensions En montant dune dimension (parallélépipèdes rectangles, …), dont aire = volume Vers dautres figures planes : triangles, cercles, polygones, …

45 2yz + 2zx + 2xy = xyz Réécrire à laide de fractions unitaires 1/x + 1/y + 1/z = 1/2 Alors, ou bien x = y = z = 6, ou bien, sans perte de généralité, x < 6 Aire = volume

46 Aire = Peri. = Démonstration possible – mais bien plus laborieuse – à base de la formule de Héron Aire =

47 Extensions vers dautres figures planes est possible, p.e. chaque polygone régulier dont le rayon du cercle inscrit = 2 a la propriété (mais, dans la mesure où nous lavons contrôlé, aucun a des côtés entiers). Le cercle est le cas limite !

48 Structure de latelier - Introduction - Au travail 1 : trouvez des démonstrations - Intermède - Au travail 2 : évaluez des démonstrations - Discussion des solutions - Extensions du problème - Dimensionnalité - Résultats de létude

49 Dimensionnalité xy croît plus vite que 2x + 2y En particulier, si x et y doublent tous les deux, alors xy est multiplié par quatre, tandis que 2x + 2y ne fait que doubler.

50 Dimensions Compréhension que dans le cas des agrandissements linéairs, les aires augmentent de façon quadratique et les volumes de façon cubique Dans les socles de compétences flamands Apparemment très difficile pour les élèves (application à tort dun raisonnement linéair) Nombreuses applications/exemples en physique, biologie, sciences de lingénieur, …

51 Dimensionnalité en biologie/physique -Haldane (1928) : On being the right size Chaque animal a sa taille optimale Agrandir ou rappetisser la forme aussi doit changer ! Grands oiseaux ont des ailes relativement grandes, grands arbres ont des troncs relativement gros, petits oiseaux mangent tout le temps, …

52 Structure de latelier - Introduction - Au travail 1 : trouvez des démonstrations - Intermède - Au travail 2 : évaluez des démonstrations - Discussion des solutions - Extensions du problème - Dimensionnalité - Résultats de létude

53 Étude avec des futurs profs de mathématiques Louvain (N = 8) Dirk Janssens Anvers (N = 8) Johan Deprez Hasselt (N = 17) Michel Roelens Bruxelles (N = 6) Roger Van Nieuwenhuyze

54 Partie 1 Résoudre le problème dIsis et essayer de trouver plus quune démonstration Partie 2 Etudier cinq démonstrations, classer ces démonstrations allant de la meilleure (= 1) à la pire (= 5) à base de leur qualité (non spécifiée par nous) et ajouter vos commentaires

55 Factorisation Dalles Graphique Divisibilité (x - 2) divise 2x Exhaustion 2x/(x - 2) Autres... Complète Partielle

56 Un étudiant excellent ! Xander Verbeke (Louvain) a même produit cinq démonstrations différentes, toutes clairement et complètement argumentées. En plus de la démonstration par factorisation, la démonstration avec les dalles et une démonstration basée sur les propriétes de divisibilité, il en a trouvé encore deux nouvelles.

57 La quatrième démonstration de Xander Il part de léquation du deuxième degré z 2 - cz + 2c = 0 avec racines x en y satisfaisant à la propriété xy = 2x + 2y (car x + y = c et xy = 2c). Pour que x et y soient des nombres naturels, le discriminant c 2 - 8c doit être un carré parfait. Pour quelles valeurs de c le discriminant c 2 - 8c est-il un carré parfait ?

58 La cinquième démonstration de Xander Il écrit les côtés sous la forme a en a + x et de nouveau, il construit une équation du deuxième degré dont le discriminant doit être un carré parfait (Des variantes multiplicatives de cette cinquième démonstration sont possibles, p.e. en écrivant les côtés sous la forme a en ax, ou 2 m.a en 2 n.b avec a et b des nombres impairs…)

59 Évaluation des démonstrations Les étudiants ont classé les démonstrations (factorisation, dalles, fractions unitaires, graphique, tableau) allant de la meilleure (= 1) à la pire (= 5). Nous avions laissé ouvert le sens des mots meilleure et pire.

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61 Commentaires typiques Préférence de la plupart des étudiants pour les démonstrations algébriques (factorisation et fractions unitaires) « Les démonstrations avec les fractions unitaires et avec la factorisation sont les meilleures. Elles ne demandent pas de dessin. » « Les dalles sont moins claires. Cest habile pour représenter le problème, mais une vraie démonstration ne se fait que par factorisation ou avec des fractions unitaires. »

62 Peu destime pour les méthodes expérimentales (a) Lappréciation moyenne pour la démonstration par le tableau était basse (et dans certains cas elle a même été écartée comme démonstration) (b) Confusion entre une démonstration par exhaustion et essais et erreurs. « Ici, on réussit à démontrer avec un tableau parce quil ny quun nombre restreint de cas à étudier. En général, une démonstration par énumération nest pas une bonne technique. Ce nest pas une belle démonstration. »

63 Réactions ambivalentes par rapport à la démonstration avec des dalles « La démonstration avec des dalles : cest une meilleure démonstration parce quelle est claire et parce que lon raisonne bien mathématiquement du début à la fin. Mais les équations me manquent. » (Xander) « Cest une très belle démonstration: rapide et il ne faut pas connaitre de vraies mathématiques. Dautre part, elle est très concentrée sur le problème concret. Cest un raisonnement ad hoc, pas généralisable à dautres problèmes. »

64 Émotions et réactions esthétiques « Contrôler par essais et erreurs quels nombres marchent et quels nombres ne marchent pas, je ne trouve pas cela bien agréable. Cest une démonstration, mais je ne laime pas. » « La démonstration par factorisation est très simple, claire et belle. » « La démonstration avec les dalles me semble un peu ludique. » « La démonstration avec les fractions unitaires est plutôt sophistiquée. »

65 Une réaction rare indique le contraste entre une démonstration logiquement correcte et une démonstration qui éclaire : « La démonstration avec les dalles est la plus visuelle : on nest pas seulement convaincu que cest vrai, on a aussi limpression de voir pourquoi cest ainsi. »

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