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C copyright Colette Picard (Ph.D) 1. La réussite des opérations sur les décimaux en passant par la réussite sur les fractions Incroyable mais vrai! par.

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1 c copyright Colette Picard (Ph.D) 1

2 La réussite des opérations sur les décimaux en passant par la réussite sur les fractions Incroyable mais vrai! par Colette Picard (Ph.D) Orthopédagogue Professeure/chercheure UQAT AQETA 2012

3 c copyright Colette Picard (Ph.D) Contenu de la conférence Présentation et Introduction Connaissances antérieures et préalables Lien entre les fractions et les décimaux Fraction: Addition/soustraction/multiplication Décimaux: Addition/soustraction/multiplication/ division Conclusion

4 c copyright Colette Picard (Ph.D) Présentation et introduction Toutes ces années consacrées à létude des fractions MISE EN GARDE: Trop souvent on sattaque à des problématiques qui vont au-delà des savoirs essentiels du programme du MELS, car les élèves nous y conduisent. Limportant cest dêtre vigilant sur ce quon évalue…. Cette conférence tient compte de centaines dentretiens avec des élèves et leur enseignant Elle simbrique dans la programme du MELS et favorise la mise en action du document sur la progression des apprentissages Elle est soutenue par une revue de littérature scientifique

5 c copyright Colette Picard (Ph.D) Préalables Identifier lentier Reconnaître que lentier est divisible à linfini Reconnaître limportance de légalité des parties Représenter des fractions Passer des fractions familières aux fractions décimales Comparer des fractions décimales Passer de la forme a/b aux nombres à virgule Comprendre le système de numération

6 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Add itionner les fractions Ennemi no 1 : Négliger la période manipulation Varier le matériel et référer à un contexte stimulant

7 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Add itionner les fractions Ennemi no 2 : Difficulté avec les représentations ½ + 1/4 = Faire verbaliser lenfant Intuitivement lenfant veut additionner le ¼ de la demie Il obtient 10/16 ou encore 8/16, car deux cases sont superposées. Il peut aussi procéder ainsi: Il trouve la demie. Il trouve le quart, mais il se laisse déranger par la superposition et sa réponse est encore erronée. Quest-ce que lenfant doit faire?

8 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Additionner: Difficulté avec les représentations (suite) ½ + 1/4 = 12 /16 Les représentations sont source de confusion Utiliser différents rectangles pour identifier clairement les sections concernées Représenter lentier: Représenter ½: Représenter 1/4: Regrouper

9 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Additionner: Difficulté avec la réponse Comment exprimer le résultat obtenu Préciser les attentes. Simplifier la réponse: Plusieurs procédures sont possibles en fonction de la fraction: 4/8, 5/15, 7/21 12/15 8/16 La diversité des procédures augmente le risque derreurs.

10 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Additionner: Cas particuliers Discuter 5/10 + 5/10 peut-il valoir 10/20 ?

11 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Le choix des représentations Utiliser des représentations circulaires ½ + 1/4 = 3/4 ½ - 1/4 = 1/4 Voici lentier:

12 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Profitez des compensations que le cerveau fait pour notre plus grand bonheur! Le choix des représentations On a représenté une partie dune tarte. On a représenté une partie dune tablette de chocolat. On a représenté une partie dune boîte de Smarties Dans chaque cas, donnez-moi sa valeur?

