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Logique floue 1 « Ce que les hommes veulent en fait, ce nest pas la connaissance, cest la certitude. » Bertrand Russel.

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1 Logique floue 1 « Ce que les hommes veulent en fait, ce nest pas la connaissance, cest la certitude. » Bertrand Russel

2 2 Logique floue 2 Nous faisons de la logique floue…. Exemple de règles floues: Règles de conduite automobile à lapproche dun carrefour contrôlé par des feux tricolores. si le feu est rouge... si ma vitesse est élevée... et si le feu est proche... alors je freine fort. si le feu est rouge... si ma vitesse est faible... et si le feu est loin... alors je maintiens ma vitesse. si le feu est orange... si ma vitesse est moyenne... et si le feu est loin... alors je freine doucement. si le feu est vert... si ma vitesse est faible... et si le feu est proche... alors j'accélère. Les règles floues sont énoncées en langage naturel

3 3 Logique floue 3 Transposition de notre exemple selon un modèle plus mathématique « moins flou » Si le feu est rouge, si ma vitesse dépasse 85,6 Km/H et si le feu est à moins de 62,3 mètres, alors j'appuie sur la pédale de frein avec une force de 33,2 Newtons !!! Notre cerveau fonctionne en logique floue. Elle apprécie les variables d'entrées de façon approximative (faible, élevée, loin, proche), fait de mêmes pour les variables de sorties (freinage léger ou fort) et édicte un ensemble de règles permettant de déterminer les sorties en fonction des entrées. …sans le savoir!

4 4 Logique floue 4 un patient atteint d'hépatite présente généralement les symptômes suivants : Le patient a une forte fièvre, sa peau présente une coloration jaune, il a des nausées. Limite de la logique booléenne Le patient na pas de forte fièvre Le patient na pas dhépatite. Le patient a une forte fièvre à 48% Le patient a une hépatite à x %. Si le patient à 38,9°C de température Logique classique Logique floue

5 5 Logique floue 5 Champ dapplications de la logique floue Aide à la décision, au diagnostic. (domaine médical, orientation professionnelle…) Base de données. (objets flous et/ou requêtes floues) Reconnaissance de forme. Agrégation multicritère et optimisation Commande floue de systèmes… Traitement dimages (e.g. segmentation)

6 6 Logique floue 6 Bref historique: les débuts 1965: Concept introduit par Pr. Lotfi Zadeh (Berkeley): « Fuzzy set theory »: Définition des ensembles flous et opérateurs associés 1970: Premières applications: Systèmes experts, Aide à la décision en médecine,commerce… 1974: Première application industrielle. Régulation floue dune chaudière à vapeur réalisée par Mamdani Longtemps universitaire. 1985: Les premiers, les japonais introduisent des produits grand public « Fuzzy Logic Inside ».

7 7 Logique floue 7 Bref historique: la maturité 1990: Généralisation de lutilisation de cette technique. – appareils électroménagers (lave-linge, aspirateurs, autocuiseurs,...etc), – systèmes audio-visuels (appareils de photos autofocus, caméscope à stabilisateur d'images, photocopieurs,...) – systèmes automobiles embarqués (BVA, ABS, suspension, climatisation,...etc.), – systèmes autonomes mobiles, – systèmes de décision, diagnostic, reconnaissance, – systèmes de contrôle/commande dans la plupart des domaines industriels de production. Il existe de processeurs dédiés et des interfaces de développement spécifiques (Cf 68HC12 de Motorola) – Ex: la famille des processeurs WARP (Weight Associative Rule Processor) de SGS-THOMSON dont les principales caractéristiques sont les suivantes : Nombre de règles traitées : 256 Nombre d' entrées : 16 Nombre de sorties : 16 Méthode de composition des règles : Centre de gravité Vitesse de traitement : 200 microsecondes pour 200 règles.

8 8 Logique floue 8 Avertissement Lapproche des problèmes par la logique floue est différente de celle adoptée, a priori, dans une démarche scientifique. Elle est beaucoup plus pragmatique que déterministe. La décision en logique floue est basée sur la notion dexpertise, qui permet de quantifier le flou à partir de connaissance a priori ou acquise antérieurement. Ne pas être trop cartésien pour aborder la logique floue Il nest pas nécessaire davoir un modèle entrées/sorties dune voiture pour pouvoir la conduire de manière satisfaisante.

