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Références Classical electrodynamics John David Jackson Wiley Computational Electromagnetics Anders Bondeson, Thomas Rylander, Pär Ingelström Springer.

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1 Références Classical electrodynamics John David Jackson Wiley Computational Electromagnetics Anders Bondeson, Thomas Rylander, Pär Ingelström Springer E-book (accessible sur le campus) : Ce cours sur le web : Une question ? 1

2 modélisation multiphysique à léchelle méso-macroscopique Plan 1. Introduction : que veut-on calculer ? 2. Rappels délectromagnétisme 3. Une méthode de résolution des équations de Maxwell : Différences finies domaine temporel 4. Equation de la chaleur : traitement des non-linéarités 5. Applications industrielles Mécanique : Stéphane Guinard, EADS Electromagnétisme : Ivan Revel, EADS 2

3 787 Dreamliner Composite Profile Les matériaux : métalliques et composites…

4 Les composites : fibres et résines Délaminages

5 Composite ; un empilement complexe : plis, protection de surface, peinture

6 Un matériau doit assurer une multitude de fonctions : tenue mécanique (efforts, chocs), thermique, protection électromagnétique (champs forts, foudre effets directs et indirects, électrostatique, furtivité…), tenue à la corrosion, au feu, esthétique…

7 La modélisation aide à dimensionner le matériau en amont dans le développement dun programme, soit en amont dessais, soit pour économiser des essais. Plusieurs types de contraintes se prêtent bien à une modélisation de type physique, Passant par la résolution déquations aux dérivées partielles : Mécanique, thermique, électromagnétique…

8 Modélisation électromagnétique Que cherche-t-on ? Effet dune agression extérieure (champ fort, foudre) sur les systèmes embarqués (câblages, équipements…). Une modélisation à 2 niveaux : 1.Modélisation locale Ex : matériau et efficacité de blindage, câblages, fentes…

9 2. Modélisation globale Des outils utilisant les équation de Maxwell permettent de réaliser ces modèles.

10 Modélisation thermique Tenue en température de matériaux Tenue à la foudre (effets directs) de matériaux : électro-thermo-mécanique

11 EQUATIONS DE MAXWELL Conservation de la charge : Milieux linéaires : permittivité électrique perméabilité magnétique Loi dOhm : E, H : champs D, B : inductions 11

12 12 Liens entre les différentes équations de Maxwell Par ailleurs je prends la divergence de léquation dAmpère : Par comparaison avec léquation de conservation de la charge : Je prends la divergence de léquation de Faraday : Conclusion : si à linstant initial les champs satisfont : Et Alors à tout instant suivant, il suffit que les champs satisfassent les équations dAmpère et de Faraday (et de conservation de la charge) pour satisfaire les autres équations de Maxwell. On ne propage numériquement que les équations de Faraday et Ampère.

13 Propagation dans un milieu conducteur Expulsion de la charge : Equations de propagation : Solution recherchée sous la forme : 13

14 Vitesse de phase : Indice du milieu : Impédance donde : (relation de dispersion) 14

15 Cas particulier : mauvais conducteur : Vide (SI): Cas particulier : bon conducteur : δ : épaisseur de peau (décroit quand ω croit) : 15

16 Propagation avec atténuation : Exemples pour f=100 kHz (foudre…) : - Métal : σ= S/m δ0.2 mm - Composite Carbone (CFC, CFRP…) σ= 10 4 S/m δ15 mm 16

17 Interfaces 1 2n Discontinuités aux interfaces ρ s (C/m 2 ), J s (A/m): densités surfaciques 17

18 Discontinuités à la surface dun conducteur Parfait Réel - La composante normale de E peut connaitre une discontinuité pour un conducteur chargé. -La composante tangentielle de H peut être discontinue sil y a des courants de surface - Les autres composantes sont continues - Seule la composante normale de E peut être discontinue - Les autres décroissent avec leffet de peau en pénétrant dans le conducteur. 18

19 Propagation dun paquet dondes u(x,t) : une composante de E ou H à une dimension Transformée de Fourier : ω(k) : relation de dispersion Onde plane infinie : Δk=0, Pulse infiniment étroit : Δk=+ 19 Δx.Δkπ

20 Dispersion Supposons une loi de dispersion linéaire (vide, diélectrique…) : Le paquet donde se propage sans déformation à la vitesse de groupe : Dans le cas général (conducteur...) la relation de dispersion nest pas linéaire. Il y a donc déformation du paquet donde durant sa propagation. 20

21 Dispersion numérique 21 Dans un milieu diélectrique (dispersion linéaire) combinant avecjobtiens (équation de Helmholtz) Grille spatiale et temporelle utilisée pour la résolution numérique Question : Quelle relation de dispersion ?