13 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Soustraire : Difficulté avec la représentation Comme pour laddition lenfant ne saisit pas ce quil doit faire Analyser les représentations des élèves ½ - ¼ =

14 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Encore ici, certaines représentations sont source de confusion. ½ - 1/3 Représenter lentier: Représenter ½: Représenter 1/4: Regrouper ½ - 1/4 = 4 /16 Utiliser différents rectangles pour identifier clairement les sections concernées Soustraire: Difficulté avec les représentations (suite)

15 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Lenfant passe dune entier à un autre sans sen formaliser 1 ½ - ½ Utiliser les nombres fractionnaires Soustraire: Difficulté avec lentier de référence 1 ½ - ¼ 1 ½ - ¾ ½ - ¼

16 c copyright Colette Picard (Ph.D) Ennemi no 3 : La diversité des procédures Quil sagisse dordonner, dadditionner ou de soustraire, les compétences requises vont dépendre du choix des fractions. Les fractions choisies ont le même dénominateur 1/3 + 1/3 = Les fractions ont des dénominateurs multiples entre eux; 1/3 + 1/6 = Les fractions ont des dénominateurs qui ne sont pas multiples entre eux. 2/3 + 2/4 = On a inséré des entiers dans laddition; ½ /10 = On soustrait une fraction dun entier; 5 - 3/4

17 c copyright Colette Picard (Ph.D) Multiplier: Donner du sens à lopération SUGGESTION: Visualiser lopération de multiplication. Nous en voulons 2 fois plus! Combien en aurons-nous? Nous en voulons 4 fois plus! Nous en voulons 8 fois plus? Voici le 1/8 dune pizza:

18 c copyright Colette Picard (Ph.D) 1)Lenfant est tenté de dire 6/9, car cest ce quil voit. 2)La réponse est 6/3, mais cela semble inacceptable! Écart entre laction la représentation et la compréhension Ennemi no 2 : Difficulté à donner le résultat SUGGESTION: Garder lentier de référence bien en vue. Prenons le cas de 2/3 x 3 :

19 c copyright Colette Picard (Ph.D) Multiplier: difficulté avec les représentations SUGGESTION: Progresser lentement dune illustration à lautre Voici lentier: Prenons le cas de 2/3 x 3 :

20 c copyright Colette Picard (Ph.D) Multiplier: Donner du sens à lopération SUGGESTION: Visualiser lopération de multiplication. Nous en voulons 2 fois plus! Nous en voulons 4 fois plus! Nous en voulons 8 fois plus? Voici le 2/8 dune pizza:

21 c copyright Colette Picard (Ph.D) Quest quon a dit déjà? Le contexte de réalisation joue un rôle important dans lengagement de lélève dans le développement de la compréhension La manipulation est au cœur de la réussite Les représentations imagées sont une étape à considérer La discussion avec les élèves nous donnent lopportunité dajuster notre enseignement Il est tentant de passer rapidement au symbolisme

22 c copyright Colette Picard (Ph.D) Passage aux décimaux : lien entre ½, 5/10, 5/100 SUGGESTION: Différentes fractions peuvent représenter une même quantité. Ces rectangles vont nous permettre dintroduire la notion de nombres décimaux.

23 c copyright Colette Picard (Ph.D) Passage aux décimaux : lien entre 5/10, 50/100, 0,5, 0,50 SUGGESTION: Représenter des fractions décimales dans leur expression (a/b) et sous forme de nombres à virgule 1 ½ 1 5/10 1, /100 1,9 1,96 1,01

24 c copyright Colette Picard (Ph.D) Passage aux décimaux : lien entre 5/10, 50/100, 0,5, 0,50 SUGGESTION: Faire une démonstration Quest-ce qui est pareil entre 4/10 et 0,4? 4/10 0,4 4 ÷ , ,

25 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Utiliser le papier quadrillé Opportunité : Lien entre les opérations sur les fractions et celles sur les décimaux Les opérations sur les fractions vont préparer la compréhension des opérations sur les décimaux. ¼ + ¼ 1/10 + 1/10 0,10 + 0,1010/ /100 La compréhension du système de numération va prendre toute son importance lorsque nous allons aborder les décimaux.

26 c copyright Colette Picard (Ph.D) Ennemi no 1 : Passer trop vite au symbolisme SUGGESTION: On peut être tenté de travailler les opérations directement sur les modes symboliques: cdudixcentimilli, 0,15 + 0,10 Résister, car respecter le processus dapprentissage des élèves cest augmenter leurs chances de réussir. entier décimaux

27 c copyright Colette Picard (Ph.D) Opportunité : Référer au quotidien SUGGESTION: Curieusement, lorsquon parle dargent le niveau de compréhension augmente!!!! $ $ Utiliser largent scolaire.

