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Caractérisation vectorielle du centre de gravité dun triangle.

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2 Caractérisation vectorielle du centre de gravité dun triangle

3 Soit G le centre de gravité du triangle ABC B A C C B A G On veut démontrer que : (Voir avec Géoplan2)

4 On trace le symétrique D de G par rapport à A. On peut démontrer que le quadriletère GCDB est un parallélogrammeparallélogramme. Pour les vecteurs, cela signifie que : B A C C B A G De plus, G est le milieu de [AD], donc : D

5 B A C C B A G D On sait que D est le symétrique de G par rapport à A donc A est le milieu de [GD]. Dautre part, on sait que A est le milieu de [CB]. Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Ainsi GCDB est un parallélogramme. Démontrons que GCDB est un parallélogramme : Retour

6 On trace le symétrique D de G par rapport à A. On peut démontrer que le quadriletère GCDB est unparallélogramme. Pour les vecteurs, cela signifie que : B A C C B A G De plus, G est le milieu de [AD], donc : D

7 On sait que donc on obtient : et que Mais quen est-il de la réciproque ?

8 Réciproquement, si un point T vérifie Utilisons la relation de Chasles pour exprimer le vecteur TG : D'où T = G 0 car G est le centre de gravité ! Ansi, si un point T vérifie Alors T est le centre de gravité du triangle ABC.

9 Retrouvons la position du centre de gravité à l'aide d'un calcul vectoriel Le centre de gravité du triangle est situé aux deux tiers de la médiane en partant du sommet. Introduisons A milieu de [BC] : B A C C B A G

10 Conclusion B A C C B A G 1) Si G est le centre de gravité du triangle ABC, alors : 2) Réciproquement, si un point vérifie Alors, cest le centre de gravité du triangle ABC. 3) G est situé au deux tiers de la médiane en partant du sommet. Ce qui peut sécrire :


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