9 9 Logique floue 9 Concepts principaux 1.Les ensembles et variables flous et opérateurs associés. 2.Prise de décision à partir dune base de règles de type « SI…ALORS ». inférence floue. Deux points essentiels :

10 10 Logique floue 10 Ensemble flou A U Soient U: Lunivers du discours. A: un sous-ensemble de U Théorie classique des ensembles: Concept densemble flou: Si =0,30 x appartient à lensemble flou A avec un degré dappartenance de 30% Un ensemble flou est totalement déterminé par sa fonction dappartenance degré dappartenance = valeur de vérité.

11 11 Logique floue 11 Un sous-ensemble flou F est défini sur un ensemble de valeur, le référentiel U. Il est caractérisé par une fonction d'appartenance : qui quantifie le degré d'appartenance de chaque élément de U à F. Froide : F ; Tiède : T ; Chaude : C Logique classique (ensembles « nets ») Logique floue (passage graduel) Ensemble flou

12 12 Logique floue 12 avec Définitions-Propriétés Une partie floue A de X peut aussi être caractérisée par l'ensemble de ses α-coupes. Une α-coupe d'un ensemble flou A est lensemble net (classique) des éléments ayant un degré d'appartenance supérieur ou égal à α. α-coupe(A) = {x X| μ A (x) α}=A 0,5 A Ensemble flou

13 13 Logique floue 13 Exemples densembles flous Ici, Pierre mesure 1m625 se traduit en logique floue par « Pierre est petit » à un degré de 75% « Pierre est moyen » à 25% « Pierre est grand » à 0%

14 14 Logique floue 14 Fonctions dappartenance particulières 1 Couleur du feu tricolore rougeorangevert Fonction dappartenance de la classe « Le feu est rouge » Fonction dappartenance de la classe « la température est tiède» de la classe « la température est tiède» 1 T(°C) 15°C20°C La logique floue englobe les données certaines

15 15 Logique floue 15 Opérateurs de logique floue Opérateurs de logique floue Comme pour la théorie classique des ensembles. On définit lunion, lintersection, le complément….densembles flous logique booléenne standard = cas particulier de la logique floue Tous les résultats obtenus en logique classique doivent être retrouvés par la logique floue

16 16 Logique floue 16 Si A et B sont deux sous-ensembles flous et A (x) et B (x) leur fonction d'appartenance, on définit : Le complémentaire de Complément

17 17 Logique floue 17 Complément A est lensemble flou des personnes petites. Lensemble des personnes NON petites est un ensemble flou de fonction dappartenance :

18 18 Logique floue 18 Le sous-ensemble A et B (A B), par: Le sous-ensemble A ou B (A B), par: T-norme T-conorme ( -norme) Remarque: T pour Triangulaire Intersection, union (x)

19 19 Logique floue 19 Union A est lensemble flou des personnes petites. B est lensemble flou des personnes moyennes. Lensemble des personnes petites OU moyennes est un ensemble flou de fonction dappartenance :

20 20 Logique floue 20 Intersection A est lensemble flou des personnes petites. B est lensembles flou des personnes moyennes. Lensemble des personnes petites ET moyennes est un ensemble flou de fonction dappartenance :

21 21 Logique floue 21 Opérateurs Liste non exhaustive

22 22 Logique floue 22 Opérateurs les plus utilisés Dénomination Intersection ET (t-norme) Réunion OU (t-conorme) Complément NON Opérateurs de Zadeh MIN/MAX Probabiliste PROD/PROBOR

23 23 Logique floue 23 Opérateurs 2 exceptions notables : 2.En logique floue, on peut être A et non A en même temps. 1.En logique floue, le principe du tiers exclu est contredit. les définitions d'opérateurs ET et OU, on retrouve les propriétés des opérateurs booléens

24 24 Logique floue 24 Fuzzification La fuzzification est létape qui consiste en la quantification floue des valeurs réelles dune variable. Interface de fuzzification « Pierre est petit » à un degré de 75% Pierre mesure 1m625 « Pierre est grand » à 0% « Pierre est moyen » à 25% Les systèmes à base de logique floue traitent de variables dentrées floues et fournissent de résultats sur des variables de sorties elle- mêmes floues

