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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Systèmes.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Systèmes déquations et analyse de circuits Systèmes déquations et analyse de circuits

2 Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les matrices pour faire lanalyse dun circuit. Nous ferons dabord une analyse classique par les branches et nous verrons comment diminuer le nombre déquations en faisant une analyse par les mailles pour ensuite présenter une façon programmée de traduire la situation par une équation matricielle. Introduction Mais tout dabord, rappelons les notions, définitions et lois dont nous nous servirons.

3 Circuit électrique Définitions Un circuit électrique est un ensemble déléments (sources de tension, sources de courant, résistances, etc.) reliés par des conducteurs (fils). Branche dun circuit Une branche dun circuit est une partie dun circuit constituée dun ou de plusieurs éléments montés en série.

4 Maille dun circuit Définitions et notations Une maille dun circuit est un trajet fermé et conducteur. Nœud dun circuit Un nœud dun circuit est un point ou un conducteur auquel sont reliées différentes branches du circuit. Notations La tension à la source en volts (V) est notée E. La différence de potentiel aux bornes dune résistance est notée V. Elle est mesurée en volts. Lintensité du courant en ampères (A) est notée I, avec ou sans indice. La résistance en ohms () est notée R, avec ou sans indice. E V1V1 V2V2 V3V3 R1R1 R2R2 R3R3

5 Loi dOhm Dans un circuit à courant continu, lintensité du courant est directement proportionnelle à la tension appliquée et inversement proportionnelle à la résistance. Cette loi sécrit : I = V/R où I est lintensité du courant en ampères (A), V, la tension appliquée en volts (V) et R, la résistance en ohm (). On exprime souvent la loi dOhm sous la forme : V = RI.

6 Potentiel et sens conventionnel Leffet de la source est une augmentation de potentiel (lorsque traversée par le courant du – au +) et leffet dune résistance est une diminution du potentiel (lorsque traversée du + au –). On utilise ici le sens conventionnel du courant, ce qui signifie que le courant, dans le circuit, va de la borne positive de la source vers sa borne négative (le sens réel va de la borne négative à la positive). Au début des études sur le courant, on pensait que le courant était dû au déplacement de particules positives alors quil est dû au déplacement délectrons de charge négative. On peut tout aussi bien considérer le sens réel, cela a pour effet de changer le signe des deux membres des équations dans lanalyse dun circuit. Sens conventionnel

7 Loi des tensions de Kirchhoff Dans toute maille dun circuit, la somme algébrique des différences de potentiel (incluant celle à la source) est nulle. En appliquant la loi des tensions à la première maille, on a : E – V 1 – V 2 – V 3 = 0 ou V 1 + V 2 + V 3 = E En lappliquant à la deuxième maille, on a : V 2 – V 4 = 0 ou –V 2 + V 4 = 0 En lappliquant à la troisième maille, on a : E – V 1 – V 4 – V 3 = 0 ou V 1 + V 3 + V 4 = E La troisième équation est la somme des deux premières, elle est donc superflue. Ce nest pas une nouvelle contrainte sur les variable E V1V1 V3V3 V2V2 V2V2 V4V4 V4V4 E V1V1 V3V3 SS

8 Loi des courants de Kirchhoff La somme algébrique des courants dans un nœud est nulle. I 1 – I 2 – I 3 = 0 I1I1 I3I3 I2I2 I2I2 I3I3 I1I1 En appliquant cette loi au premier nœud, on obtient : –I 1 + I 2 + I 3 = 0 En lappliquant au deuxième nœud, La deuxième équation est superflue. Autre exemple : I 1 + I 2 – I 3 = 0 I1I1 I2I2 I3I3 SS

9 Analyse de circuits Lanalyse dun circuit vise à trouver les éléments inconnus de celui-ci qui peuvent être des courants ou des tensions. Nous ne considérerons ici que les circuits dont les inconnues sont les courants. Analyse par les branches Lanalyse par les branches consiste à attribuer un courant à chacune des branches et à établir les équations de nœuds et de mailles en utilisant les lois de Kirchhoff. On transforme alors les équations de mailles en utilisant la loi dOhm et on solutionne le système déquations obtenu.

