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Chapitre 6 : Restauration dimages Pr. M. Talibi Alaoui Département Mathématique et Informatique.

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1 Chapitre 6 : Restauration dimages Pr. M. Talibi Alaoui Département Mathématique et Informatique

2 1.Principe Restaurer une image consiste à essayer de compenser les dégradations subies par cette image. Les dégradations les plus courantes : Flou de défocalisation bougé

3 Limage F dont on dispose : h + B F I Modèle de dégradation

4 Objectif de la restauration : Calculer à partir de F une image aussi proche que possible de limage originale I. On a besoin donc de connaître : Le filtre h. La variance du bruit.

5 dégradation Restauration Estimation des paramètres de la dégradation I F Principe général de la restauration dimages

6 Le filtre de dégradation est symétrique par rapport à lorigine : En prenant la transformée de Fourier, et en supposant que les images I et F sont périodiques :

7 2.Détermination des paramètres de la dégradation a.Modèle du filtre de dégradation Défocalisation Chaque point de la scène donne alors sur limage une tache en forme de disque, cette tache étant dautant plus grande que la défocalisation est importante. On a alors :

8 Le paramètre à déterminer est donc T. Bougé Elle se modélise par un filtre linéaire dont la réponse impulsionnelle a la forme dun segment. Ainsi la dégradation se modélise par un filtre horizontal : à 2T+1 coefficients. La valeur du coefficient est alors :

9 b.Etude en dimension 1 Pour la clarté de lexplication, nous allons tout dabord nous placer en dimension 1 (bougé) : Lindice x correspondra à la direction du bougé. La réponse fréquentielle h(x) du filtre est alors : La transformée de Fourier discrète, sur N points, de ce filtre est :

10 Après démonstration, on pourra déduire que : T = (1/2)*(kN/u k -1) Généralisation au cas à deux dimensions Si on néglige le bruit, léquation montre que le spectre de limage dégradée est le produit du spectre de limage idéale par la transformée de Fourier du filtre de dégradation. Il sensuit que les passages par zéro du filtre se retrouvent sur le spectre de limage dégradée. En visualisant le spectre, on peut donc localiser approximativement ces bandes sombres et en déduire la valeur de T.

11 Exemple : Estimation des paramètres de la dégradation Calculer le spectre de limage flou1 (et flou4) et le visualiser ( on utilisera de préférence, une échelle logarithmique ). On remarquera des bandes sombres sur le spectre. Ces bondes sombres correspondent aux passages par zéro du filtre qui a dégradé limage. On peut localiser approximativement ces bandes sombres et en déduire la valeur de T. Pour une estimation plus précise, on utilisera une sommation.

12 3.Restauration par filtrage inverse On filtre limage dégradée par un filtre g(x,y) qui est linverse de h(x,y). On passe dans le domaine des fréquences, en utilisant la transformée de Fourier. En fréquentiel on aura donc : Pour restaurer limage, on calcule le spectre de limage restaurée : Ce qui consiste à appliquer le filtre inverse dans la domaine des fréquences. Enfin, une transformée de Fourier inverse nous donne limage restaurée.

13 Afin de mieux comprendre le principe et les limites de cette méthode, nous allons à présent exprimer : Soit puisque G(u,v)H(u,v)=1 : Si le bruit était nul, on retrouverait exactement limage originale.

14 Pour un bruit non nul, ce qui sera toujours le cas en pratique, un problème se pose lorsque H(u,v) devient très faible, car on a alors une forte valeur de G(u,v), ce qui entraîne une forte amplification du bruit. Solution : borner les valeurs que peut prendre G(u,v) : Si G(u,v)>S alors G(u,v)=S Si G(u,v)<-S alors G(u,v)=-S ou S est un seuil positif. Résultat.

15 4.Restauration par filtrage de Wiener Le raisonnement qui vient dêtre mené peut être rendu plus rigoureux : on aboutit à la notion de filtre de Wiener. On va déterminer le filtre G(u,v) qui minimise lerreur quadratique moyenne entre limage idéale et limage restaurée : Le G est :

16 5.Le problème des effets de bord Nous allons voir successivement deux méthodes pour améliorer les résultats : Estimer les effets de bord pour ensuite les corriger. Faire lhypothèse quau niveau des bords, des points qui se trouvent à lextérieur de limage ont des intensités voisines des points qui se trouvent à lintérieur.

17 6.Restauration par estimation et correction des effets de bord On se limitera au cas ou le filtre de dégradation est un filtre horizontal. Cela permet de traiter les lignes de limage indépendamment les unes des autres. Lindice x correspond à la direction du bougé. Notons I (x) une ligne de limage idéale et F (x) la même ligne dans limage dégradée. Les indices x = 0, 1,.., N-1 correspondent à la zone effectivement visible dans limage, alors que

18 les indices x négatifs ou supérieurs à N-1 correspondent aux bords extérieurs à limage. Le filtre de dégradation h(x) vaut 1/(2T+1) pour -T <= x <= +T et 0 ailleurs. On notera H(u) sa transformée de Fourier sur N Points. On posera : pour x = -T,…., T-1. Au niveau de la transformée de Fourier, on peu écrire :

19 Si on place les N composantes de bruit B(u) dans un vecteur et les 2T composantes de dans un vecteur, on peut démontrer quil existe une matrice W précalculable à N lignes et 2T colonnes telle que : H(u) comporte 2T passages par 0. Lorsque u correspond à un passage par zéro, on a : B(u k )=F(u k ) Notons le vecteur de dimension 2T contenant ces valeurs, et W 0 la matrice de dimension 2T par 2T, formée à partir des 2T lignes de W correspondantes. On a alors :, doù :

20 Cette équation permet destimer. Ensuite, on calcule le vecteur de bruit grâce à léquation. On obtient alors La valeur corrigée de F par : On applique ensuite une méthode de restauration classique, mais en remplaçant F(u) par F cor (u). Résultat

21 7.Restauration par symétrie miroir Lerreur est dautant plus grande que les niveaux dintensités sur les bords opposés de limage sont différents. On peut réduire cette différence en travaillant su une image plus grande, construite à partir de limage initiale par symétrie miroir. En effet, les bords opposés dune telle image ont des niveaux dintensité proches.

22 Notons I e et F e les images étendues à partir de I et F. On a alors : Du fait de la faible différence entre les bords opposés de limage étendue, le bruit B e (u,v) est faible. On peut alors utiliser une méthode de restauration classique simplement appliqué à F e (u,v).


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