25 25 Logique floue 25 Comment fuzzifier? Pour fuzzifier, il faut donner: 1.Lunivers du discours i.e.: Plage de variations possibles de lentrée considérée. 2.Une partition en classe floue de cet univers. 3.Les fonctions dappartenances de chacune de ces classes. La fuzzification des variables est une phase délicate du processus mis en oeuvre par la logique floue. Elle est souvent réalisée de manière itérative et requiert de l'expérience (expertise). Il faut fuzzifier les entrées ET les sorties du processus flou. Exemple: Selon les valeurs des entrées, le système flou indiquera quen sortie la puissance de chauffe devra prendre les valeurs de sortie « faible » ou « moyenne » ou « forte ».

26 26 Logique floue 26 Variables floues variables linguistiquesLogique floue basée sur des variables floues dites variables linguistiques à valeurs linguistiques dans lunivers du discours U. Chaque valeur linguistique constitue alors un ensemble flou de lunivers du discours. Exemple: Univers du discours : Univers du discours : Gamme de température de 0°C à 200°C. Variable linguistique : Variable linguistique : La température. Valeurs linguistiques : Valeurs linguistiques : « Très froid» « Froid » « Tempéré » « Chaud » « Très Chaud »

27 27 Logique floue 27 Une variable linguistique est représentée par un triplet (V, X V, T V ) – V : nom de la variable (age, taille, température, longueur,...) – X V : univers des valeurs prises par V (,...) – T V = {A1, A2,...} : ensemble de sous-ensembles flous de XV, utilisés pour caractériser V. Par exemple: (Age-Personne, [0,130], {Très-jeune, Jeune, Agé}) 1 0 Age Très-jeune Jeune Agé Variable linguistique

28 28 Logique floue 28 Après avoir "fuzzyfier" les variables d'entrée et de sortie, il faut établir les règles liant les entrées aux sorties. But final: à chaque instant, analyser l'état ou la valeur des entrées du système pour déterminer l'état ou la valeur de toutes les sorties. Principe de la logique floue: Plus la condition sur les entrées est vraie, Plus l'action préconisée pour les sorties doit être respectée Règles floues

29 29 Logique floue 29 Raisonnement flou Variables linguistiques et propositions floues – Variables linguistiques – Proposition floue générale – Implication floue Raisonnement Flou – Modus ponens classique – Modus ponens généralisé Application du Modus ponens généralisé Règles floues

30 30 Logique floue 30 Base de règles Les systèmes à logique floue utilisent une expertise exprimée sous forme dune base de règles du type: Si….Alors…

31 31 Logique floue 31 Règles floues Une règle

32 32 Logique floue 32 Plusieurs règles Règles floues

33 33 Logique floue 33 Exemple dun système de règles floues

34 34 Logique floue 34 Inférence floue Inférence : Opération logique par laquelle on admet une proposition en vertu de sa liaison avec dautres propositions tenues pour vraies. PrémissesConjonctionConclusionImplication En logique classiqueEn logique floue La variable floue X appartient à la classe floue A avec un degré de validité (x 0 ) La variable floue Y appartient à la classe floue B à un degré qui dépend du degré de validité (x 0 ) de la prémisse

35 35 Logique floue 35 Principe du raisonnement approximatif Plus la condition sur les entrées est vraie. Plus l'action préconisée pour les sorties doit être respectée SI la température est très basse ALORS Chauffer fort Cette appartenance dépend de : 1) La classe floue de sortie considérée. 2) du degré de validité de la prémisse prémisses (x 0 ). 3) de la méthode dimplication choisie. La conclusion dune règle floue est lappartenance dune variable floue de sortie « Chauffer » à une classe floue « fort ».