28 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION : Donner du sens à lopération en partant des naturels Passage aux décimaux : Comment expliquer 0,1 x 0,1? Normalement lenfant a eu lopportunité de représenter des multiplications du type 2 x 2. Le passage à 2 x 2 ½ et à 2 ½ x 2 ½ semble découler La technique explicite démontre le résultat de cette opération ¼ /2

29 c copyright Colette Picard (Ph.D) Ennemi no1 : passer trop rapidement à labstrait SUGGESTION: Respecter une certaine progression et à 2 ¼ x 2 ¼ peut suivre ½ 4 Le passage à 2 x 2 ¼ 1/16 4 ½ ½

30 c copyright Colette Picard (Ph.D) Ennemi no2 : représenter de façon adéquate SUGGESTION: Respecter une certaine progression Lenfant peut-il représenter: 2 x 2 6/10 et 2 8/10 x 2 6/10 et identifier la valeur de chaque zone ? 16/ /10

31 c copyright Colette Picard (Ph.D) Ennemi no2 : représenter de façon adéquate SUGGESTION: Revenir sur la valeur et le sens des fractions Il faut sassurer que lenfant donne aux différentes parties de lentier la valeur qui lui est proportionnelle 4 1 1/10 1/100 Identifier clairement ce qui vaut 1

32 c copyright Colette Picard (Ph.D) Lenfant est-il maintenant en mesure de comprendre pourquoi : 1 x 1 = 1 ou 0,1 x 0,1 = 0, SUGGESTION:Prenons le temps de mettre en évidence 8/10 x 6/10 Dans léquation 2 8/10 x 2 6/10 Lenfant ne prend pas conscience de la valeur de 0,8 x 0,6. 2 8/10 x 2 6/10 8/10 x 6/10 1/10 x 1/10 Ennemi no 3 : identifier la valeur des zones 4

33 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION:Identifier ce qui vaut 1. 2,8 x 2,6 = 7,28 Ennemi no 4: lentier de référence 28 x 26 = 728

34 c copyright Colette Picard (Ph.D) 4 SUGGESTION:Des nombres naturels, aux fractions, aux décimaux… 28 x /10 x 2 6/10 2,8 x 2,6 Opportunité : les connaissances antérieures

35 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Faire le lien entre les zones et la multiplica tion. Ennemi no 5: passer à labstrait ,8 x 2,6 28 x x (6 x 8) 400 (20 x 20) 728 2,8 x 2,6 160 (20 x 8) 120 (6 x 20) 0,48 (0,6 x 0,8) 4,00 (2 x 2) 7,28 1,6 (2 x 0,8) 1,2 (0,6 x 2) X 26 = 728 = 7,

36 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Faire le lien entre les zones et la multiplication. Ennemi no 5: passer à labstrait Cela nest pas sans nous rappeler la décomposition suivante: 28 x 26 = (20 + 8) x (20 + 6) = (20 x 20) + (20 x 6) + (8 x 20) + (8 x6) x x (6 x 8) 400 (20 x 20) 160 (20 x 8) 120 (6 x 20) 728

37 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION : Diviser : Donner du sens à lopération Des nombres naturels aux décimaux… Viser la compréhension et résister à lattrait du symbolisme : La numération est la base de la réussite Revoir la composition des nombres pour saisir le sens de la division Manipuler et débuter avec des divisions simples: 44 ÷ 4 Prenez le temps davoir du plaisir : la réussite ça fait du bien

38 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION : Diviser : Donner du sens à lopération Des nombres naturels aux décimaux… Respecter une certaine progression dans le choix des équations: Pour partager 24 unités entre 6 personnes, nous devons faire des transformations sur le nombre: Ces activités vont favoriser le passage aux dixièmes