22 22 Léquation de Helmholtz, Pour une composante de champ, en différences finies, devient : Le champ à linstant n+1 est donc donné par la récurrence : Je cherche la relation de dispersion que doit satisfaire une onde du type Pour être solution de l équation discrétisée Nouvelle relation de dispersion : QUESTION : Limite pour des intervalles tendant vers 0 ?

23 23 R=0.01 R=0.9 R=1. R=1.2 R=1 : on retrouve la loi de dispersion physique : ω=ck R>1 : pour certains intervalles en k, ω devient complexe e iωt a une composante exponentielle réelle amplification non physique de cette contribution. Instabilité R<1 : dispersion non linéaire sur les k élevés déformation du signal

24 24 CRENEAU

25 25 PROPAGATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELL CAS 1D On ne propage que les eq. dAmpère et Faraday 1D Elles ont les 2 la même structure : Dérivée spatiale=dérivée temporelle Premières idées : 1. Différences finies centrées 2. Utiliser la même grille pour E et H (celle déjà utilisée).

26 26 Différences finies Au point (r,n) : Algorithme du type « saut de grenouille » (leapfrog) : je passe directement du temps n-1 au temps n+1 en passant par-dessus n. Inconvénient de lalgorithme : précision réduite du fait que, en temps comme en distance, On fait des sauts de 2 pas. En utilisant des grilles décalées (staggered) pour E et H, on peut réduire le saut à un seul pas ! Différences finies, grille unique

27 27 Différences finies, grilles décalées Au point (r,n+1/2) : Grille E x : (r,n) Grille H y : (r+1/2,n+1/2) Au point (r+1/2,n) : - Les sauts sont bien dun seul pas - Les points où sont utilisées les équations nappartiennent ni à la grille E, ni à la grille H - QUESTION : quelle relation de dispersion ?

28 28 PROPAGATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELL CAS 3D : ALGORITHME DE YEE (K.S. Yee, IEEE Trans. Ant. Propag., AP-14, , 1966) Composantes du champ E : milieu des arêtes Temps entiers E x : points (p+1/2, q, r, n) E y : points (p, q+1/2, r, n) E z : points (p, q, r+1/2, n) Composantes du champ H : milieu des faces Temps demi-entiers H x : points (p, q+1/2, r+1/2, n+1/2) H y : points (p+1/2, q, r+1/2, n+1/2) H z : points (p+1/2, q+1/2, r, n+1/2)

29 29 Au point (p, q+1/2, r+1/2, n) Au point (p+1/2, q, r+1/2, n) Au point (p+1/2, q+1/2, r, n) CALCUL DES CHAMPS H AU TEMPS n+1/2

30 30 Au point (p+1/2, q, r, n+1/2) Au point (p+1/2, q+1/2, r, n+1/2) Au point (p, q, r+1/2, n+1/2) CALCUL DES CHAMPS E AU TEMPS n+1

31 31 ALGORITHME DE YEE : RELATION DE DISPERSION 3D Quelle relation ω(k) pour avoir une solution du type Expressions des opérateurs différentiels Si f(x)=e i(ωt-kx) alors

32 32 Si Alors les équations de Yee donnent : Combinant ces 2 équations : doncPar ailleurs Donc Résultat Relation de dispersion 3D

33 33 Condition de stabilité : Qui est satisfaite si : Condition CFL (Courant-Friedrichs-Levy) :

34 34 Choix de la taille de maille : - Description suffisamment précise des détails géométriques - Critère de longueur donde 10 points par longueur donde Choix du pas de temps : critère CFL Occupation mémoire : (2 pas de temps stockés)*(6 composantes)*Nx.Ny.Nz=12 Nx.Ny.Nz Temps de calcul : proportionnel à 6 Nx.Ny.Nz.Nt Proportionnel à (fréquence)**4 Impossibilité pratique du calcul à très hautes fréquences : autres méthodes (asymptotiques : optique, théorie de rayons…)

35 35 Exemple : on veut modéliser un avion. Taille : 50 m. On considère un coup de foudre qui dure 100 μs. On veut représenter de façon suffisamment fine les détails taille de maille : 0.1 m Nombre de mailles =10 9 (en fait on a moins besoin pour la hauteur) soit 12*8=96 Go doccupation mémoire Pas de temps max : Δx/3 1/2 c0.2 ns, soit Nt= Nombre dopérations : de lordre de 6* *10 9 = Temps de calcul sur un processeur à 30 Gflops : 10 5 s la journée Fréquence max traitée correctement dans ce calcul : longueur donde = (10 points par longueur donde)*0.1m=1m, soit 300 MHz.