36 36 Logique floue 36 Proposition floue élémentaire : qualification « V est A » d'une variable linguistique (V, X V, T V ) – Par exemple: « Age-personne est jeune » Proposition floue générale : composition de propositions floues élémentaires de variables linguistiques qui peuvent être distinctes – Soit « V est A » p.f.e. de (V, X V, T V ), et « W est B » p.f.e. de (W, X W, T W ), – Exemples de proposition floue générale : « V est A et W est B » « V est A ou W est B » Proposition floue

37 37 Logique floue 37 Proposition classique : valeur de vérité {0, 1} (FAUX ou VRAI) Proposition floue : la valeur de vérité est un sous-ensemble flou à valeurs dans [0,1] Valeur de vérité p A de « V est A » : A fonction d'appartenance de A Négation: « V n'est pas A » : p Ac = Ac = 1- A Valeur de vérité p d'une proposition floue générale : agrégation des valeurs de vérité p A et p B de chaque proposition floue élémentaire – Le type d'agrégation dépend de la composition réalisée (et, ou,...) Conjonction « V est A et W est B » : p A B = min(p A, p B ) Disjonction « V est A ou W est B » : p A B = max(p A, p B ) Valeur de vérité dune proposition floue

38 38 Logique floue 38 Règle de production : lien particulier (implication) entre 2 propositions floues – « V est A W est B » est lue « si V est A alors W est B » – « V est A » = prémisse – « W est B » = conclusion – Par exemple: « si Age-personne est Jeune alors Salaire est Bas » Valeur de vérité de l'implication « V est A W est B » : évaluée par une fonction implicative f I : X x Y [0,1] x X, y Y, f I (x, y) = ( A (x), B (y)) – est une fonction [0,1]x[0,1] [0,1] qui est équivalente à l'implication classique quand les propositions sont classiques. Implication floue

39 39 Logique floue 39 f I (x, y) = ( A (x), B (y)) - Principales fonctions d'implication floue

40 40 Logique floue 40 Logique classique vs Logique floue

41 41 Logique floue 41 Modus ponens de la logique classique Règle: Prémisse Conclusion Observation:Prémisse-observée Déduction: Conclusion Modus ponens : règle de déduction pour inférer de la connaissance Règle: H est humain H est mortel Observation:Socrate est humain Déduction: Socrate est mortel Mode de raisonnement classique

42 42 Logique floue 42 Modus ponens généralisé : extension du MP aux propositions floues Soient (V, X V, T V ) et (W, X W, T W ) deux variables linguistiques Règle floue: V est A W est B A B Observation floue:V est A' A' Déduction:W est B' B' A, B, et A' sont connues, on recherche la valeur de B' (y), y Y Mode de raisonnement flou A partir dune règle floue et dun fait observé A pour V, on en déduit une valeur B pour W.

43 43 Logique floue 43 Règle floue « V est A W est B » Implication x X, y Y, f I (x,y)= ( A (x), B (y)) Le MPG combine la règle floue avec l'observation « V est A' » pour construire la conclusion B' Opérateur de modus ponens généralisé : fonction T de [0,1]x[0,1] dans [0,1] pour combiner f I et A' T est une t-norme T est liée à f I pour que le MPG soit compatible avec le modus ponens classique. On a, pour tout y Y : B' = sup x X T(f I (x,y), A' (x)) Modus ponens généralisé

44 44 Logique floue 44 Exemples d'opérateurs de MPG Zadeh : u,v [0,1], T(u,v) = min(u,v) Utilisé avec les implications de Mamdani, Larsen,... Lukasiewicz : u,v [0,1], T(u,v) = max(u+v- 1,0) Utilisé avec les implications de Lukasiewicz, Reichenbach, Mamdani, Larsen,...

45 45 Logique floue 45 Applications du modus ponens généralisé Commande floue : ensemble de règles floues + entrée numérique + sortie numérique Contrôle flou de processus Phase de défuzzification nécessaire Systèmes experts flous : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue Raisonnement flou, inférence de connaissances Pas de défuzzification Raisonnement par analogie : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue B' est à B ce que A' est à A ressemblance (A,A') doit être la même que ressemblance(B,B')

46 46 Logique floue 46 Méthodes dimplication 2 méthodes principales dimplication floue: Méthode de Mamdani :Méthode de Larsen :

47 47 Logique floue 47 Exemple (Mamdani) Plus la condition sur les entrées est vraie. Plus l'action préconisée pour les sorties doit être respectée Règle: SI la température est très basse ALORS Chauffer fort 12KW Selon la règle considérée, si T=3°C alors Puissance de chauffe =12KW T=3°C

48 48 Logique floue 48 Activation des règles Une règle est activée dès quelle a une prémisse ayant une valeur de vérité non nulle. Plusieurs règles peuvent être activées simultanément et préconiser des actions avec différents degrés de validités; ces actions peuvent être contradictoires. Il convient dagréger les règles pour fournir une appartenance de la variable floue de sortie à une classe floue consolidée

49 49 Logique floue 49 Composition de règles On considère que les règles sont liées par un opérateur OU.