39 c copyright Colette Picard (Ph.D) Diviser: passer des naturels aux décimaux SUGGESTION: Viser la compréhension et résister à lattrait du symbolisme 24 ÷ 6

40 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION : Faire le lien entre la représentation et lalgorithme Cette représentation est intéressante car elle permet de faire les liens avec la technique de division qui nous est la plus familière. Disons-nous: Combien de 6 dans 2? aucun Combien de 6 dans 24? 4 Est-ce que nous faisons? Devrions-nous faire autrement, pour favoriser la compréhension? Exemple: 24 divisé par 6 Diviser : Viser la compréhension et résister à lattrait du symbolisme

41 c copyright Colette Picard (Ph.D) On peut aussi utiliser largent, qui encore ici provoque toujours des réussites chez les cas les plus désespérés Diviser les décimaux Si lenfant est à laise avec la numération, introduire les dixièmes ne pose pas de problème. $ $ SUGGESTION: Viser la compréhension et résister à lattrait du symbolisme 24,6 ÷ 6

42 c copyright Colette Picard (Ph.D) Diviser les décimaux SUGGESTION: La planche à calculer permet de varier le matériel 24,6 ÷ 6

43 c copyright Colette Picard (Ph.D) SUGGESTION: Diviser : passer des naturels aux décimaux Faire des représentations distinctes de chaque étape

44 c copyright Colette Picard (Ph.D) Diviser : De la représentation à algorithme les décimaux Cette représentation est intéressante car elle permet de faire les liens avec la technique de division qui nous est la plus familière. 6 4,1- - -

45 c copyright Colette Picard (Ph.D) Quest quon a dit déjà? La multiplication dune fraction par une fraction nest pas au programme, mais elle supporte la compréhension de 0,1 x 0,1 qui donne 0,01… Sur les opération sur les fractions : Les opérations dadditions et de soustractions et les multiplications de fractions par un nombre naturel inférieur à 10 doivent se faire à laide de matériel concret et de schémas La division de fraction nest pas au programme. Les fractions sur 10 sont importantes car elles préparent létude des décimaux

46 c copyright Colette Picard (Ph.D) Quest quon a dit déjà? La multiplication des décimaux doit-elle passer par la compréhension de la multiplication des fractions comme ½ x ½, de 1/10 x 1/10? Sur les opération sur les décimaux : Utiliser différents types de matériel pour faire manipuler les enfants. Largent est une arme secrète. La division des décimaux est facilitée par la compréhension de la division des nombres naturels. Le lien entre la représentation et lalgorithme peut faire la différence entre la réussite et léchec.

47 c copyright Colette Picard (Ph.D) Conclusion Les recherches scientifiques nous aident à comprendre comment lenfant construit ses connaissances. Mais les chercheurs à eux seuls nont aucune prise pour améliorer lapprentissage. Seuls les enseignants peuvent faire la différence …. Prenez les choses en main… Non... je voulais dire prenez vos mains… Non, Non…Mieux encore laissez les enfants prendre leurs mains. Oui, cest cela, laissez les enfants prendre leurs mains… SUGGESTION:

48 c copyright Colette Picard (Ph.D) Conclusion En bref, manipuler, questionner, observer et même rigoler … Documents découlant de ces recherches Deux cahiers de lélève Chacun avec son guide daccompagnement et les fiches reproductibles

49 c copyright Colette Picard (Ph.D) Invitation Ces ouvrages sont utilisés un peu partout au Québec avec les autres volumes de la collection MATHOU : Chacun avec son guide daccompagnement et les fiches reproductibles Dautres ouvrages sont à venir. Ils sont spécifiquement dédiés aux difficultés des élèves pour chacun des champs de la mathématique. Cest la numération qui sera le thème de ma prochaine conférence à l AQETA. Cahier de lélève B

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