36 36 Limitations du volume maillé Il faut absorber londe en bords de volume. Si on mettait un conducteur (effet de peau…) il y aurait des réflexions très importantes. Impédance donde : (cf page 14) On ajoute une couche absorbante de matériaux fictifs (conductivité magnétique !) en bords de volume Pour une onde normale à la surface le coefficient de réflexion est : Si Z=Z 0 : pas de réflexion ! Adaptation dimpédance On obtient cette adaptation dimpédance si :

37 37 EiEi HiHi kiki EtEt HtHt ktkt ErEr HrHr -k i Pas de discontinuité à linterface (Courant réparti dans lépaisseur) CALCUL DU COEFFICIENT DE REFLEXION A LINTERFACE Donc : MILIEU Z 0 MILIEU Z

38 38 Cas général : onde incidente non normale J.P. Bérenger, J. Comput. Phys. 114, 185 (1994) Séparer les composantes du champ parallèle à la couche absorbante en 2 morceaux (ici, la couche absorbante en perpendiculaire à z) Quand σ=σ*=0, on retrouve les équations dans le milieu physique. Seule les morceaux en z (cad correspondant à une propagation en z) sont modifiés. La propagation en x,y est inchangée.

39 39 Dans la pratique, il faut considérer des murs perpendiculaires à x, y,z. …et il faut augmenter progressivement les conductivités, par exemple :

40 40 Plaques minces : cas 2D (pour simplifier) L.K. Wu et L.T. Han, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 40, 628, 1992 On ne veut pas mailler lépaisseur de la plaque, cela conduirait à des maillages énormes ! On remplace la plaque par une résistance équivalente modèle basse fréquence (pas deffet de peau = pas dinduction) - Pas de dépendance en z Question : S 1, S 2 ?

41 41 Loi dOhm sur la plaque résistive : L e L Plaque carrée : = Impédance de surface Continuité de la composante tangentielle du champ et loi dOhm dans la plaque Discontinuité du champ H tangentiel aux interfaces en présence de courant de surface + - Ce qui rend caduque eq. 5c

42 42 Algorithme initial Algorithme modifié sur la plaque 2R En supposant une dépendance linéaire en temps autour de n+1/2

43 43 Prise en compte de fils minces R. Holland, L. Simpson, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol. 23, 88, Une perturbation EM est susceptible dinduire des courants parasites sur les systèmes - Il faut donc coupler les équations de propagation des 6 composantes de champ à des équations sur les courants et charges induits sur les fils Etablissement des équations sur I et Q On a E z (a)=0 (pourquoi ?)

44 44 Hypothèses sur les champs (basse fréquence, et localement) (Théorème dAmpère en magnétostatique) (Théorème de Gauss en électrostatique) À une distance moyenne R Q(z)dz I(z)I(z+dz) Equation de continuité

45 45 Modification de lalgorithme de Yee avec fil (vertical) - Par cellule : 8 quantités (6 composantes de champ+Q+I) à propager - Il faut donc coupler les équations de propagation des 6 composantes de champ à des équations sur les courants et charges induits sur les fils Intensités I : milieu des arêtes Temps demi-entiers I : points (p, q, r+1/2, n+1/2) Charges Q : coins du cube, temps entiers Q: points (p, q, r, n) Intensité Charge

46 46 1. Calculer I au temps n+1/2, à partir de I au temps n-1/2 et de E et de Q au temps n 2. Calculer H au temps n+1/2, à partir de H au temps n-1/2 et de E au temps n 3. Calculer E au temps n+1, à partir de E au temps n et de H et de I au temps n+1/2 4. Calculer Q au temps n+1, à partir de Q au temps n et de I au temps n+1/2 Yee sans changement Yee avec rajout du courant du fil Modification de lalgorithme de Yee avec fils


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