10 Analyse par les branches Faire lanalyse par les branches du circuit illustré. Équation du nœud Il y a deux nœuds, mais ils donnent la même équation, soit : 15 – V 1 + V 2 – 5 = 0 ou V 1 – V 2 = 10. I 1 + I 2 – I 3 = 0 Courants de branches Attribuons un courant à chacune des branches. Équation de la maille 1 Équation de la maille 2 Puisque V 1 = 4I 1 et V 2 = 5I 2, on a : 4I 1 – 5I 2 = 10 5 – V 2 – V = 0 ou V 2 + V 3 = 23. Puisque V 2 = 5I 2 et V 3 = 2I 3, on a : 5I 2 + 2I 3 = 23 V1V1 V2V2 I1I1 I2I2 I3I3 V2V2 V3V3 +– +– + – SS

11 Solution Nous devons résoudre le système déquations : La matrice augmentée est : On trouve donc : I1 I1 = 4,87 A, I2 I2 = 1,89 A, I3 I3 = 6,76 A. I 1 + I 2 – I 3 = 0 4I 1 – 5I 2 = 10 5I 2 + 2I 3 = –5 5 – –5 5 – L1L1 L2 L2 – 4 L1L1 L3L –9 5 – S 9L 1 + L2L2 L2L2 9L 3 + 5L –9 0 – SS 38L 1 + 5L 3 19L 2 – 2L 3 L3L – – S Appliquons la méthode de Gauss-Jordan. L1 L1 /342 L2 L2 /(–171) L3 L3 / ,87 1,89 6,76

12 Interprétation des résultats La solution est complète lorsquon a indiqué sur le circuit le courant dans chacune des branches. On a obtenu : Puisque toutes les valeurs sont positives, cela signifie que le sens que lon avait supposé pour les courants est le bon. I 1 = 4,87 A, I 2 = 1,89 A et I 3 = 6,76 A 4,87 A 6,76 A 1,89 A Remarque Il ne sert à rien de chercher à deviner le sens du courant avant décrire les équations. La solution du système déquations nous lindique. Si dans la solution un des courants est négatif, cela signifie que son sens est contraire à celui utilisé pour établir les équations. Il suffit dêtre cohérent en établissant les équations.

13 Exercice Faire lanalyse par les branches du circuit illustré en considérant les sens indiqués pour les courants. Équation de N 1 I 1 + I 2 – I 3 = 0 Courants de branches Équation de M 1 Équation de M 2 3I 1 – 3I 2 = 18 3I 2 + 4I 3 = 4 I1I1 I2I2 I3I3 Matrice échelonnée réduite Circuit résolu 4,18 A2,36 A 1,82 A + – + – + – Cliquer pour la solution ,18 –1,82 2,36

14 Analyse par les mailles Lidée de lanalyse par les mailles est disoler dans léquation de nœud le courant de la branche commune à deux mailles et de substituer lexpression obtenue dans les équations de ces mailles. Considérons le circuit illustré ci-contre. I 1 + I 2 – I 3 = 0 I1I1 I2I2 I3I3 En isolant le courant de la branche commune, on obtient : I 2 = I 3 – I 1 Substituons dans les équations de mailles. Dans 4I 1 – 5I 2 = 10, on obtient : 4I 1 – 5(I 3 – I 1 ) = 10 Dans 5I 2 + 2I 3 = 23, on obtient : 5(I 3 – I 1 ) + 2I 3 = 23 +– +– + – Léquation de nœud est :

