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2010-2011Traitement Numérique du Signal1 Université Paris 13 Traitement Numérique du Signal Master 1 1.Exemples de filtres numériques 2.Produit de convolution.

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1 Traitement Numérique du Signal1 Université Paris 13 Traitement Numérique du Signal Master 1 1.Exemples de filtres numériques 2.Produit de convolution 3.Transformée en Z 4.Filtres numériques 5.Fonction de transfert 6.Critère de stabilité, pôle, zéro 7.Filtre à phase linéaire 8.Schéma général

2 Traitement Numérique du Signal2 1/ Registre à décalage –Retard T Multiplication par Z -1 (nT Z -n ) –Réalisation : Registres à décalages, décalages de pile (FIFO)

3 Traitement Numérique du Signal3 Exemple de filtrages Entrée Filtres Sorties t t t

4 Traitement Numérique du Signal4 2/ Propriétés de la convolution : y[n]=h[n]*x[n] 1.Fréquence déchantillonnage et périodicité conservées : x[n] N-périodique alors y[n] est N-périodique 2.Invariance par translation dans le temps Si x2[n] = x1[n-d] alors y2[n] = y1[n-d] 3.Amplification des signaux Si x2[n] = a x1[n] alors y2[n] = a y1[n] 4.Superposition des signaux Si x3[n] = x1[n]+x2[n] alors y3[n] = y1[n]+y2[n] 5.Filtres en cascade Si z[n]=h2[n]*y[n] et y[n]=h1[n]*x[n] alors h[n]=h2[n]*h1[n] et z[n]=h[n]*x[n] 6.Modification de la moyenne moyenne(y[n]) = H(0) x moyenne(x[n]) 7.Réponse forcée du système Si x[n]=exp(j2 f0nTe) alors y[n] = H(f0) x[n] ^ ^ Réponse fréquentielle Fonction de transfert

5 Traitement Numérique du Signal5 3/ Transformée en Z module phase z=exp(j2 fTe) signal causal |z| f nT e pôle zéro

6 Traitement Numérique du Signal6 Propriétés de la transformée en Z Retard=>déphasage Linéarité Dilatation/concentration Somme cumulée et différence entre termes successifs Produit de convolution/produit Sinusoïdes=>quotients décalage fréquentiel Parité

7 Traitement Numérique du Signal7 4/ Filtrage Réponse impulsionnelle Réponse indicielle Réponse harmonique ou réponse fréquentielle Fonction de transfert

8 Traitement Numérique du Signal8 tous les pôles sont nuls AR, MA, ARMA MA=FIR=RIF réponse impulsionnelle finie AR tous les zéros sont nuls ARMA AR+ARMA=IIR=RII

9 Traitement Numérique du Signal9 Schéma dun filtre du 1 er ordre Equation récurrente : s(nT e )=s[n]=s n =A.e n +B.s n-1 Symbolisation Transformée en Z : H(Z)=A/(1-B.Z -1 )

10 Traitement Numérique du Signal10 5/ Equations aux différences, filtres linéaires et Réponses fréquentielles Relation entrée-sortie TZ Fonction de transfert Réponse fréquentielle z opérateur retard

11 Traitement Numérique du Signal11 Pôles, zéros et allure de la réponse fréquentielle Relation entrée-sortie Fonction de transfert factorisation zéros pôles Module de la réponse fréquentielle Phase de la réponse fréquentielle

12 Traitement Numérique du Signal12 Fonctions de transfert, décomposition en élément simple et réponse impulsionnelle Fonction de transfert Décomposition en éléments simples pôles Réponse impulsionnelle TZ précautions sur les calculs

13 Traitement Numérique du Signal13 6/ Filtres stables / Filtres à minimum de phase Le filtre est stable si: Le filtre est à minimum de phase si: Re(p) Im(p) Zone de stabilité 1 j Ordre du filtre = max(nb pôles,nb zéros)

14 Traitement Numérique du Signal14 Re(p) Im(p) xxxxx pôles stable in- stable n n ff f f # # # # sinon

15 Traitement Numérique du Signal15 min t t ff f f non min # # ## Re(p) Im(p) xoooo pôle o zéros

16 Traitement Numérique du Signal16 phase sinon et

17 Traitement Numérique du Signal17 Impact sur le signal de sortie en entrée : en sortie après approximation : Retard de groupe FréquenceSeuil 500 HzHz3.2 ms 1 kHzkHz2 ms 2 kHz1 ms 4 kHz1.5 ms 8 kHz2 ms Définition : En audio :

18 Traitement Numérique du Signal18 7/ Filtre à phase linéaire Symétrie de la réponse impulsionnelle phase linéaire le filtre est lassociation dun retard et dun filtre de réponse impulsionnelle paire non-causale

19 Traitement Numérique du Signal19

20 Traitement Numérique du Signal20 Réponse impulsionnelle symétrique => phase linéaire réelle linéaire phase non-linéaire

21 Traitement Numérique du Signal21 8/ Temps discret : Filtres et transformées TZ TFTD Equation de récurrence


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