50 50 Logique floue 50 Exemple : Max-Min inférence

51 51 Logique floue 51 Moteur dinférences 4 règles R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 moyenne =0.3 petite =0.7 petite =0.6 grande =0.1 On considère un moteur dinférence à 4 règles qui fournit pour sa sortie tension S 1, les résultats suivants : Implication floue de MamdaniExemple

52 52 Logique floue 52 Exemple A ce stade, on a la fonction dappartenance dun ensemble flou qui caractérise le résultat Associer à cette ensemble flou un nombre interprétable par lutilisateur, linterface de commande… Il faut défuzzifier: Agrégation des conclusionsExemple

53 53 Logique floue 53 Principales méthodes de défuzzification Méthode moyenne des maximums (MM)Méthode du centre de gravité (COG) Cest labscisse du centre de gravité de la surface sous la courbe résultat 3,5V Cest la moyenne des valeurs de sorties les plus vraisemblables 1,9V

54 54 Logique floue 54 Défuzzification En commande floue, la défuzzification COG est presque toujours utilisée. Elle prend en compte linfluence de lensemble des valeurs proposées par la solution floue. La défuzzification MM est plutôt utilisée lorsquil sagit de discriminer une valeur de sortie (Ex: reconnaissance de formes).

55 55 Logique floue 55 Prise de décision par logique floue

56 56 Logique floue 56 Exemple : système de notation floue Système dinférences floues Résultats obtenus (sur 20) Méthodes utilisées (sur 20) Présentation (sur 20) Évaluation du travail (sur 20) On choisit :

57 57 Logique floue 57 Mise en place du système dinférences floues 3 entrées:Résultats, Méthodes, Présentation. 1 sortie:Évaluation 1.Choix des entrées/sorties 2.Univers des discours [0..20] pour chacune des E/S 3.Classes dappartenances: Résultats {Médiocre, Moyen, Excellent} Méthodes {Médiocre, Moyen, Excellent} Présentation {Médiocre, Moyen, Excellent} Evaluation {Médiocre, Mauvais, Moyen, Bon, Excellent}

58 58 Logique floue 58 4.Choix des fonctions dappartenances Entrées : Sortie : Mise en place du système dinférences floues

59 59 Logique floue 59 Bases de règles 1. If (Résultats is excellent) then (Evaluation is excellent) 2. If (Résultats is moyen) then (Evaluation is moyen) 3. If (Résultats is médiocre) then (Evaluation is médiocre) 4. If (Résultats is moyen) and (Méthodes is médiocre) then (Evaluation is mauvais) 5. If (Résultats is moyen) and (Méthodes is excellent) then (Evaluation is bon) 6. If (Résultats is médiocre) and (Méthodes is moyen) then (Evaluation is mauvais) 7. If (Résultats is excellent) and (Méthodes is excellent) and (Présentation is excellent) then (Evaluation is excellent) 8. If (Résultats is médiocre) and (Méthodes is excellent) then (Evaluation is moyen) 9. If (Résultats is excellent) and (Méthodes is médiocre) then (Evaluation is moyen)

60 60 Logique floue 60 Choix des opérateurs flous ET flou : MIN OU flou : MAX Implication floue: MIN Agrégation des règles: MAX Défuzzyfication : COG

61 61 Logique floue 61 Surface de décision floue (Obtenue pour une évaluation de la présentation de 10/20).

62 62 Logique floue 62 Applications Fours à micro-ondes Boites de vitesses automatiques Ascenseurs (freinage, ralentissement) Régulateurs de température Système de freinage progressif (métro, tram, voiture) Appareils photo et caméscopes "anti-tremblement" Robotique …

63 63 Logique floue 63 This is the end of this part! This is the end of this part!


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