15 Équations des mailles Par cette substitution, on obtient un système de deux équations à deux inconnues, soit : En appliquant directement la loi dOhm, on trouve alors : 5(I 3 – I 1 ) + 2I 3 = 23, dans la deuxième maille. On peut sauter une étape de lanalyse par les branches de façon à obtenir directement ces deux équations. Pour ce faire, considérons seulement I 1 et I 3 appelés courants de maille, tous deux de sens horaire. 4I 1 – 5(I 3 – I 1 ) = 10 5(I 3 – I 1 ) + 2I 3 = 23 I3I3 I1I1 Établissons les équations de mailles en considérant que le courant dans la branche commune est soit I 1 – I 3 soit I 3 – I 1 selon la maille considérée. 4I 1 + 5(I 1 – I 3 ) = 10, dans la première maille.

16 Solution du système Regroupons les inconnues dans les équations du système : On obtient : Appliquons la méthode de Gauss-Jordan. 4I 1 + 5(I 1 – I 3 ) = 10 5(I 3 – I 1 ) + 2I 3 = 23 I3I3 I1I1 Cela donne : I 1 = 4,87 et I 3 = 6,76. 9I 1 – 5I 3 = 10 –5I 1 + 7I 3 = 23 9 – L1L1 9L 2 +5L – SS 38L 1 + 5L 2 L2L L 1 /342 L2 L2 / ,87 6,76

17 Interprétation On a obtenu : I 1 = 4,87 A et I 3 = 6,76 A. 4,87 A6,76 A 1,89 A Interprétons les résultats. Les courants de maille sont les courants de branches sauf dans la maille commune. Dans la maille commune, le courant est I 1 – I 3 ou I 3 – I 1. Il faut déterminer laquelle de ces expressions est positive. Dans le cas présent, on a I 3 > I 1, par conséquent, le sens du courant dans la branche commune est le même que le courant de maille I 3 et sa valeur est : I 3 – I 1 = 6,76 – 4,87 = 1,89 A. Le courant dans la maille commune doit équilibrer léquation de nœud pour que la loi des courants soit satisfaite.

18 Exercice Faire lanalyse par les mailles du circuit illustré. Équations 3I 1 + 3(I 1 – I 2 ) = 18 3(I 2 – I 1 ) + 4I 2 = 4 Matrice échelonnée réduite Circuit résolu 4,18 A2,36 A 1,82 A Matrice augmentée Cliquer pour la solution. 6 – ,18 2,36

19 Exercice Faire lanalyse par les mailles du circuit illustré. Équations 2I 1 + 2(I 1 – I 2 ) = 14 2(I 2 – I 1 ) + 3I 2 + 2(I 2 – I 3 ) = 0 Échelonnée réduite Circuit résolu Matrice augmentée 14V (I 3 – I 2 ) + 1I 3 = 14 14V 2 2 5,25A3,5A7A 3,5A 1,75A 231 Cliquer pour la solution ,25 3,5 7 4 –

20 Généralisation Construire la matrice des mailles du circuit illustré. Équations aI 1 + b(I 1 – I 2 ) = E 1 b(I 2 – I 1 ) + cI 2 + d(I 2 – I 3 ) = E 2 Remarques d(I 3 – I 2 ) + eI 3 = E 3 En regroupant : (a + b)I 1 – bI 2 = E 1 –bI 1 + (b + c + d)I 2 – eI 3 = E 2 –dI 2 + (d + e) I 3 = E 3 Léquation matricielle est : Chaque maille est représentée par une ligne. Lélément sur la diagonale est la somme des résistances de la maille. Les éléments hors diagonale sont les résistances des branches communes affectées dun signe négatif. E1 VE1 V a c e b d E3 VE3 VE2 VE2 V a + b –b–b 0 –b b + c + d –d 0 –d–d d + e I1I1 I2I2 I3I3 E1E1 E2E2 E3E3 = SS

21 Exercice Dans le circuit illustré, déterminer les sources de tension et leur sens pour que les courants de maille soient : Léquation matricielle est : I 1 = 5 A, I 2 = 1 A et I 3 = 4 A. Les courants sont connus, en substituant et en effectuant le produit, on obtient : Le circuit résolu est : V10V25V Cliquer pour la solution. 3 –1 0 7 –3 0 7 I1I1 I2I2 I3I3 E1E1 E2E2 E3E3 = 3 –1 0 7 – –10 25 = S

22 Généralisation Construire la matrice des mailles du circuit illustré. Équations a(I 1 – I 2 ) + c(I 1 – I 3 ) = E 1 a(I 2 – I 1 ) + bI 2 + d(I 2 – I 3 ) = E 2 Remarques c(I 3 – I 1 ) + d(I 3 – I 2 ) + eI 3 = E 3 En regroupant : (a + c)I 1 – aI 2 – cI 3 = E 1 –aI 1 + (a + b + d)I 2 – dI 3 = E 2 –cI 1 – dI 2 + (c + d + e) I 3 = E 3 Léquation matricielle est : Chaque maille est repré- sentée par une ligne. Lélément sur la diagonale est la somme des résistances de la maille. Les éléments hors diagonale sont les résistances des branches communes affectées dun signe négatif. E1 VE1 V a c b d E3 VE3 V E2 VE2 V e a + c –a–a –c –a a + b + d –d –c –d–d c + d + e I1I1 I2I2 I3I3 E1E1 E2E2 E3E3 = SS

23 Exercice Dans le circuit illustré, déterminer les sources de tension et leur sens pour que les courants de maille soient Léquation matricielle est : I 1 = 6 A, I 2 = 2 A et I 3 = 4 A. Les courants sont connus, en substituant et en effectuant le produit, on obtient : Le circuit résolu est : V 18V Cliquer pour la solution. SS 3 –2 –1 –2 9 –4 –1 –4 8 I1I1 I2I2 I3I3 E1E1 E2E2 E3E3 = 3 –2 –1 –2 9 –4 –1 – –10 18 =

24 Procédure danalyse par les mailles 1.Numéroter les mailles et attribuer un courant de sens horaire à chacune des mailles du circuit. 2.Écrire la matrice des mailles. Chaque ligne et chaque colonne est associée à une maille. Chaque élément de la diagonale est la somme des résistances de la maille correspondant à la ligne de cet élément. Les éléments hors diagonale sont la somme, affectée dun signe négatif, des résistances communes à la maille représentée par la ligne et à celle représentée par la colonne.

25 Procédure danalyse par les mailles 3.Écrire la matrice des tensions. La constante de léquation de la maille M i est la somme algébrique des sources de tension traversée par le courant I i. Les sources traversées de la borne négative à la borne positive sont affectées du signe positif et celles traversées de la borne positive à la borne négative sont affectées du signe négatif. 4.Résoudre le système déquations linéaires résultant. 5.Interpréter les résultats selon le contexte (donner le circuit résolu). Exercices additionnels Algèbre linéaire et géométrie vectorielle pour les sciences de la nature, Section 2.4, p. 54 numéros 12 à 15.

26 Bibliographie BOYLESTAD, Robert L,(1979), Analyse de circuits, introduction, Montréal, ERPI, 716 p. JACKSON, Herbert W.(1987), Circuits électriques, courant continu, Traduction de Introduction to Electric Circuits 6 édition, Montréal, Éditions Reynald Goulet, 424 p. OUELLET, Carol (2000), Électricité et magnétisme, Québec, Éditions du Griffon dargile, 368 p. RIDSDALE, R.E. (1980), Circuits électriques, Montréal, McGraw-Hill, 797 p. ROSS, André (2003), Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, Applications en sciences de la nature, Québec, Éditions du Griffon d argile, 445 p. ROSS, André (1999), Mathématiques appliquées aux technologies du Génie électrique 1, Québec, Éditions du Griffon d argile, 427 p.


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